马尔可夫链预测

马尔可夫预测是应用随机过程中马尔可夫 链的理论和方法，研究分析有关现象的变化规 律并借此对未来进行预测的一种方法。


市场占有率预测 高速公路交通量分布预测 期望利润预测
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2.
马尔可夫预测方法及应用
一、市场占有率预测
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2.
马尔可夫预测方法及应用
一、市场占有率预测
例 公司A、B、C产品销售额的市场占有率分别为 50%，30%，20%。由于C公司实行了改善销售与服务方 针的经营管理决策，使其产品销售额逐期稳定上升， 而A公司却下降。通过市场调查发现三个公司间的顾客 流动情况如表所示。其中产品销售周期是季度。问题： 按照目前的趋势发展下去，A公司的产品销售额或客户 转移的影响将严重到何种程度？更全面的，三个公司 的产品销售额的占有率将如何变化？
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1.
马尔可夫链的基本概念
一、马尔可夫链 马尔可夫过程指满足无后效性的随机过程 定义1 若非负随机序列{X(tn),n∈N}满足条件
则称随机序列{X(tn)}为马尔科夫链，简称马氏链。
无后效性指“将来”取什么值只与“现在”的取值有关，
而与“过去”取什么值无关。
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二、状态转移概率矩阵
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二、状态转移概率矩阵
P(0) (0.5 0.3 0.2)
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未来各期的市场占有率：
P 1 P 0 P 0.7 0.1 0.2 0.5,0.3,0.2 0.1 0.8 0.1 0.05 0.05 0.9 0.39,0.3,0.31
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未来各期的市场占有率：
m ( m) lim pij j
则称

为稳态分布。
此时，不管初始状态概率向量如何，均有
m
lim p j m lim
pi (0) j j pi (0) j
i 1 i 1
m i 1 N
pi 0 p
N
(m) ij
N
(m) pi 0 lim pij i 1 m
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三、平稳分布与稳态分布
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三、平稳分布与稳态分布
1. 平稳分布
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三、平稳分布与稳态分布
1. 平稳分布 如 X x1 , x2 ,L , xN 为一状态概率向量，P为状态转移 概率矩阵。若 XP X 则称 X 为马尔可夫链的一个平稳分布。
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三、平稳分布与稳态分布
1. 平稳分布 如 X x1 , x2 ,L , xN 为一状态概率向量，P为状态转移 概率矩阵。若 XP X 则称 X 为马尔可夫链的一个平稳分布。 若随机过程某时刻的状态概率向量为平稳分布，则称 过程处于平衡状态。 一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状态 转移之后，其状态概率分布保持不变，即，过程一旦处于 平衡状态后将永远处于平衡状态。
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公司 A B C 周期 1 的 顾客数
周期 0 的 顾客数 5000 3000 2000 ——
周期 1 的供应公司 A B C 3500 500 1000 300 2400 300 100 100 1800 3900 3000 3100
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公司 A B C 周期 1 的 顾客数
周期 0 的 顾客数 5000 3000 2000 ——
i 1 N (m) ij (m) pi 0 lim pij i 1 m
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m
N
m
定义 对于概率向量 1, 2 ,..., N ，如 对任意的 i, j S ，均有
m ( m) lim pij j
则称

为稳态分布。
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定义 对于概率向量 1, 2 ,..., N ，如 对任意的 i, j S ，均有
不可约（不可分）：存在自然数m,对i, j S ,
(m) S {1, 2,L N }, 使pij 0, 称马尔可夫链是不可约的。
(k ) 非周期：若正整数集{k | pii 0}的最大公约数为1，则称
状态i是非周期的。若所有状态均为非周期的，则称该 马氏链为非周期的。
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2.
马尔可夫预测方法及应用
公司 A B C
A 3500/5000=0.7 300/3000=0.1 100/2000=0.05
B 500/5000=0.1 2400/3000=0.8 100/2000=0.05
C 1000/5000=0.2 300/3000=0.1 1800/2000=0.95
A B C A 0.7 0.1 0.2 P B 0.1 0.8 0.1 C 0.05 0.05 0.9
概率向量：对于任意的行向量（或列 向量），如果其每个元素均非负且总和等于1， 则称该向量为概率向量。
u (0.4,0.25,0.25,0.1)
概率向量
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几个概念：
概率向量：对于任意的行向量（或列 向量），如果其每个元素均非负且总和等于1， 则称该向量为概率向量。
u (0.4,0.25,0.25,0.1)
P 1 P 0 P 0.7 0.1 0.2 0.5,0.3,0.2 0.1 0.8 0.1 0.05 0.05 0.9 0.39,0.3,0.31
P(2) P(1) P (0.319,0.294,0.387)
P(3) P(2) P (0.272,0.286,0.442)
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2. 稳态分布 问题：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时， 是否存在极限？
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2. 稳态分布 问题：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时， 是否存在极限？
若存在，设其极限为 ，
m
lim P(m) lim （p1 (m)，p2 (m)，...,pN (m)）
m
( 1 , 2 ,..., N )
P(3) P(2) P (0.272,0.286,0.442)
C——保销政策。C的市场份额不断增大。是否可以 持续下去？
当系统由一种状态变为另一种状态时，称为状态转移。
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二、状态转移概率矩阵
当系统由一种状态变为另一种状态时，称为状态转移。 定义2 一步状态转移概率
(1) pij pij P{X n1 j X n i}
N
pij 0,
p
j 1
ij
1
若由X n i转移到X n1 j的概率pij与n无关,则称该马尔 可夫链是齐次的。
P
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设存在稳态分布 1, 2 ,..., N ，则由于下 式恒成立
P k P k 1 P
令 k ，得
P
即，有限状态马尔可夫链的稳态分布如存在，那么 它也是平稳分布。
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两个结论： 1.对非周期的马尔可夫链，稳态分布必存在。 2.对不可约非周期的马尔可夫链，稳态分布和平 稳分布相同且均唯一。
概率向量
概率矩阵 由概率向量作为行向量所构 成的方阵称为概率矩阵。
0.7 0.3 A 0.5 0.5
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概率矩阵的性质：如果A、B 皆是概率矩阵，则AB也是 m 概率矩阵；如果A是概率矩阵，则A的任意次幂 A (m 1)也 是概率矩阵。
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概率矩阵的性质：如果A、B 皆是概率矩阵，则AB也是 m 概率矩阵；如果A是概率矩阵，则A的任意次幂 A (m 1)也 是概率矩阵。 一步状态转移概率矩阵 p11 p12 L p p22 L 21 P L L L pN 1 pN 2 L
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2. 稳态分布 问题：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时， 是否存在极限？
若存在，设其极限为 ，
m
lim P(m) lim （p1 (m)，p2 (m)，...,pN (m)）
m
( 1 , 2 ,..., N )
m
lim p j m j
p1 N p2 N L pNN
假设： pij 与n无关 （齐次性）
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k步状态转移概率
pij P
k
P X n k j X n i, pij
k

k

, k 1 N N
称 pij k 为k步状态转移概率， P k 为k步状态转移概率矩阵，
N
这也是称

为稳态分布的理由。
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设存在稳态分布 1, 2 ,..., N ，则由于下 式恒成立
P k P k 1 P
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设存在稳态分布 1, 2 ,..., N ，则由于下 式恒成立
P k P k 1 P
令 k ，得
P 1 P 0 P 0.7 0.1 0.2 0.5,0.3,0.2 0.1 0.8 0.1 0.05 0.05 0.9 0.39,0.3,0.31
P(2) P(1) P (0.319,0.294,0.387)
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未来各期的市场占有率：
p ( k )11 (k ) p 21 L (k ) p N1 p ( k )12 p ( k ) 22 L L L L p ( k )1N (k ) p 2N L (k ) p NN
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Pห้องสมุดไป่ตู้
(k )
p(k ) N 2 L
马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由 1步状态转移概率求出。
马尔可夫预测

马尔可夫链的基本原理 马尔可夫预测方法及应用
1
1.
马尔可夫链的基本概念
一、马尔可夫链 马尔可夫过程指满足无后效性的随机过程
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1.
马尔可夫链的基本概念
一、马尔可夫链 马尔可夫过程指满足无后效性的随机过程 定义1 若非负随机序列{X(tn),n∈N}满足条件
则称随机序列{X(tn)}为马尔科夫链，简称马氏链。
周期 1 的供应公司 A B C 3500 500 1000 300 2400 300 100 100 1800 3900 3000 3100
公司 A B C
A 3500/5000=0.7 300/3000=0.1 100/2000=0.05
B 500/5000=0.1 2400/3000=0.8 100/2000=0.05
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未来各期的市场占有率：
P 1 P 0 P 0.7 0.1 0.2 0.5,0.3,0.2 0.1 0.8 0.1 0.05 0.05 0.9 0.39,0.3,0.31
P(2) P(1) P (0.319,0.294,0.387)
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2. 稳态分布 问题：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时， 是否存在极限？
若存在，设其极限为
m m

，
lim P(m) lim （p1 (m)，p2 (m)，...,pN (m)） ( 1 , 2 ,..., N )
lim p j m j
lim p j m lim pi 0 p m
C 1000/5000=0.2 300/3000=0.1 1800/2000=0.95
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公司 A B C 周期 1 的 顾客数
周期 0 的 顾客数 5000 3000 2000 ——
周期 1 的供应公司 A B C 3500 500 1000 300 2400 300 100 100 1800 3900 3000 3100
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几个概念：
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几个概念：
概率向量：对于任意的行向量（或列 向量），如果其每个元素均非负且总和等于1， 则称该向量为概率向量。
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几个概念：
概率向量：对于任意的行向量（或列 向量），如果其每个元素均非负且总和等于1， 则称该向量为概率向量。
u (0.4,0.25,0.25,0.1)
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几个概念：
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马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由 1步状态转移概率求出。
全概率公式
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马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由 1步状态转移概率求出。
全概率公式
P ( k ) P ( k 1) P
P
k
P , k 1
k
P —— 一步状态转移概率矩阵
P( k ) —— k 步状态转移概率矩阵