同济大学第二版结构力学

自由度的计算公式为：
W = V+3 得 V= W- 3= 3m- （ 3g + 2j ）-3
例1. 求图示多跨梁的自由度。 解： W= 3m－（ 3g + 2j + r ）=3×3－（2×2＋4）=1
因 W>0，体系是几何可变的。
1
2
3
例2. 求图示不与基础相连体系的自由度。 解： 体系内部可变度 V = 3m－（ 3g + 2j ）－3=3×7－2×9－3=0
图2.2
3. 约束 （1）定义：又称联系，是体系中构件之间或体系与基础 之间的联结装置。限制了体系的某些方向的运动，使体 系原有的自由度数减少。减少一个自由度的装置，称为 一个约束。 （2）约束的类型：链杆、铰结点、刚结点 1) 链杆 如图2.3(a)所示。一根链杆能使体系减少一 个自由度，它相当于一个约束。 2) 铰结点 两个刚片的铰称为单铰。如图2.3(b)所示。 单铰的作用相当于两个约束，或相当于两根链杆的作用。
图2.13
平面杆件结构可分为静定结构和超静定结构两类。
凡只需利用静力平衡条件就能确定全部支座反力和 内力的结构称为静定结构。 全部支座反力或内力不能只由静力平衡条件来确定 的结构称为超静定结构。 图2.14(a)所示为一简支梁。简支梁是静定结构的一个 例子。图2.14(b)所示为一连续梁。连续梁是超静定结构 的一个例子。
图2.12
【例2.4】分析图2.13所示体系的几何构造。
【解】（1） 分析图(a)中的体系 首先，三角形ADE和AFG是两个无多余约束的几何 不变体系，分别以Ⅰ和Ⅱ表示。Ⅰ与地基Ⅲ间的链杆1、 2相当于瞬铰B，Ⅱ与地基Ⅲ间的链杆3、4相当于铰C。如 A、B、C三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不 变体系。 （2） 分析图（b)中的体系 先把折杆AC和BD用虚线表示的链杆2与3来替换，于 是T形刚片CDE由三个链杆1、2、3与基础相连。如 三链杆共点，则体系是瞬变的。
虚铰的特点：如下图（a）所示刚片Ⅱ不动，刚片Ⅰ 以点C为瞬时转动中心进行转动，只有一个自由度。经过 一微小位移后，两杆延长线的交点C的位置也发生了改变， C点起到一个铰的作用。
三、平面体系自由度的计算 1. 体系与基础相连时的自由度计算公式 设有一个平面刚片系： 刚片数： m → 单铰结点数： j → 单刚结点数： g → 支座链杆数 ： r →
3） 刚结点 如图2.3(c)所示，它的作用是使两个刚 片不能有相对的移动及转动。刚结点能减少三个自由度， 相当于三个约束。
图2.3
（3）单约束与复约束 单约束：连接两个物体的约束叫单约束。 复约束：连接3个（含3个）以上物体的约束叫复约束 1)复铰结点 若一个复铰上连接了N个刚片，则该复 铰具有2(N-1)个约束，等于(N-1)个单铰的作用。 2)复刚结点 若一个复刚结点上连接了N个刚片，则 该复刚结点具有3(N-1)个约束，等于(N-1)个单刚结点的 作用。
图（d）是几何可变体系 图2.5
图（a）是有一个多余约束的几何不变体系 图2.6
五、分析举例
分析的一般要领是：先将能直接观察出的几何不变 部分当作刚片，并尽可能扩大其范围，这样可简化体系 的组成，揭示出分析的重点，便于运用组成规则考察这 些刚片间的联结情况，作出结论。 下面提出几个组成分析的途径，可视具体情况灵活 运用。 （1） 当体系中有明显的二元体时，可先依次去掉其 上的二元体，再对余下的部分进行分析。如图2.7所示体 系。
（4）必要约束与多余约束 1)必要约束：使体系自由度数减少为零所需的最少约 束。 2)多余约束：体系上约束数目大于体系的自由度数目， 则其差值就是多余约束。 注：有无多余约束是判定结构是静定和超静定的依据。
（5）实铰与虚铰 1)实铰：由两根链杆相交于一点构成的铰成为实铰。 2)虚铰：虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的。 虚铰的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延长线交于 一点。 注：无论是实铰还是虚铰，都提供2个约束。
图2.7
(2) 当体系的基础以上部分与基础间以三根支承链杆 按规则二相联结时，可先拆除这些支杆，只就上部体系 本身进行分析，所得结果即代表整个体系的组成性质。 如图2.8所示体系。
(3) 凡是只以两个铰与外界相连的刚片，不论其形状 如何，从几何组成分析的角度看，都可看作为通过铰心 的链杆。如图2.9所示体系。
二、两刚片规则 1. 规则二：两个刚片用一个单铰和杆轴不过该铰铰心的 一根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。如图 2.4(b) 所示。 2. 推论：两个刚片用不全交于一点也不全平行的三根链 杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。如图2.5(a)所 示。
图2.4
三、三刚片规则 1. 规则三：三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰 （可以是虚铰）两两相连，组成无多余约束的几何不变 体系。如图2.4(c) 所示。 2. 铰接三角形规则：平面内一个铰接三角形是无多余约 束的几何不变体系。 注意：以上三个规则可互相变换。之所以用以上三种 不同的表达方式，是为了在具体的几何组成分析中应用 方便，表达简捷。
从几何组成分析方面来看，图2.14(a)为无多余约束 的几何不变体系，它是静定的。而图2.14(b)为有一多余 约束的几何不变体系，它是超静定的。 因此，静定结构的几何组成特征是几何不变且无多 余约束，超静定结构也为几何不变但有多余约束。通过 几何组成分析可以判定结构是静定的还是超静定的。
图2.14
2. 自由度 （1）自由度的概念：体系运动时，用以确定体系在平面 内位置所需的独立坐标数。 （2）一个点：平面内的一个点，要确定它的位置，需要 有x，y两个独立的坐标，因此，一个点在平面内有2个自 由度，如图2.2(a) 。 一个刚片：确定一个刚片在平面内的位置则需要有 三个独立的几何参变量，故一个刚片在平面内有3个自由 度。如图2.2(b)所示。 注：凡体系的自由度大于零，则是可以发生运动的， 位置是可以改变的，即都是几何可变体系。
第二章 平面体系的几何组成分析 2.1 概 述
一、几何组成分析的目的 1 . 前提条件：不考虑结构受力后由于材料的应变而产 生的微小变形，即把组成结构的每根杆件都看作完 全不变形的刚性杆件。 2 . 几何不变体系：不考虑材料变形，在荷载作用下能 保持其几何形状和位置都不改变的体系，如图2.1(b) 所示。 几何可变体系：在荷载作用下不能保持其几何形 状和位置都不改变的体系，如图2.1(a)。
1 1
1 1 1
2
2
3. 体系自由度的讨论 （1） W>0，自由度数目>约束数目，体系几何可变 （2） W=0，具有使体系几何不变所需的最少约束 （3） W<0，自由度数目<约束数目，体系几何不变且具 有多余约束（超静定结构） 注意： W≤0 是体系几何不变的必要条件。
2.2 几何不变体系组成规则及体系分析举例
图2.1 注意：建筑结构必须是几何不变的。
3．研究体系几何组成的目的
（1）研究几何不变体系的组成规律，判断某一体系是否 几何不变，从而判定该体系是否可作为结构使用； （2）明确结构各部分在几何组成上的相互关系，从而选 择简便合理的计算顺序； （3）判定结构是静定结构还是超静定结构，以便选择正 确的结构计算方法。
一、一点一刚片 1. 规则一：一个点与一个刚片之间用两根不在同一条直 线上的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。 2. 结论：二元体规则 （1）二元体：两根不在同一条直线上的链杆联接一个新 结点的装置，如图2.4(a)所示。 （2）二元体规则：在一已知体系中依次增加或拆除二元 体，不改变原体系的几何性质。 注意：利用二元体规则简化体系，使体系的几何组 成分析简单明了。
自由度： 3m 约束： 2j 约束： 3g 约束： r
体系自由度计算公式：W= 3m-（ 3g + 2j + r ）
注：支座链杆数是把所有的支座约束全部转化为链 杆约束所得到的。
2. 体系不与基础相连时的自由度计算公式 体系不以基础相连，则支座约束 r =0，体系对基础有 3个自由度，仅研究体系本身的内部可变度V，可得体系
【例2.3】试对图2.12所示体系进行几何组成分析。
【解】体系基础以上部分与基础用三根不交于一点且不 完全平行的链杆1、2、3相连，符合两刚片规则，只分析 上部体系。将AB看作刚片Ⅰ，用链杆AC、EC固定C，链 杆BD、FD固定D，则链杆CD是多余约束，故此体系是有 一多余约束的几何不变体系。在本例中链杆AC、EC、 CD、FD及BD其中之一均可视为多余约束。
二、相关概念 1 . 刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性物体叫 作刚片。 注：（1）在平面杆件体系中，一根杆件（直杆、折杆或 曲杆）都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不 变部分也可视为刚片。地基基础也可视为一个大刚片。 （2）刚片中任意两点间的距离保持不变，所以可由 刚片中的一条直线代表刚片。
图2.8
图2.9
【例2.1】试对图2.10所示体系进行几何组成分析。
【解】AB杆与基础之间用铰A和链杆1相连，组成几何不 变体系，可看作一扩大了的刚片。将BC杆看作链杆，则 CD杆用不交于一点的三根链杆BC、2、3和扩大刚片相连， 组成无多余约束的几何不变体系。
图2.10
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【例2.2】试对图2.11所示体系进行几何组成分析。 【解】体系中折杆DHG和FKG可分别看作链杆DG、FG（图中虚线 所示），依次去掉二元体（DG、FG）、（EF、CF），对余下部分， 将折杆ADE、杆BE和基础分别看作刚片，它们通过不共线的三个铰 A、E、B两两相连，故为无多余约束的几何不变体系。
四、瞬变体系 1. 瞬变体系的概念：原本是几何可变，在微小荷载作用 下发生瞬间的微小刚体几何变形，然后便成为几何不变 的体系称为瞬变体系。如图2.5(b)(c) 、 2.6(b)所示。
2. 瞬变体系的静力特性：在微小荷载作用下可产生无穷 大内力。因此，瞬变体系或接近瞬变的体系都是严禁作 为结构使用的。 注：瞬变体系一般是总约束数满足但约束方式不满足规 则的体系，是特殊的几何可变体系。