初中数学概念教学的调查研究

初中数学概念教学的调查研究
一、前言
目前在初中数学教学中然着存在着“重解题技巧教学，轻数学概念教学”的倾向，有的教师甚至刻意追求概念教学的最小化和习题教学的最大化，并美其名曰“快节奏，大容量”。

实际上，这样的倾向和做法是应试教育背景下“舍本逐末”的典型案例，它们会不导致两种结果：其一是使学生认为概念学习单调乏味，从而不重视、不求甚解，对概念认识模糊；其二是使学生只知道死记硬背，却不能深刻理解概念背后的数学思维，从而对数学概念形成机械的、零碎的认识。

这两种错误倾向的最终结果是，学生在没能正确理解数学概念的条件下匆忙去解题，使得学生只会模仿老师解决某些典型例题的特定解法，一旦遇到新的背景、新的题目就束手无策，这又反过来导致教师和学生为了提高成绩陷入无穷的题海之中。

二、数学中考概念考查的结果分析
纵观近几年中考试卷可以发现，考察学生对数学概念的理解始终是命题的重要内容之一，但得分率都不高，举例如下：
1．下列算式一次式的是
（A ）8 （B ）t s 34+ （C ）ah
21 （D ）x 5
该题是2004年杭州中考的第1题，统计得分率为0.58（见施储老师《2004中考分析2005中考说明》）
2．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17-是17的平方根。

其中正确的有
（A ）0个 （B ）是1个 （C ）2个 （D ）3个
该题是2004年杭州中考的第6题，统计得分率为0.38（见施储老师《2004中考分析2005中考说明》）
3. 给出下列4个结论: ① 边长相等的多边形内角都相等; ② 等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形; ③ 三角形的内切圆和外接圆是同心圆; ④ 圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径, 则该直线是圆的切线. 其中正确结论的个数有（0.30）
(A) 0个 29.77% (B) 1个 41.48% (C) 2个 23.16% (D) 3个 5.60% 本题是2005年杭州中考第13题，得分率为0.30（见余功尉老师《2005年杭州市中考数学试卷分析》）
4. 考虑下面4个命题: ① 若一条直线上的两点到另一条直线的距离相等,则这两条直线
100的两个等腰三角形相似; ③对角线互相垂直且相等的四边形是正方平行; ②有一个角是
形; ④对角线相等的梯形是等腰梯形. 其中正确命题的序号是 _____________ . (把你认为是正确命题的序号都填上)
这题是2006年杭州中考第16题，统计得分率为0.41（见鲁明老师《2006年杭州市中考数学试卷的评析与启示》）
由此可以看出，在考察学生对数学概念的理解程度的题型上，学生的得分率普遍较低。

这直接地说明了学生在数学概念的理解方面能力的薄弱，从而说明，帮助学生更好地理解数学概念已然成为数学教学的迫切需要。

三、数学概念教学问题的原因分析
学生在数学概念的理解方面能力的薄弱主要表现在，一方面对数学概念的理解较模糊，概念混淆严重，缺乏清晰的认识和理解；另一方面不能在新的语境中建立基本的数学概念，不能将所学的数学概念进行灵活的运用。

究其原因，主要有以下几个方面：
1.教材编写的缺陷
最后，数学教材的编写者一般采用学生易于理解、便于接受的方式呈现，即所用材料都是经过教育心理学理论加工而成的，省去了问题的条件分析、知识的形成过程解析和结论的推理过程分析。

当学生阅读这样的教材时，只要顺着编写者的思路就基本上理解了，但换个情景则往往束手无策。

究其根本原因，问题的解决方法是编写者强加给学生的，而不是学生通过自己的探索思考得到的，因而学生不能把它灵活地运用到具体的情境中去。

2. 部分教师对专业知识的研究不够
个别教师在专业知识方面的探索不够，从而不能深入把握数学概念的实质，更不能以通俗易懂的方式帮助学生建立关于这些概念的理解。

而且在教师的实际教学中，关于数学概念的知识性错误时有发生，或者在概念的内涵层面理解不够全面，或者在概念的外延层面理解模糊。

而这些现象之所以出现，最根本的原因都是由于这些教师在专业知识方面的研究深度不够造成的。

3. 部分教师数学概念教学方法不当
因为教师大都采用传统的满堂灌的方法上课，对概念、公式的讲解非常细致，想做到点滴不漏，这样的做法实际上是“授人以鱼”的做法，而不是“授人与渔”，因而并不能帮助初中生建立完善的概念反思能力。

因为这种教学方法忽略了展示教师自己对于问题的思考过程，从而没有能够帮助学生理解相关的数学概念是针对解决怎样的数学问题而提出的，这也就相当于弃绝了帮助学生理解数学概念的主要路径。

在这样的教学中，教师不示范反思的方法、技巧，学生没有反思的机会和时间，师生的交流很少，学生也就无法通过模仿来学习和反思，从而使学
生失去了反思的情景知识。

4. 初中生缺乏完全的数学概念反思能力
之所以出现忽视数学概念教学这样的现象，当然跟初中生缺乏完全的概念反思能力也有关，因为初中生还很难理解一个数学概念的提出究竟具有怎样的意义，即究竟是为了解决怎样的数学问题。

而初中生之所以缺乏完全的概念反思能力。

因为初中生都处在认知结构、智能结构和心理结构逐步完善的阶段，因而缺乏充分的概念反思能力。

当然反过来说，这也是进行数学概念教育的一个使命，因为它可以帮助初中生完善以上各方面的结构并提高相应的能力；另一方面也跟当前的数学概念教学的不足有关，这方面的不足主要表现在：
三、对策
数学概念一般是以准确而精炼的数学语言运用定义的形式给出的，具有高度抽象的特征，是学生进行数学思维的核心。

数学概念不仅是数学基础知识的重要组成部分，而且是学习其他数学知识的基础。

而学生掌握基础知识的过程，实际上就是掌握概念并运用概念进行判断、推理的过程。

因此，数学概念教学应以学生对概念的理解为核心。

在具体的教学中，教师的着力点应放在“导”上，即通过设计—启发—引导来提高学生的参与程度，加强学生理解数学概念的主动性；与此同时，学生会经历探究—发现—反思的过程，经历数学概念形成的过程，从而加深了对概念的理解，掌握了概念提出的数学意义。

如笔者曾在课堂上出示过如下一例：
设点P（-a,b-a）在第四象限内，则点Q（a,b）到x轴的距离为（）。

A. b
B. -b
C. a
D. –a
这一问题虽小，却涉及点P（x,y）在第四象限内的条件：x＞0且y＜0；点Q（a,b）到x 轴的距离为点Q的纵坐标的绝对值，不等式的变形与传递性；实数绝对值的概念。

如果学生对这些知识点理解上存在任何缺陷，都将导致失误。

于是，在分析本例时可设计如下反思性问题：
1．点P（x,y）在第四象限内的条件是什么？
2．点Q（a,b）到x轴、y轴的距离怎样表示？
3．去绝对值的法则怎样？
经过反思使学生对概念的定义有了更深理解，并在头脑中形成较完整的概念。

在以后的练习中明显错误率降低了。

根据笔者的经验，为了使学生对概念有更好的理解，针对当前普遍存在的教学盲点提出如下具体的对策：
1．引导学生自主探索、形成概念
波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”。

因此在概念形成过程中，要引导学生通过对具体事物的感知，自主观察分析、抽象概括，自觉获取事物的本质属性和规律，从而形成新的概念。

如此一来，学生在获得概念的同时，还培养了抽象概括能力和创新精神，同时也使学生由被动地“听”发展为主动地获取和体验。

切莫把形成概念的生动过程变为简单的“条文加例题”，这样对概念的理解极为不利。

新课程理念下的数学概念教学要经过四个阶段：（1）活动阶段。

（2）探究阶段。

（3）对象阶段。

（4）图式阶段。

以上四个阶段反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。

其中的“活动”阶段是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系；“探究”阶段是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、概括过程，学生在头脑对活动进行描述和反思，抽象出概念所具有的特性；“对象”阶段是通过前面的抽象认识到了概念本质，对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个思维中的具体的对象，在以后的学习中以此为对象进行新的活动；“图式”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式。

如有理数加法法则教学案例：
I、运算操作：计算一个足球队在一场足球比赛时的胜负可能结果的各种不同情形：
(+3)+(+2)——+5 (-2)+(-1)——-3
(+3)+(-2)——+1 (-3)+(+2)——-1
(+3)+ 0——+3 …………
（其中每个和式中的两个有理数是上、下半场中的得分数）。

II、探究规律：把以上算式作为整体综合进行特征分析：同号相加、异号相加、一个数与零相加等的过程和结果对照总结规律，理解运算意义。

III、形成对象：把各种规律综合在一起成为一完整的有理数加法法则，并产生有理数和的模式：
有理数+有理数=①符号②数值
这一阶段还包括按照有理数和的模式及具体的运算律进行任意的有理数和的运算和代数式求值的运算等。

IV、形成图式：有理数加法法则以一种综合的心理图式建立在学生的头脑中，其中有具体的足球比赛的实例、有抽象的操作过程、有完整的运算律和形成的模式。

而且通过以后的学习获得和其他概念、规则的区别与联系
2．明确概念的内涵和外延
概念的定义，并不反映概念所包含的全部属性，因此概念形成后，还必须让学生掌握概念的内涵和外延，帮助学生内化概念，建立新的知识体系。

在概念教学中，教师既要让学生理清概念的结构特征，又要说明它与其它概念的联系和区别。

因此教师要引导学生仔细阅读概念，对概念逐字逐句加此推敲、分析，同时教师要多角度、多层次地剖析概念，启发学生抓住关键字眼，找到概念的本质特征。

挖掘概念中隐藏的性质和命题，例如：“分解因式”概念：“把一个多项式化成几个整式的积的形式”，在教学中往往只注重“积”这个关键字，而忽略了“整式”，
易造成对形如“3×2―3x=3×2（1―x 1
）也是分解因式的错误认识。

所以在教学中务必强调，并与学生分析这两处关键字的含义，加深学生对概念的理解。

在学习同类项的概念后，引导学生抓关键字眼，例如“多项式中”，“字母相同”，“相同字母的指数也相同”。

让学生观察下面各
组中的两项是否是同类项：（1）2a2b 与2ab2；（2）3xy 与―21yx ；（3）2a 与2ab ；（4）21
πr2和254r
；（5）―2.1与43。

补充：同类项与系数无关。

3．抓住概念间的联系和区别
数学概念不是孤立的，存在着横向与纵向的关系。

横向的关系表现为并列，对此应利用原有概念的理解，区分易混淆的概念。

纵向的关系表现为从属关系，对此应在适当的时候，尤其是在学习阶段要善于把有关的概念串联起来，充分揭示它们之间的内在规律，启发学生进行系统归纳让学生明确概念的联系和区别。

随着学习的不断深入，接触到的数学概念，越来越多，教师要根据概念之间的逻辑关系，按知识和结构组成概念体系，把学生感知的“孤立”、“零散”的概念纳入相应的数学体系中，让学生获得一个条理清晰的知识网络。

（1）对于并列相关的概念，可进行类比联想
在繁多的数学概念中，我们经常可以见到，有些概念内容相似，但有着本质区别；有些概念的本质相同，只是名称不同。

对于这类概念，我们可以采用类比联想，联想的东西越多，思考的途径就也越多。

例如：二次根式的加减就是合并同类项根式，它可以与初一的整式加减中的合并同类项类比，使合并同类根式与合并同类项的新旧意义迅速得到同化。

再如轴对称与中心对称，轴对称与轴对称图形，中心对称与中心对称图形等。

通过纵横对比，在类比中找特点，在联想中求共性，把数学知识系统化。

（2）对于容易混淆概念，进行对比区别。

只有比较才能鉴别，才能区分。

“对比”是我们认识概念，掌握概念的重要方法，对于那些容易混淆概念通过综合分析，比较找出其异同及相互关系，以期获得牢固而系统的知识。

例如：学完“直线、射线、线段”的概念后，可引导学生找出三者之间的联系和区别，先指出线段，射线都是直线的一部分，再从端点的个数及延伸情况找出它们的不同点。

通过对比加深对概念的理解，避免混淆，从而提高学生认知概念的清晰度。

（3）对于从属关系的概念，用图表体现。

有从属关系的概念的外延之间有着相互包含的关系，在复习阶段最好以图表的形式表现出来，便于学生一目了然、网络分明使概念系统化、条理化，有利于学生的记忆和理解。

例如：
4．运用概念同化手段
随着年龄的增加，学生的认知水平在提高，他们的认知结构中的知识越来越丰富，所掌握的概念也越来越成系统，相应的，概念同化也逐渐成为他们获得概念的另一种形式。

由奥苏伯尔的有意造旧知识，使新概念与已有认知结构中的相关知识进一步分化和融会贯通。

例说概念同化的几个阶段：
（1）揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号。

如“一次函数”的定义为“函数y=kx+b，其中k、b?”
（2）对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征。

上例中可讨论的一次函数特例是：y=kx，y=x，y=－x，y=b，等。

（3）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念。

上例中，把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作比较，认识一次函数与这些相关概念的联系与区别。

（4）用肯定例证与否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中的相关概念分化。

上例中可举：y=x－1，y=－x+b，y=0，y=1，y=－x，y=x2，ay=x+3，并要求学生指出相应的k、b 各是多少。

学生往往拿不定主意，y=0到底是不是一次函数，而y=x－1中的b=？等等。

这一
阶段可以防止和纠正类似错误的发生。

（5）把新概念纳入到相应的概念体系中去，使有关概念融会贯通，组成一个整体。

5. 重视概念的应用与反思
心理学告诉我们，概念一旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。

在概念教学过程中，经常会出现这样的情况：学生课堂上听懂了，却不会应用概念去解决问题，而且对知识遗忘的程度比较高，因此概念的巩固尤其重要。

教师要在学生形成概念的基础上，创造性地使用教材，对教材中干扰概念教学的例题要更换，对脱离学生实际的概念应用题要大胆删去，通过精心设计适量典型性的例题和习题，让学生尝试应用概念解决问题，设计题目时根据概念的内涵和外延，可编拟各种题型，也可有意设置错误解法和易错习题，学生通过阅读、辨析、讨论，找出错误并纠正。

例如函数y=(m+1)x m 2
+1+2x―3是抛物线，则m的值是（）A、±1 B、—1 C、1 D、
无法确定分析：不少同学知道二次函数的图象是抛物线，则m2+1=2，从而选择A，忽视了m+1≠0的条件，这是对二次函数的概念理解不深刻的表现。

事实上，当m= —1时，m+1=0，此时变成一次函数y=2x-3，图象便是直线了。

可见，概念在学生头脑中建立后，教师要抓住时机多角度、多层次进行练习。

此时，巩固学习针对性要强。

四、结论
教学实践证明，学生反思活动的实施使学生的双基、思辨能力、创新能力、解决问题能力以及情感、态度、价值观之间形成了一个有机的整体，并使学生的元认知能力得到了很好的发展。

当然，设计学生反思活动，对教师的素质也提出了更高的要求，能否为学生创设顺利实现教学任务的反思活动，取决于教师的教学艺术和教育机智。

作为学生学习活动的指导者、帮助者和促进者，教师需要进行大量精细而复杂的工作：要刻苦学习，准确地把握课堂教学，全面关注学生的智力、情感、生活经验、关注课外的知识信息，拓宽视野，更新知识；要充分发挥自己的主观能动性，具备创造性地选择教学材料和独立自主地处理教材的能力；要不断的反思自己教学过程中的得失，不断的总结经验。

只有这样，教师才能充分发挥主导作用，才能提高学生各方面素质和能力，实现教学相长；才能给初中数学的教学带来生机和活力，实现课堂教学卓有成效。