DSP正弦波——数字振荡器法原理

数字振荡器的本质是，使用一个IIR （Infinite Impulse Response ）滤波器，通过把它的极点放在单位圆上面来产生振荡。

利用正弦波sinx 的指数形式

)(21sin jx jx e e j

x --= 可以得到正弦序列x(n)的Z 变换为

)(21)sin(][jnwT jnwT e e j

T n n x --==ϖ X （z ）=[]

∑∑∞=---∞=---=-0110)()(21])([21n n jwT n jwT n n jnwT jnwT z e z e j z e e j =⎥⎦⎤⎢⎣⎡----jwT jwT e z z e z z j 21=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+---1)cos(221222wT z z ze z ze z j jwT jwT =1

)cos(2)sin(2+-wT z z wT z =

B Az z Cz --2 式在|z|>1时成立，且)sin(,1),cos(2wT

C B wT A =-==。这是任何一本数字信号处理教材都会给出的结论。

根据Z 变换的基本原理和性质，序列x[n]及其Z 变换X （z ）之间存在一一对应的关系，即对于给定的X （z ），可以通过反Z 变换，唯一地确定x[n]。

因此，产生一个正弦波就等价于利用上式设计一个二阶IIR 滤波器，使其系统传递函数就是正弦序列x[n]的z 变换。结构的图我暂时不画了，明天再添加

系统传递函数为2

11

21)(-----=--=Bz Az Cz B Az z Cz z H 滤波器的极点就是分母02

=--B Az z 的根。

24)(cos 4)cos(224222,1-±=+±=wT wT B A A P =)sin()cos(wT j wT ±

由上式可以看出，P 1,2是一对复根，其幅值为1，相角为wT 。幅值为1的极点在单位圆 上，对应一个数字振荡器，其振荡频率由系数A 、B 和C 决定。因此，设计数字振荡器主要是设计这些系数。

由系统函数求得差分方程

)()()()(121z X Cz z Y Bz z Y Az z Y ---=--

设初始条件为0，对上式作反Z 变换，得

]1[]2[]1[][-+-+-=n Cx n By n Ay n y

这是一个二阶差分方程，其单位冲激响应就是sin(wT)。

利用单位冲激函数x[n-1]的性质，即仅当n=1时，x[n-1]=1,代入上式

n=0 y[0]=Ay[-1]+By[-2]+0=0

n=1 y[1]=Ay[0]+By[-1]+C=C

n=2 y[2]=Ay[1]+By[0]+0=Ay[1]

n=3 y[3]=Ay[2]+By[1]

.

.

.

n=k y[k]=Ay[k-1]+By[k-2]

.

.

.

在n>2以后，y[n]可以用y[n-1]和y[n-2]算出，这是一个递归的差分方程。

由此出发，就可以完成数字振荡器的设计。例如，设该振荡器的频率为F=1KHz ，采样频率为F s =10KHz ，则s F F wT π2==0.628（radians ）,系数

A=2cos(wT)=1.618033989

B=-1

C=sin(wT)=0.587785252

由此基础上，利用之前那个公式就可以产生相应的正弦波。