认识三角形精品练习题

认识三角形

1、三角形的定义：由3条不在同一直线上的线段，首尾依次相接组成的图形称为三形。 如右的图形就是一个三角形

2、 三角形的各组成部分

3.三角形表示：“△”来表示一个三角形，如上图中，此三角形可以表示为△ABC ，或△ACB 或△BAC 等等。

4、三角形的分类 1）按角分

…

2）按边分

5.三角形三边性质：三角形任意两边之和大于第三边；

两边之差<第三条边<两边之和

试一试：

1. △AB C 中，已知a =8,b =5，则c 为 ( ) =3 =13 可以是任意正实数 可以是大于3小于13的任意数值

2. 下列长度的4根木条中，能与4cm 和9cm 长的2根木条首尾依次相接围成一个三角形的是（ ） A 、4cm B 、9cm C 、5cm D 、13cm

3.

>

4.

有下列长度的三条线段能构成三角形的是 ( )

cm 、2 cm 、3 cm cm 、4 cm 、2 cm cm 、3 cm 、4 cm cm 、2 cm 、3 cm

4 、如图，以∠C 为内角的三角形有 和 在这两个三角形中，∠C 的对边分别为 和 5、等腰三角形的一边长为3㎝，另一边长是5㎝，则它的第三边长为

6、三角形的三边长为3，a ，7，则a 的取值范围是 ；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是 ；

7一个三角形的两边长分别为2㎝和9㎝,第三边长是一个奇数,则第三边的长为___________,此三角形的周长为_________.

8一个等腰三角形的两边分别为和5，求这个三角形的周长。

，

9、画一个三角形，使它的三条边长分别为3 cm 、4 cm 、6 cm.

三条重要线段；

1、高的定义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点与垂足之间的线段称为三角形的高。

注：（1）三角形的高必为线段；（2）三角形的高必过顶点垂直于对边；（3）三角形有三条高。

}

2、三角形的角平分线

1 、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的

线段称为三角形的角平分线。

2、注：（1）三角形的角平分线必为线段，而一个角的角平分线为一条射线；

（2）三角形的角平分线必过顶点平分三角形的一内角；

（3）三角形有三条角平分线。

三角形的三条角平分线相较于一点，这点叫做三角形的内心

3、三角形的中线

1、定义：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。

2、注1）三角形的中线必为线段；

2）三角形的中线必平分对边；

`

3）三角形有三条中线。

三角形的三条中线相较于一点，这点称为三角形的重心

重心定理:三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

该点叫做三角形的重心。

外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。垂心定理:

垂心：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。

内心定理:三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

旁心定理:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角

形的旁心。三角形有三个旁心。

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相

关点。

试一试：

1 在△ABC中，AD 是角平分线，BE是中线，∠BAD=400，

则∠CAD= ，若AC=6cm，则AE=

~

2 下列说法正确的是（）

A 三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部

B 直角三角形只有一条高

C 三角形的三条至少有一条在三角形内

D 钝角三角形的三条高均在三角形外

3．下列各图中的AD是△ABC的高吗若不是，画出正确图形。

4、在△ABC中，AD 是角平分线，BE是中线，∠BAD=400，则

∠CAD= ，若AC=6cm，则AE=

5 、下列说法正确的是（）

"

A 、三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部

B、直角三角形只有一条高

C 、三角形的三条至少有一条在三角形内

D 、钝角三角形的三条高均在三角形外

6、ABC

?的高为A D，角平分线为A E，中线为A F，则把ABC

?面积分成相等的两部分的线段是。

7、如图,AD、CE分别是△ABC的中线和高.若∠B=35°,BC=12cm,则BD=

cm, ∠BCE=

8、如图,AD是△ABC的外角平分线,∠B=∠C=40°,则∠EAC= °,

9、∠DAC= °。图中,直线AD与直线BC有怎样的位置关系

答: .你的根据是: .

/

10．在△ABC，AD是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，则∠ADC= 。

11．说出图中的阴影线的各三角形的面积（每一小正方形的边长为一个长度单位）

A

B C

D

E

E

D C

B

A

A

B C

D

E

(第4题图)

12．在△ABC 中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，

】

BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点。 求∠ABE 、∠ACF 和∠BHC 的度数。

三．例题精讲：

例1. 一个等腰三角形的周长为28cm ，有一边长为8cm ，则这个三角形的边长是多少

}

例2、如图，65A ∠=?，30A B D ∠=?，72A C B ∠=?

， 且C E 平分A C B ∠，求B E C ∠ 的度数。

例3．如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥BC ，∠B=700，∠ACB=500， 求∠EDC ，∠BDC 的度数。 #

认识三角形同步练习

一、选择题

1．现有两根铁条，它们的长分别是30cm 和50cm ，如果要做成一个三角形铁架，那么在下列四根铁条中应选取（ ）

A ．20cm 的铁条；

B ．30cm 的铁条；

C ．80cm 的铁条；

D ．90cm 的铁条．

A

C

D E

A

E

]

B

2．以下列长度的线段为边，可以作一个三角形的是（）

A．5㎝、10㎝、15㎝；B．5㎝、10㎝、20㎝；

C．10㎝、15㎝、20㎝；D．5㎝、20㎝、25㎝．

3．已知三角形的三边长分别是3，8，x；若x的值为偶数，则x的值有（）

（

Ａ．6个；Ｂ．5个；Ｃ．4个；Ｄ．3个．

4.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形的形状是（）

Ａ．锐角三角形；Ｂ．直角三角形；Ｃ．钝角三角形；Ｄ．等腰三角形．

5.三角形的角平分线是（）

Ａ．射线；Ｂ．直线；Ｃ．线段；Ｄ．线段或射线．

二、填空题

6.等腰三角形的两条边长分别为3cm和4cm ，则这个等腰三角形的周长为cm．2．三角形的两边分别为4和5，第三边为，则的取值范围是_________．

3．在△ABC中，AB=9，BC=2，并且AC为奇数，那么△ABC的周长是_______．

4．△ABC中，∠A=∠B=∠C，则三个内角分别为___________．

{

5．一个三角形最多有__________个直角：有________个锐角；有_________个钝角．6．在△ABC中，∠A－∠B=15°，∠C=75°，则∠A=__________，∠B=__________．

7.如图，∠A＝80°，∠2＝130°，则∠1＝＿＿＿＿度

8.等腰三角形的两条边长分别为4cm和9cm，则第三边长为

（

9.已知，如图，已知AD、AE分别是△ABC的中线，高线，且AB＝5cm，AC＝3cm；则△ABD和△ADC的周长之差等于

A

B D E C

第9题图

cm；△ABD与△ACD的面积关系是．

10.用一根长为15cm的细铁丝围成一个三角形，其三边的长（单位：cm）分别为整数a、b、c，且a>b>c，

（1）请写出一组符合上述条件的a、b、c的值；

（2）a最大可取，c最小可取．

11.如图在△ABC中，，D是∠ACB与∠ABC的角平分线的交点，BD的延长线交AC于E，且∠EDC=50°，求∠A的度数.

<

12.如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，若∠DBC=45°，∠A=70°，求∠D，∠AED，∠BFE的度数．

全等三角形

一、课标要求（学习本章节需要达到的目的）

1、了解全等形及全等三角形的概念；

…

2、掌握全等三角形的性质，体会通过三角形的平移、翻折和旋转，图形变换的保形性

3、掌握一般三角形全等的四种判定方法和直角三角形全等的判定方法，会运用三角形全等解决日常生活中问题；

4、会画角平分线，了解角平分线的性质和判定方法

二、知识疏理

1、三角形全等的有关概念和性质

能够完全重合的两个图形叫做全等形

C

B E

B

C

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等

>

2、一般三角形全等的判定

（1）边角边公理（SAS ）：有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等 （2）角边角公理（ASA ）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （3）角角边公理（AAS ）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （4）边边边公理（SSS ）：有三边对应相等的两个三角形全等

3、直角三角形全等的特殊判定方法

斜边直角边公理（HL ）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 注意：判定直角三角形全等也可以用SAS,ASA,AAS,SSS 。

，

4、角的平分线的定义、性质和判定定理

定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线 性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等

判定：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上 三、典型例题解析 例1 如图，ABC

DEB ???,AB=DE, E ABC ∠=∠，

则C ∠的对应角为 ，

BC 的对应边为 。

例2 如图，ABC

EFC ???,且CF=3cm ，064EFC ∠=,

^

则BC= cm, B ∠= .

例3 下列说法错误的是（ ） A.全等三角形对应边相等 B.全等三角形对应角相等

C.若两个三角形全等且有公共顶点，则公共顶点就是它们的对应顶点

D.若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角

C

A

F

A

F

例4 在ABC ?中，AB=AC,D 是BC 边上的中点，连接AD ， （1）求证：ABC ADC ???; …

（2）求证：ADC ∠=ADB ∠090=.

例5 如图，在ABC ?中，090C

∠=，AM 平分CAB ∠,CM=20cm ，

那么M 到AB 的距离是 cm.

)

例6 如图所示，已知AC 平分BAD ∠,EBC ∠=CDF ∠,求证：

例7 已知：如图，在ABC ?中，AB=BC, ABC ∠090=,F 为AB 延长线上一点，点E 在

BC 上，BE=BF ，连接AE 、EF 和CF 。 （1）求证：AE=CF ； （2）若030CAE

∠=,求EFC ∠的度数。

:

四、实战演练（课堂练习） 1、下列判断不正确的是( ) ．

A ．形状相同的图形是全等图形

B ．能够完全重合的两个三角形全等

C ．全等图形的形状和大小都相同

D ．全等三角形的对应角相等

。

2、如图：若△ABE ≌△ACF ，且AB=5，AE=2，则EC 的长为（ ）

A ．2

B ．3

C ．5

D ．

3、如图：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，则下列结论：①△ABD ≌△ACD ，②∠B=∠

C ，③BD=C

D ，④AD ⊥BC 。其中正确的个数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

$

4、如图：AB=AD ，AE 平分∠BAD ，则图中有（ ）对全等三角形。 A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5、工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM=ON ，

移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合，得到∠AOB 的平分线OP ，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）

A ．SSS

B ．SAS

C ．ASA

D ．HL

6、．如图，D 是∠BAC 的平分线上一点，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F ，下列结论中不正确的是（ ）

A ．DE=DF

B ．AE=AF

C ．△ADE ≌△ADF

D ．AD=DE+DF 7、如图：EA ∥DF ，AE=DF ，要使△AEC ≌△DBF ，则只要（ ）

A ．AB=CD

B ．EC=BF

C ．∠A=∠D

D ．AB=BC

8、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）

A ．带①去

B ．带②去

C ．带③去

D ．带①和②去

】

（第7题）

F

E

D

C

B A

（第4题）

E

D

C

B

A

（第3题）D C

B

A

F

E （第6题）

D C

B A

（第2题）

F

E

C

B

A c

b

a

（第9题）

图2

A

B F

D

E C 图3

C

A

B D

E

9、如图：直线a ，b ，c 表示三条相互交叉环湖而建的公路，现在建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

10、如图：△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB=6㎝，则△DEB 的周长是（ ）

A ．6㎝

B ．4㎝

C ．10㎝

D ．以上都不对

&

二、填空题

11、如图：AB=AC ，BD=CD ，若∠B=28°则∠C= ；

13、已知，如图2：∠ABC=∠DEF ，AB=DE ，要说明ΔABC ≌ΔDEF 。若以“SAS ”

为依据，还要添加的条件为______________；

}

14、如图3：要测量河岸相对的两点A 、B 之间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50米 到C 处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D 处，在D 处转90°沿DE 方向再走17米，到达E 处，使A 、C 与E 在同一直线上，那么测得A 、B 的距离为_____米。

15、如图：在△ABC 中，AD=AE ，BD=EC ，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE= ； 16、如图，在△ABC 中，AD =DE ，AB =BE ，∠A =80°，则∠CED =_____．

(第16题) (第17题)

（第10题）E

D

C

B

A

（第11题）D

C

B

A

E （第15题）

D C

B

A

A

D

@

17、如图：两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，?则x =_______． 18、、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，BC=10cm,BD=6cm,则点D 到AB 的距离为_____。

19、如图：AB ，CD 相交于点O ，∠B =∠C=90°，请你补充一个条件， 使得△RtABD ≌△RtCDB ，你补充的条件是

；

20、如图：在△ABC 中，∠B =∠C=50°，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，则∠BAD = 。

21、如图：AC=DF ，AD=BE ，BC=EF 。求证：∠C=∠F 。

)

22、如图：AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD 。 求证：BE ⊥AC 。

{

23、如图：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足为C ，D 。

求证：（1）OC=OD ，（2）DF=CF 。

O

（第19题）

D

C

B

A

F

E （第20题）

D C B

A

C

F

E B

D

A

O F E

D

C

B

A

*

24、如图：在△ABC ，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F 。

求证：AF 平分∠BAC 。

尺规作图专题

尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

五种基本作图：

#

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

4、作已知角的角平分线；

5、过一点作已知直线的垂线；

题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a .

求作：线段AB ，使AB = a . 作法：

（1） 作射线AP ； （2） & （3） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。

题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN.

求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：

（１）分别以M 、N 为圆心，大于

的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； ）

（２）连接PQ 交MN 于O ．

则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问：PQ 与ＭＮ有何关系）

题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ，

C

F

E B

D

A

求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：

（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，

分别交OA，OB于M，N；

*

（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于

的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；

（4）作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

题目四：作一个角等于已知角。

（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）

%

题目五：已知三边作三角形。

已知：如图，线段a，b，c.

求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.

作法：

（1）作线段AB = c；

（2）以A为圆心b为半径作弧，

以B为圆心a为半径作弧与

前弧相交于C；

（3）连接AC，BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目六：已知两边及夹角作三角形。

已知：如图，线段m，n, ∠α.

求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.

作法：

（1）作∠A=∠α；

（2）在AB上截取AB=m ,AC=n；

（3）连接BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目七：已知两角及夹边作三角形。

已知：如图，∠α，∠β，线段m .

求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m.

作法：

（1）作线段AB=m；

（2）在AB的同旁

作∠A=∠α，作∠B=∠β，

∠A与∠B的另一边相交于C。

则△ABC就是所求作的图形（三角形）。