有限元强度折减法

有限元强度折减法

1 背景

1974年，Smith & Hobbs[1]使用有限元方法分析了φu=0条件下的边坡稳定性并与Taylar[2]的结果进行对比，得到了很好的一致性；1975年，Zienkiewicz等[3]考虑c’、φ’进行有限元边坡稳定性分析，其结果与圆弧滑面解有较好吻合；1980年Griffiths[4]验证了一系列具有不同材料特性和形状的边坡稳定性并通过与Bishop& Morgenstern[5]的结果进行了对比确定了数据的可靠性；此后也有研究证实了利用有限元方法进行边坡稳定性分析的可靠性[6,7,8,9]；在文献[9]中，引入一些案例证明了有限元强度折减法的准确性，并证明了有限元强度折减法在分析非均质边坡时相对于传统方法的优越性。2001年，郑颖人等[10]把有限元强度折减法引入国内，并对此进行了后续研究[11,12,13,14]。

相较于一些传统的边坡稳定型分析方法，有限元强度折减法有以下几个优点[9]：

(1)不必假设滑面的位置和形状，当土体自身强度不足以抵抗剪应力时土体

失稳会自然发生。

(2)由于有限元强度折减法中没有条分的概念，因此也不必假设条间力，在

整体失稳之前土体都处于整体稳定状态。

(3)使用有限元方法能够查看破坏过程。

2 有限元强度系数折减法

1.模型参数

边坡模型主要包括六个参数，分别是：膨胀角ψ、内摩擦角φ’、黏聚力c’、弹性模量E’、泊松比υ’、重度γ。

膨胀角影响土体屈服后的体积变形，若ψ<0，则土体屈服后体积减小，若ψ>0则体积增大，ψ=0则体积不变。ψ=φ的情况被称之为关联流动法则，但是此时ψ值通常高于实验观测值，特别是在侧限条件下会提高土的承载力预测值。边坡稳定型问题通常是处于无侧限条件下，此时膨胀角的选取不再重要[9]，因此文献[9]选取ψ=0条件下的非关联流动法则，并且通过案例分析可以得出此膨胀角的选取可以得出准确的安全系数以及滑动面。

c’和φ’指Mohr-Coulomb准则中边坡土体的有效黏聚力和内摩擦角；E’和υ’是土体材料的弹性参数，这两个参数对土体稳定性分析的影响较小；γ是土体的重度。应用有限元方法进行边坡稳定性分析中最重要的三个参数是c’、φ’、和γ。

2.屈服条件

(1)Mohr-Coulomb准则

Mohr-Coulomb准则用大小主应力表示如式(1)所示：

σ1′−σ3′

2=σ1′+σ3′

2

sinφ′−c cosφ′(1)

其中， σ1′、σ3′分别指土中一点的大小主应力。在主应力空间中，如果不考虑σ1、σ2、σ3之间的大小关系，屈服面是一个不等角六棱锥，在π平面上是一个等边不等角六边形。

(2)D-P准则

(4) (6) D-P 准则可以写成式(2)形式：

−βI 1+√J 2=k f (2)

其中I 1为第一应力不变量、J 2为第二偏应力不变量，β和k f 为试验常数。在主应力空间中其屈服面为一个圆锥，在π平面上是一个圆形。

3)D-P 准则转换为Mohr-Coulomb 准则

首先引入参数b ，如式(3)所示： b =σ2

−σ3σ1−σ3

(3) 则，I 1和√J 2分别可转化为式(4)：

I 1=3(σ1+σ3)2+(b −12)(σ1−σ3)

√J 2=λ√3

1−σ3) 其中λ=√1−b +b 2

将其带入(2)，得式(5)：

σ1−σ3= 1.5β

2−bβ+λ

√3(σ1+σ3)+k f β2−bβ+λ

√3 (5)

与式(1)对比可知两个准则之间的转换关系如式(6)所示：

sinφb = 1.5β2−bβ+λ√3 2c b cosφb =k f β2−bβ+λ√3 因此，当b=0时，即外角点外接DP 圆的两个试验常数分别如式(7)所示，当

b=1时，即内角点外接DP 圆的两个试验常数分别如式(8)所示。

β=

√3(3−sinφ)k f =√3(3−sinφ) (7) β=√3(3+sinφ)

k f =√3(3+sinφ) (8)

21σ2

≥≥σ2σ1≥b P 圆内角点外接D

3.安全系数的定义

(1)Mohr-Coulomb 准则中的安全系数

1955年，Bishop [15]首先在边坡稳定性分析中提出了抗剪强度折减的概念，在有限元强度折减法中通过将坡体的强度参数：黏聚力c 和内摩擦角φ同时除一个折减系数F t ，得到一组新的c’和φ’值，作为一个新的强度参数输入进行试算，

(10) 当计算不收敛时，对应的F t 即为所求的安全系数，此时坡体达到极限状态，发生剪切破坏。

c’=c/F t

φ’=arctan(tanφ/F t )

(2)D-P(Drucker-Prager)准则中的安全系数

取F t 为D-P 准则中的强度折减系数，则D-P 准则可以表示为式(9)，

−βF t I 1+√J 2=k f F t (9) (3)不同屈服条件下安全系数转换[13]

首先引入Mohr-Coulomb 等面积圆屈服准则，在π平面上，其屈服面是一个圆，并且面积与Mohr-Coulomb 准则的不等角六边形相等，Mohr-Coulomb 等面积圆屈服准则中的试验参数如式(10)所示： −β=

k f 式中θδ=arcsin −23Asinφ+[49A 2sin 2φ−4(sin 2φ3+1)(A 23−1)]122(sin 2φ3−1)，A =√26√3

简称外接圆屈服准则为DP1准则，其试验常数分别为β1，k f1；Mohr-Coulomb 等面积圆屈服准则为DP2准则，其试验常数分别为β2，k f2。把DP1准则表示为f 1=√J 2=β1I 1+k f1，DP2准则可表示为f 2=√J 2=β2I 1+k f2。令η=β1\β2=k f1\k f2=f(φ)，f 1=β1I 1+k f1=ηβ2I 1+ηk f2，所以f 1f 2=ηβ2I 1+ηk f2β2I 1+k f2=η=

f(φ)。由此可知，η是φ的函数，当φ取不同值时可以得到不同的η值如表1所列：

表 1 不同内摩擦角时的η值

4.失稳判据

目前两个比较主流的失稳判据分别是有限元计算中力不平衡和位移的不收敛以及广义塑性应变或者等效塑性应变从坡脚到坡顶贯通。Griffiths [9]和郑颖人

[11,12,13,14]都使用计算不收敛作为失稳判据。

Griffiths [9]提出，当在用户定义的最大迭代数目下计算仍不收敛时，则没有任何一种应力分布方式可以同时满足Mohr-Coulomb 准则以及整体稳定，这种情况可看做边坡失稳判据。边坡失稳与数值计算不收敛同时发生，并伴随着极大的节点位移，并以1000作为最大的迭代步数。

郑颖人[14]提出，有限元的计算迭代过程就是寻找外力和内力达到平衡状态的过程，整个迭代过程直到一个合适的收敛标准得到满足才停止。可见，如果边坡失稳破坏，滑面上将产生没有限制的塑性变形，有限元程序无法从有限元方程组中找到一个既能满足静力平衡又能满足应力-应变关系和强度准则的解，此时不管是从力的收敛标准，还是从位移的收敛标准来判断有限元计算都不收敛。