计算传热学-第3讲：数学模型与求解区域的离散化

边界节点处理较简单 边界相邻节点：要特别注意处理方法，与其它内部节点 有所不同 内节点法在边界相邻节点处始终是非均匀网格 可能会产生较大的误差

历史及习惯的原因：内节点应用较广泛


求解区域的离散化：网格参数

一维为例
(x)w (x)+w
(x)e (x)-e
P x
图 1 一维问题空间区域的离散化
求解区域实际区域 界定原则：计算结果不敏感原则，亦即，求解 区域的大小对计算结果没有明显的影响。 例子：

求解区域的界定：例子

流动问题的出口界面：
求解区域的界定：例子

无穷大区域的“无穷远界面”

半无限大介质中的稳态导热 Tf, h
Tw
Tf, h
求解区域的界定：例子

无穷大区域的“无穷远界面”

方法：

用“差商”代替“导数”
例题：一维稳态扩散问题
d 2 d 2 0 2 dx dx
x 0, 0 x 1, 1
精确解
xex1
3.2.2 Taylor级数展开法 －控制方程的离散化

例题：一维稳态扩散问题离散方程
x 0, 0 x 1, 1

三点中心差分格式：主要用于扩散项的处理

P
x
2
E W
2x
,
O(x 2 )
(x)w
(x)e
(x)-e
x 2

P
E 2P W
x 2
(x)+w
,
O(x 2 )
W
(x)w
w
P
x
e
E
(x)+
e
图 1 一维问题空间区域的离散化
3.2.2 Taylor级数展开法 －控制方程的离散化


节点在控制容积中的位臵不同

控制界面始终位于两节点中间位臵上：导数计算准确 不能保证节点始终位于CV的几何中心上 节点始终位于CV的几何中心上：非稳态项计算准确 不能保证控制界面始终位于两节点中间位臵上

内节点法：

求解区域的离散化：方法比较

当网格划分足够细时，两者没有本质区别

内节点法：
求解区域的离散化：方法二

内节点法或控制容积-节点法


先划定控制容积（节点所代表的求解区域） 节点：控制容积的几何中心 例子：二维矩形区域
3.1.3求解区域的离散化： 方法比较

边界节点所代表的求解区域（控制容积）不同：

外节点法：半个控制容积 内节点法：容积为0的控制容积 外节点法：
对数学模型进行离散化处理
Discretization of Mathematical Model
3-1求解区域的离散化

3.1.1求解区域的界定：

有限区域（finite domain）：

求解区域（Computational domain）＝实际区域
无限区域（infinite domain）：
例题：一维稳态扩散问题
d 2 d 2 0 2 dx dx
x 0, 0 x 1, 1
精确解
xex1
3.3控制容积法 －控制方程的离散化

例题：一维稳态扩散问题
x 0, 0 x 1, 1
(x)w
(x)+w (x)-e
d 2 d 2 0 2 dx dx
x 0, 0 x 1, 1
(x)w
(x)+w (x)-e
(x)e
W
(x)w
w
P
x
e
E
(x)+
e
图 1 一维问题空间区域的离散化
3.2.2 Taylor级数展开法 －控制方程的离散化

例题：一维稳态扩散问题离散方程
x 0, 0 d 2 d 2 0 2 x 1, 1 dx dx

例题：一维稳态扩散问题
x 0, 0 x 1, 1
W
(x)w
d 2 d 2 0 2 dx dx
(x)w
(x)+w
(x)-e
(x)e
计算传热学
Computational Heat Transfer
第3讲
数学模型与求解区域的离散化
Discretization of Mathematical Models and Computation Domain
本讲主要内容




求解区域的离散化 Taylor级数展开法 控制方程的离散化－Taylor级数法 控制方程的离散化－控制容积法 四个基本原则
2 2 3
W
(x)w
w
P
x
e
E
(x)+
e
x x x 4 4 W P x ... 2 3 4 x P 2 x P 6 x P 24 x P
3
图 1 一维问题空间区域的离散化
x 2 2 x 3 3 x 4 4 E P x ... 2 3 4 x P 2 x P 6 x P 24 x P
控制方程的离散化－变物性的情况

控制容积法 Taylor级数法

交界面参数的计算 源项的线性化
三个关键环节


建立恰当的数学模型
Proper Mathematical Modelling
对求解区域进行离散化处理
Discretization of Computational Domain
3.2.2 Taylor级数展开法 －控制方程的离散化

例题：一维稳态扩散问题离散方程
d 2 d 2 0 2 dx dx
Fra Baidu bibliotek
1 xW 2 x2 P 1 xE 0
1.9375 1 0.752 03 0 1.25 1 1.9375 2 0.753 0 01 1.252 1.9375 3 0.75

Taylor级数法和控制容积法最为重要 Taylor级数法的基本思路


借助Taylor级数展开给出各阶导数的差商表达式 将方程中的各阶导数用相应的差商表达式代替 整理化简
3.2.1 Taylor级数展开法－等步长
(x)w

等步长时，

(x)e
(x)-e
(x)+w
x ＝(x)w ＝(x)e 各阶导数的表达式
网格参数：各参数之间的关系

外节点法

(x)+w＝½ (x)w ； (x)-e ＝½ (x)e x ＝½ [(x)w ＋(x)e ] (x)+w＝ (x)-e ＝½ x

内节点法

3.2 Taylor级数展开法

控制方程离散化的方法：

Taylor级数法 多项式拟合法 控制容积法 。。。。
1.9375 1 0.752 03 0 1.25 1 1.9375 2 0.753 0 01 1.252 1.9375 3 0.75
xex1
3.3 控制方程离散化的控制容积法


定义：将控制方程在控制容积上积分从而得 到离散化方程的离散化方法 具体步骤：
(x)e
积分： 2 ed e d e w dx2 dx 2w dxdx w dx 0
e d d 2 e w dx 0 w dx e dx w
W
(x)w
w
P
x
e
E
(x)+
e
图 1 一维问题空间区域的离散化


3.3控制容积法 －控制方程的离散化

向前差分：
(x)w
(x)+w (x)-e
(x)e
x

P
E P
x
,
O(x)
W
(x)w
w
P
x
e
E
(x)+
e
图 1 一维问题空间区域的离散化
3.2.1 Taylor级数展开法－等步长

等步长时，x ＝(x)w ＝(x)e
x 2 2 x 3 3 x 4 4 W P x ... 2 3 4 x P 2 x P 6 x P 24 x P x 2 2 x 3 3 x 4 4 E P x ... 2 3 4 x P 2 x P 6 x P 24 x P

线性分布主要用于


3.3 控制方程离散化的控制容积法

具体步骤：

将控制方程在控制容积上积分； 假定适当的分布函数（distribution function）


阶梯分布 线性分布

将分布函数代入并完成积分，整理化简，得到离 散化方程
3.3控制容积法 －控制方程的离散化

方法：

用“差商”代替“导数”

节点的命名

内部结点 Internal node
N(i,j+1) 内部结点 Internal node
边界节点 Boundary node
W(i-1,j)
P(i,j)
E(i+1,j)
边界节点 Boundary node
S(i,j-1)
求解区域的离散化

确定区域离散化的要素



节点位臵坐标 控制界面位臵 节点间距 控制容积的大小

确定节点在子区域中的位臵

节点所代表的区域及其大小
用一组正交的网格线（可以是曲线）将求解区域 进行分割

方法：

求解区域的离散化：方法一

外节点法或节点-控制容积法

网格线的交点作为节点 节点所代表的求解区域（控制容积）

由两节点间中心位臵的对称界面围成的区域。

例子：二维矩形区域
求解区域的离散化



节（结）点：网格线的交点 控制容积（节点所代表的求解区域）：两节点 中间界面所围成的区域。 节点的分类：

相邻接点：坐标轴方向上相差一个步长的节点 内部节点：所有相邻节点都属于求解区域的节点 边界节点：至少有一个相邻节点不属于求解区域 研究对象点：P（i,j) 相邻节点：按方位关系或位臵坐标
W
(x)-w
w
e (x)+e
E
网格参数：名称与定义


(x)w＝(x)+w＋(x)-w 节点W－P之间的距离 (x)e＝(x)+e＋(x)-e 节点P－E之间的距离 (x)+w 控制界面w－节点P之间的距离 (x)-e 节点P－控制界面e之间的距离 x ＝ (x)+w ＋(x)-e 控制容积 w ， e 左、右控制面


将控制方程在控制容积上积分； 假定适当的分布函数（distribution function）


阶梯分布 线性分布
阶梯型分布函数

阶梯分 布
精确解
x
x

控制容积上均匀分布（为一常数） 控制容积代表点（节点）处的值为分布值：
P
x [ x w , x] (24)
线性分布函数

(x)w
(x)+w (x)-e
d 2 d 2 0 2 dx dx
E W d dx P 2x
d 2 dx2
P
(x)e
W 2P E
x 2
W
(x)-w
w
P
x
e
E
(x)+e
图 1 一维问题空间区域的离散化
1 xW 2 x2 P 1 xE 0

无限大介质中的非稳态导热
y
x
求解区域的界定

对称区域：对称问题的求解区域
T2
T1
T1 T2
T2
对称轴 T1
T1
对称轴
T1
3.1.2 求解区域的离散化

什么是求解区域的离散化

将求解区域划分为若干个互不重合的子区域（CV)

不重合 子区域（sub-region) 控制容积（control volume) 给出节点位臵坐标

向后差分：用于时间偏导数和对流项的处理
x

P
P W
x
,
O(x)
3.2.1 Taylor级数展开法－等步长

等步长时，x ＝(x)w ＝(x)e
x 2 2 x 3 3 x 4 4 W P x ... 2 3 4 x P 2 x P 6 x P 24 x P x 2 2 x 3 3 x 4 4 E P x ... 2 3 4 x P 2 x P 6 x P 24 x P
线性分 布
精确解
x
x
P W W (x) ( x xW ) w P E P ( x xP ) (x) e
x [ xW , xP ] (25) x [ xP , xE ]
分布函数

梯形分布主要用于


计算控制容积上待求变量的值 源项，非导数项 非稳定项 待求变量的梯度值 控制界面处待求变量值