离散数学-群论-代数系统

伽罗华
• 不久，他遇到了数学教师里查德，里查德很 快就发现了伽罗华的数学才能，在他的指导 下，伽罗华开始研究代数方程理论，1828年 17岁时高中未毕业便有重大发现，写出了关 于循环连分数特别是五次代数解法的重要论 文。 • 1829年18岁的他中学毕业参加声望很高的巴 黎高等工科大学的入学考试时, 伽罗华失败了 , 不得不进入较普通的师范学校.
阿贝尔
• 当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家 的惊奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一 个定理：“如果方程的次数n5，并且系数被 看成字母，那么任何一个由这些系数所组成 的根式都不可能是该方程的解。原来在三个 世纪以来用根式去解这种方程之所以不能成 功，只因为这个问题就没有解。 • 1826年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名 的数学家勒让德和柯西。当时他写了一篇关 于椭圆积分的论文，提交给法国科学院，但 不幸没有得到重视，只好又返回柏林。
1770年猜测:
―这样的求根公式不存在.他预见到一般方程的可解
性问题最后将归结到关于诸根的某些排列置换问题”。
群论的创始人伽罗华和阿贝尔
• Lagrange的洞察力启发了年轻的Abel与Galois， 他们在继承了Lagrange留下的宝贵遗产基础上， 各自作出了重要的贡献。 • Abel （N.H.Abel,1802-1829)，挪威数学家，近代 数学发展的先驱者。1802年8月5日出生于一个牧 师家庭，幼年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学， 13岁进入奥斯陆一所教会学校学习，成绩优异。 他16岁自学数学名著，中学时被誉为“数学迷” 。他的数学老师霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天 赋，不断给予指导与资助。
阿贝尔
• 克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。1828年5月阿贝 尔贫病交加地回到挪威。次年4月6日患结核病不幸去 世，年仅27岁。就在他去世后两天后，克雷尔来信通 知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚，阿 贝尔已无法前往接受这一职务了。 • 阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。1829年 ，有4位法国科学院院士上书挪威国王，请他为阿贝尔 提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院会议上 对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面的成就是多方 面的，除五次方程外，他还研究了更广泛一类的代数 方程，后人发现这就是具有交换的伽罗华群的方程。 后人为了纪念他，就把交换群称为Abel群
布尔代数
• 1835年，20岁的乔治· 布尔开办了一所私人授课学校 。为了给学生们开设必要的数学课程，他兴趣浓厚 地读起了当时一些介绍数学知识的教科书。不久， 他就感到惊讶，这些东西就是数学吗？实在令人难 以置信。于是，这位只学过初级数学的青年自学了 艰深的《天体力学》和很抽象的《分析力学》。由 于他对代数关系的对称和美有很强的感觉，在孤独 的研究中，他首先发现了不变量，并把这一成果写 成论文发表。这篇高质量的论文发表后，布尔仍然 留在小学教书, 他开始和许多第一流的英国数学家 交往或通信，其中有数学家、逻辑学家德· 摩根。
• 当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解 决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程 的求根公式。 • 但事情的发展似乎突然停了下来. • 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18世纪中叶伟 大的瑞士数学家欧拉(Euler), 经过三个世纪之久仍然没 有一个人能找出五次方程的求根公式. • 由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根式解 法，于是数学家们开始进行反思。拉格朗日(Lagrange)在
伽罗华
• 在获释不久, 他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情. 这导 致了他的早亡. 这次恋爱事件不知何故引出了一场决 斗. • 1832年5月29日, 决斗的前夜, 伽罗华写了封很长的信 给他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier), 先大致描述了他 的数学理论, 从而给数学界留下了唯一一份重要手稿 ，奠定了近世代数的理论基础，否则将使数学界乃 至科学界蒙受重大损失。他对自己的研究成果不无 自信地说“你可以公开地请求雅可比或高斯，请他 们不是对这些东西的正确性，而是对它们的重要性 发表意见，我期待着一定会有人认识到，解开这个 迷对他们是有益的”。
伽罗华
• 1829年，他把自己所写的论文送交法国 科学院审查，同年6月该科学院曾举行例 会，由泊松（S.D.Poisson)和柯西两位著 名数学家审查，但由于重视不够，原稿 被柯西弄丢了。 • 1829年他又写了一些关于方程方面的重 要论文。同年7月，他在巴黎高等工科大 学的入学考试中再次失败。
伽罗华
课程重要性
离散思想
考研课程 计算机等级考试课程 程序员考试课程 抽象思维能力的培养
第一讲 内容提要
I. 群论的出现及其创始者Galois、 Abel,环论、域论与布尔代数 II.近世代数的应用 III.代数运算及其性质
IV. 代数系统
I. 群论的出现
• 群论是现代数学非常重要的分支, 群论产生的 开端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传 奇. 这要从代数方程的求解方法谈起。代数方 程根式解法的研究有很悠久的历史。大家知 道，一个实系数的代数多项式在实数域中只 要能分解成一些实系数的一次因式与二次因 式的乘积，则利用我们熟知的二次方程:
阿贝尔
• 但是虽然没有通用公式, 有些特殊的五 次方程有求根公式, 那么自然会问: 如何判 定一个给定的五次方程是否有这样的求根 公式? • 对具有根式解的代数方程的特征问题，阿 贝尔一直在竭尽全力地研究这个问题.不幸 的是，1829年死神夺去了年仅26岁的他， 使他即将完成的光辉事业功亏一篑。
挪威天才数学家阿贝尔(Abel)
Born: 25 Oct 1811 in Bourg La Reine (near Paris), France Died: 31 May 1832 in Paris, France
环论
• 环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及 戴德金、哈密顿等人对超复数系的建立和研究。 • 环构造的研究可以说是从1908年魏得邦的著名论文 《有限维代数的构造》开始的。20世纪二、三十年 代，诺特(Noether)在环中引入了左、右理想的概念 建立了环的理想理论。 • 二十世纪40年代，环的根理论迅速发展，特别是雅 各布森所创造的一般环的根的概念，建立了本原环 的理论。 • 20世纪50年代，阿密苏和库洛什又创立了根的一般 理论，环论已趋完善。
ax bx c 0
2
二次方程的求根公式
b b 4ac x 2a
2
与一次方程的解得到原方程的解。为此， 人们试图对次数更高的方程得到类似的求 解公式.不过，由于一般三次方程相对于 二次方程求根公式要复杂得多，所以古代 数学家在这方面的努力都未能获得成功。
• 直至16世纪形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程 的求根公式才被意大利数学家费罗(Ferro)和 塔尔塔里亚(Tartalia) 彼此独立发现。 • 后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔 (Cardano) 在得知塔氏的发明后，央求塔氏 将求解方法告诉他，塔氏在其允诺绝对保密 的条件下同意了。但是卡尔达塔却背弃诺言 ， 1545年将塔氏关于三次方程的解法发表在 自己的著作《大术》(Ars Magna)一书中. 在 三次方程求解问题解决后，一般四次方程很 快被意大利数学家费拉里( Ferrari)所解决， 也发表在这部书中。
离散数学II
群、环、域、格与布尔代数
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课程安排
总学时：64 讲课学时：64(1-16周,每周4学时)
教材：《离散数学》孙吉贵等 -----高等教育出版社 参考教材: 1《离散数学-学习指导与习题解答》孙吉贵等 -----高等教育出版社 2《代数结构与组合数学》屈婉玲编著 -- -- -北京大学出版 社 3 《离散数学习题集》(抽象代数分册)张立昂编著-------北京 大学出版社 4《应用近世代数》胡冠章编著 -----清华大学出版社
阿贝尔
• 1821年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全 是自学，并开始花大量时间考虑数学问题 ，做研究工作。1825年大学毕业后，获得 奖学金前往柏林和巴黎留学并谋职。 • 在柏林他结识了数学家克雷尔（A.L.Crelle) ，并成为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著 名的数学刊物《纯粹与应用数学杂志》， 1826年出第一卷刊登了阿贝尔的7篇文章， 其中就有关于一般五次方程不能用根式求 解的文章，以后各卷也有他的很多文章。
伽罗华
• 在这一时期, 碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这 个问题, 而且最终取得了成功, 他就是伽罗华(Galois). • 伽罗华1811年10月降生于巴黎近郊.只活了20岁，而他 所留下的著作总共只有60页，但却以自己天才的创造 ，犹如划破黑夜长空的一颗彗星——Galois的出现， 开创了置换群论的研究. • 可是这位年轻人获得的非凡成果, 在他因决斗去世11 年后才开始得到数学界的承认. • 伽罗华幼年受过良好教育，12岁上中学，1827年16岁 就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。
伽罗华
• 在第二天的决斗中(离25步远用手枪射击), 伽 罗华的胃部中弹, 24小时后去世. 享年不足21 岁. • 他的信后来发表在1832年9月的“百科评论” 上，但当时并未引起人们的重视。14年后， 法国数学家刘维尔从伽罗华的弟弟手中搜集 到一些尚未公开发表的手稿，并把它发表在 自己创办的数学杂志上，人们才开始对伽罗 华的思想有所理解。 • 伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群, 他成了群论的创始人.
• 怀着沮丧之情, 伽罗华于1830年初又向 科学院提交了另一篇论文, 这次是为竞 争一项数学大奖. • 科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿 拿回家去审读, 不料在写出评审报告前 去世了, 此文再也没有找到.
伽罗华
• 三失手稿, 加之考巴黎高等工科大学两度失败, 伽罗华遂对科学界产生排斥情绪, 变成了学生 激进分子, 被学校开除. • 担任私人辅导教师谋生, 但他的数学研 究工作依然相当活跃. 在仔细研究了Lagrange、 Gauss、Abel、Cauchy等人著作的基础上写出了 最著名的论文“关于方程可根式求解的条件”, 并于1831年1月送交科学院. • 到3月, 科学院方面仍杳无音讯, 于是他写信给 院长打听他的文章的下落, 结果又如石沉大海.
域 论
• 域也是代数学中最基本的概念之一，有着悠久 的历史。早在19世纪初，伽罗华在研究方程的 根式解时就有了域的概念。后来在戴德金和克 罗内克关于代数数的著作里，虽然也出现过域 的概念，不过那时还没有域的抽象概念。 • 域的抽象概念始自韦伯，并在其影响下，德国 数学家施泰尼茨（E.Steinitz)对抽象域进行了 系统的研究。1910年他发表了论文《域的代数 理论》，第一次对域的理论作了全面和系统地 阐述，奠定了域论的基础。
阿贝尔
• 1824年, 挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格 朗日的看法. • 阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗日、高 斯有关方程式论的著作。开始时，他利用高 斯处理二项式方程的具体方法去研究五次方 程，曾一度以为能用根式解出五次方程，但 很快他发现其中存在的问题。
阿贝尔
• 这时，Abel敏感地猜想到一般五次方程不可 能用根式求解的结论。 • 接着，Abel成功地证明了一条定理，今天称 之为Abel定理。由此定理，Abel就证明了： “高于四次的一般方程不可能有一般形式的 根式解”。这是数学史上的一项重要成就。
伽罗华
• 他放弃了一切希望, 参加了国民卫队. 在那 里和他在数学界一样运气不佳. 他刚加入 不久, 卫队即遭控告阴谋造反而被解散. • 在1831年5月10日进行的一次抗议聚宴上, 伽罗华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯, 这一手势被同伙们解释成是要国王的命； 第2天他就被捕了. 后来被判无罪, 并于6月 15日获释.
伽罗华
• 7月4日, 他终于打听到他给科学院的那篇论文 的命运: 因“无法理解”而遭拒绝. • 审稿人是著名的数学家泊松(Poisson)，正如 当年高斯没能理解年轻的阿贝尔的思想一样 ，由于伽罗华的理论太深刻以至于超出了他 所在的那个时代，从而他的论文也未被当代 大师所领悟，结果泊松的审查意见竟是“完 全不能理解”，但是伽罗华的短暂生命使他 已经没有时间再解释其深刻思想了. • 7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁, 因 为他在公共场所身着已被解散的国民卫队的 制服.