风险和收益的衡量

(1)
为X的方差.
采用平方是为了保证一切
注：也可以记 作D(X)
差值X-E(X)都起正面的作用
由于它与X具有相同的度量单位，在实
际问题中经常使用.
Var(X)=E[X-E(X)]2
方差刻划了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度 .
若X的取值比较集中，则方差较小； 若X的取值比较分散，则方差较大 . 若方差Var(X)=0,则r.v. X 以概率1取常数值 .
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹，其落点距目标的位置如图：
••
•
中• 心• • •
•
••
••中•••心•• •••
甲炮射击结果
乙炮射击结果
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
乙较好
方差
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}<∞，
则称 Var(X)=E{[X-E(X)]2 }
例2 一批产品有一、二、三等品，等外品及废 品5种，相wenku.baidu.com的概率分别为0.7，0.1，0.1， 0.06及0.04。若其产值分别为6元，5.4元， 5元，4元及0元。求产品的平均产值。
解：产品的产值X是一个随机变量，
X 6 5.4 5 4 0 P 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04
E故（XE） 60.7 5.40.1 50.1 40.06 00.04 5.48
求D
解：已求出E=
7 2
E2 12 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 1
6
6
6
6
6
6
1 6 7 13 1 91
6
66
故方差为
D
91 6
7 2
2
35 12
方差的性质
(1)D(c)=0 D(c)=E(c-Ec)2
(2)D( c) D
D( c) E( c E( c))2 E( c E c)2 E( E)2
对收敛的级数的和.
例例 1 4 甲乙两射手在一次射击中得分为
甲 X甲 1
2
3
P 0.4 0.1 0.5
乙 X乙 1
2
3
P 0.1 0.6 0.3
比较甲、乙两射手的技术。
E解（：X甲E）=1 0.4+2 0.1+3 0.5=2.1
E（X乙E） 10.1 20.6 30.3 2.2
多次射击后，平均得分分别是2.1与2.2 乙的技术较好。
第二种方案风险更大
方差的一个简化公式
Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：Var(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
展开
利用期望 性质
123456
例8 已知 P
1
1
1
1
1
1
666666
(3)D(c) c2D
D(c) E(c E(c))2 E(c cE)2
E(c2( E)2) c2E( E)2 D
标准差
在实际问题中，由于数据单位的要求。
一般用：
σ= Var(X)
衡量离散程度
称之为标准差或根方差
协方差
协方差衡量两个随机变量如何共同变化，即它们 之间的互动性。
协方差可为正值、负值或零。 ➢ 正的协方差表明，当一个随机变量出现大于平均
由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 .
Var(
X
)
[xk E( X )]2 pk ,
k 1
[x
E(X
)]2
f
( x)dx,
X为离散型， P{X=xk}=pk
X为连续型， X~f(x)
两批零件的长度有如下的分布
1 P
8 0.2
8.5 0.2
9 0.2
9.5 0.2
数学期望的性质
1. 设C是常数，则E(C)=C; 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);
3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); 注意:由E(XY)=E(X)E(Y)
n
n
不一定能推出X,Y独立
推广 : E[ Xi ] E( Xi )
i 1
i 1
4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
第一章 风险和收益的衡量
第一节 基础知识
• 数学期望 • 方差 • 标准差 • 协方差 • 相关系数
数学期望
定义1 设X是离散型随机变量，它的概率分布
是: P{X=xk}=pk , k=1,2,…
如果 | xk | pk有限, 定义X的数学期望
k 1
E( X ) xk pk
k 1
也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝
某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪
器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点
表示如图：
• • • • •a •• • • •
测量结果的
甲仪器测量结果
均值都是 a
•••• •a •• •••
乙仪器测量结果
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
第二批零件更好。
例5 一项投资的收益与两种方案有关，其收益的 分布分别为 0 100 -200 400 P 0.6 0.4 P 0.6 0.4 比较两种方案。
解：E E 40 两种方案的预期收益相同
D (0 40)2 0.6 (100 40)2 0.4 2400
D (200 40)2 0.6 (400 40)2 0.4 86400
值的值时，另一个随机变量的值也会大于均值。
➢ 负的协方差正相反，一个出现大于均值的值，与 之相反，另一个则会出现小于均值的值。
➢ 协方差为零，表明把两者的结果简单配对并不能 揭示出什么固定模式。
协方差
任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y), 定义为
n
n
推广 : E[ Xi ] E( Xi )
i 1
i 1
连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),
如果
| x | f ( x)dx
有限,定义X的数学期望为
E( X ) x f ( x)dx
也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝 对收敛的积分.
仅用数学期望反映事物特征行吗？
10 0.2
E(ξ1)=9
2 8.5 8.8 9 9.2 9.5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
E(ξ2)=9
D1 (8 9)2 0.2 (8.5 9)2 0.2 (9 9)2 0.2
(9.5 9)2 0.2 (10 9)2 0.2 =0.5
D2 0.116