幂级数学习教学教案

z f()d cn (za)n1
a
n0 n1
(牢记结果,能用,证略)
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小结
4.2 幂级数
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函数项级数
复变函数项级数:
fn(z)f1 (z)f2(z) fn(z) (4 .3 )
综 上 , 级 数 收 敛 范 围 为 |z| 1 ,在 此 范 围 内 绝 对 收 敛 ,并 有 1 1zz2zn
1z
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幂级数
牢记结果: 1 1zz2 zn (|z|1)
1z
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幂级数
收敛半径的求法:
跟实的情况类似,有比值法和根值法,即
定理 4.6(比值法)
lim cn1 如果 n cn
0
.则收敛半径
R
1
.
1
定理 4.7(根值法)
如果
lim n
n
|
cn
|
0 ,则收敛半径
R
.
都是与等比级数比较得证(具体略),牢记结果,会用,
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幂级数
幂级数的运算和性质:
象实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行有理运算. 设
f(z) a nzn,R r1,g (z) b nzn,R r2
n 0
n 0
在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这 两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得
第四章 级数
4.2 幂级数
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函数项级数
复变函数项级数:
fn(z)f1 (z)f2(z) fn(z) (4 .3 )
n 1
部分和:
sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)
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函数项级数
复变函数项级数
fn(z)f1 (z)f2(z) fn(z) (4 .3 )
n 1
在 z0 收敛: lni msn(z0)s(z0)
(b a)n1
收敛半径为 R=|ba| 18
y b
当|za|<|ba|=R时 级数收敛
a
O
x
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幂级数
幂级数的运算和性质:
定理 4.8 1)和函数解析;
2)可逐项求导, 即 f (z) n1 ncn (z a)n1
3) 可逐项积分, 即
f(z)dzcn(za)ndz,
C
Leabharlann Baidun0 C
或
C| za|R
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幂级数
幂级数的运算和性质:
例：把函数
z
1 b
表成形如
n0
cn (z
a)n
的幂级数,
其中 a 与 b 是不相等的复常数.
[解]
把函数
z
1
b
写成可利用
1 1
z
n0
zn
(|
z
|
1)
的形式即得:
z
1
b
(z
a)
1
(b
a)
1 ba
1
1 z
a
ba
1 (z a) (z a)n
b a (b a)2
和: s(z0).
在D内处处收敛, 则有 和函数s(z):
s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
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幂级数
定理(阿贝尔Abel)
c n z n 在 z z 0 ( 0 ) 收 敛 ,则 对 满 足 |z | |z 0 |的 z ,级 数 必 绝 对 收 敛 ;
n 0
如 果 在 z z 0 级 数 发 散 , 则 对 满 足 | z | | z 0 | 的 z , 级 数 必 发 散 .
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幂级数
收敛圆和收敛半径: 利用阿贝尔定理, 可以定出级数的收敛范围, 对一个幂级 数来说, 它的收敛情况不外乎三种: i) 对所有的正实数都是收敛的. ii) 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对 ii) 对收所敛有. 的正实数都是发散的. 这时, 级数在复平面内除原点外处处发散. iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散 的正实数.
所以幂级数 c n z n 的收敛范围是以原点为中心的圆域.
对幂级数 n 0
cn(za)nc0c1(za)c2(za)2cn(za)n
n0
来说, 收敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛圆上是否收敛, 则不一定.
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幂级数
例1 求幂级数
zn1zz2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
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幂级数
设z=α (正实数)时, 级数收敛, z=β(正实数)时, 级数发散.
显然a<b, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.
y CR Cb
R
Ca
Oa
bx
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幂级数
当a由小逐渐变大时, Ca必定逐渐接近一个以原点为中心,
R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆. 在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部,级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半径.
到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.
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幂级数
幂级数的运算和性质:
f (z) g(z) anzn bnzn
n0
n0
(an bn)zn, n0
f(z)g(z) anzn bnzn
n0
n0
(anb0an1b1 a0bn)zn,(据级数的柯西积定理) n0
sn 1zz2 zn1 1 zzn,(z 1 )
当 |z| 1 时 ,由 于 l n i m z n 0 ,从 而 有 l n i m s n 1 1 z,
即 |z|1 时 级 数 zn收 敛 ,和 函 数 为 1,
n 1
1z
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幂级数
当 |z | 1 时 , 由 于 n 时 z n 不 趋 于 零 , 级 数 发 散 .
|z|R, Rmin(r1,r2).
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幂级数
幂级数的运算和性质:
更为重要的是代换(复合)运算:
如果当| z|r时, f (z) anzn,又设在区域D n0
内g(z)解析且满足| g(z)|r,则在区域D内,
f[g(z)] an[g(z)]n. n0
这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.
y z0
O
x
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幂级数
证 因n0cnz0n收敛,则lni m cnz0n 0,
从而存在M使对所有的n有|cnz0n|M. n
如 果 |z| |z0|,则 ||z z 0 || q 1 ,而 |c n zn| |c n z0 n|z z 0 M q n
由于Mqn为公比小于1的等比级数,故收敛,
n0
因此 |cnzn| Mqn亦收敛,
n0
n0
从 而 级 数cnzn是 绝 对 收 敛 的 . n0
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幂级数
如果级数 cnz0n发散, 且如果| z || z0 | n0
用反证法,设级数 cnzn反而收敛,则根据 n0
前面的结论可导出 cnz0n收敛, n0
与 所 设 矛 盾 . 因 此 只 能 是cnzn发 散 n0