一道全国高中数学联赛试题的解法探究
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＋ Ｖ ＋ Ｗ ＝ １ ２＋ Ｖ２＋ Ｗ２＝ １ ，
，
故 佗 ｚ４ ｚ ． ：√一 Ｖ ｎ
且 ≥Ｙ≥ Ｚ 等价于 ，≥Ｖ≥ Ｗ “ ．问题转化 为求实数 的取值范围． １代 数 法 ． 由 ＋ Ｗ ＝ ｌ—ｕ Ｖ ， ＋Ｗ ＝ ｌ— ， 得
２ｗ ＝ （ ） 一（ ＋Ｗ ） （ 一 。 ｖ Ｖ＋ 。 。 ＝ １ ） 一
先证 明一个结论： 引理 设 △ ｙ 是等腰三 角形， ｙ＝ Ｚ ＝他 ＹＺ ＝ｍ． ， 过点 Ｚ作 ｙ的垂线， 垂足为点
５４ －２
数 学教 学
１ 一 ｔ ｔ 札
２１ 年第 ５ ０２ 期
一
１— ２
‘
的垂线， 垂足为点 Ｆ， ＯＦ ≤ ≤ Ｏ 则 Ａ．因为 △Ｐ Ｄ是正三角形， 故 Ｄ ：
ｄ
ｆ １ Ｅ
图 ２
ｏ
综 可 ≤ １ 而１ ≤ ． 上 知丢 ≤ ， ≤ 吕 从
４ 解析 法 ．
由 ＋ ＋Ｗ ＝ １Ｕ ， ＋ ＋ Ｗ ＝ １ 得 ，
２ ｖ＋ ２ ｗ ＋ ２ ｕ ｖ ｗｕ＝ （ Ｖ＋ ） （ ＋ ＋ 一 ｕ
Ｖ ＋Ｗ。 ＝ ０ 故 札 ） ， ＋ Ｖ ＋ Ｗ ｔ ？ Ｗ ＝ ０的三个 实 数根 ． 一 ｔ Ｖ
球面．△（ 二 ） Ｂ、 ＢＣ、 △０ ＡＯＣ Ａ均是等腰直角
三 角形 ， （Ａ ＝ ０Ｂ ＝ ０Ｃ ＝ １ ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ 且 ＝ ） ，
） ≥ △
Ａ＝、 ， ／ 从而 ／Ａ ／ ２ ｋ ＢＣ是正三角形．
记上述平面与球面相 交所确 定的圆的圆心
为 Ｐ， 则点 Ｐ是 △ Ｂ 的重心， 且圆Ｐ的半径为
＝ ０ ．
从而 Ｕ Ｖ Ｗ是关 于ｔ 、、 的一元三次方程 ｔ ３一
设函数 ｆｔ ＝ｔ 一ｔ． ． ） ３ （ ） 。 则厂 ＝ ｔ ｔ 一２．
可 知
Ａ ＯＡＤ ，ＯＡ ： （Ｄ ： ｌ ＡＤ ： ＝ ） ，
ｏ ｆ ）
．
当ｔ 时， ） ， （ 严格单增； ＜０ ｆ ＞０ ｆｔ ） 当０＜ｔ 时， ） ， （ 严格单减； ＜ ｔ ＜０ ．ｔ 厂 厂）
由 ＋ Ｖ＋ Ｗ ＝ １ 得
ｓ ｎ ＋ ｃ ＝ ｉ ｏｓ ．
分为ｊ （ ４ 别（）２ ） ０、 ０
１
Ａ ；
、 、
；
Ｂ
由 Ｖ≥ 得 ｓｎ０≥ Ｃ Ｓ ， ｉ Ｏ 故 ０ ２ ｉ ≥ ｎ ｓ
又因 ｉ ｎ
， ｐ ｉ ＞０ 且 ｎ ｓ ．
。 ｓ ＝ ＝
、
．
综上可知， ≤ｒ≤１ 从而 １ ≤ ． “ ， ≤
２ 几 何 法 ．
连结点 Ｃ、 Ｐ并延长， 与圆Ｐ交于点 Ｄ．连 如 图２ ３ 圆周 上满足 ｕ ≥ 的点组成弧 、 ，
结点 、 Ｐ并延长， 圆Ｐ交于点 Ｅ． 与 ＤＡ 满足 ≥ Ｗ的点组 成弧 Ａ Ｃ， ＤＢ Ｅ．故满 足 Ｕ ≥ Ｖ≥ Ｗ的点组成弧 ＡＤ．过点 Ｄ作 （ ＝ ）
２ １年第 ５ ０２ 期
数 学教 学
５４ －１
一
道全国高中数学联赛试题的解法探究
３ ３ 天津师范大学数学系 边 欣 ０８ ０７
１
２ １年全国高 中数学联合竞赛一试 （卷） ０１ Ｂ 的
第９ 为： 题 已知 实 数 Ｘ Ｙ Ｚ 足 ： ≥ Ｙ≥ ＺＸ＋ Ｙ＋ 、、满 Ｘ ，
Ｚ ＝ １ ｚ。＋ Ｙ ， ＋ Ｚ ： ３
ｏ
≥
三
．
０
Ｃ
故 ｃｓ 。２ ０≤
１一 Ｕ２ 。
， 而 从
≥ ｓｎ ｉ ２０＋ ｃ ｓ ＿ １ ｏ２ ０ ．
一
＋
１一 札２ ／
即钆 ＋ （ —２ ） １ ｕ ≥１ ， ３ 。 ｕ≥ 一 得 一２
／ ／
Ｄ Ｄ
０ 故 札≥ ． ，
ｏ
利用上面的引理， 可得 Ｏ ＝ ． Ｆ
９
ｒ ）
当ｔ 时， ） ， （ 严格单增， ＞ ， ＞０ ． ｔ 厂）
Ｌ Ｊ
因为 ＯＦ ≤ ≤ ＯＡ， 故 ≤ ≤ １ ，
９
并且，ｔ ＝０ （ 在ｔ 处取极大值０ 在ｔ 三 ） ， ＝ 处取极
从而１ ≤昙 ≤ ．
Ｖ＋ Ｗ ＝ １ 示 由三 点 Ａ（，，） Ｂ（，，） 表 １００、 ０１０、 Ｃ（，，） ００１所确定的一个平面． 。 ｕ ＋Ｖ ＋Ｗ ＝１
去１ 一、 ） （一 ／ ． ／ △
再由
故３ ｕ一 １ 从而 ３
） ，
表示以原点ｏ（，，） ｏ００为球心， 为半径的单位 以１
（ 一钆 ） ｕ １ ＝２ 一２ ， Ｖ ＝Ｕ 一ｒ ｕ故 Ｗ ０ “ ．
Ｖ ｍ
Ｚ Ｙ
Ｖ ｍ
ｚ
从而Ｖ Ｗ是关于ｓ 、 的一元二次方程８ ＋（ 一 乱
图 １
１８ 一 ＝０ ） ＋Ｕ 的两个实数根．
由判别式 Ａ＝（ 一１ ） 一４ 一ｕ ≥０ （ ） ，
３ 三 角法 ． 易知 ０ ＜ ｕ ≤ １ 当 ｕ ＝ １ ． 时，Ｖ ＝ ＝
ｏ
小值 一 ． 图４ 如 所示， 其中点Ａ、点 Ｂ的坐标
０ 当 ＜ １ 令 Ｖ ＝ 、１ ０ｉ ， ＝ ． 时， ／ 一 ｎ Ｗ ／ ｓ ０
ｖｌ ＣＳ ， 中０≤０＜２ ． ＇— Ｏ 其 ０ 丌
．
＝
卜
： ｍ ２
求实数Ｘ的取值范围．
＝
这是一道构 思巧妙的试题． 本文将从代数、 几何、 三角、 解析等几个方面探 究此题 的解法． 先 对 Ｘ Ｙ 进行如下变换， 、、
１
、一 ／ ． ｎ ２
ｚ
一
，
令＝＋一 去 ＝ ＋． 乱詈 ＋， 主石 叫 １ 容 易验 证
得 ３ ０ 一１≤０ 即 （仳＋１（ ｕ —２ ， ３ ） 一１ ≤０故 ） ，
１
一
从 ＝ 筹 ） 而 （ 卜 跸
＝
在三维空间的直 角坐标系０ 一Ｕ Ｗ中， ＋ Ｖ
≤ ≤ １ ．
又因为 ≥Ｗ 故 ＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ１ ＋、 ） ， （一 ／ ， △ Ｗ＝
１ 一 二
，
故 佗 ｚ４ ｚ ． ：√一 Ｖ ｎ
且 ≥Ｙ≥ Ｚ 等价于 ，≥Ｖ≥ Ｗ “ ．问题转化 为求实数 的取值范围． １代 数 法 ． 由 ＋ Ｗ ＝ ｌ—ｕ Ｖ ， ＋Ｗ ＝ ｌ— ， 得
２ｗ ＝ （ ） 一（ ＋Ｗ ） （ 一 。 ｖ Ｖ＋ 。 。 ＝ １ ） 一
先证 明一个结论： 引理 设 △ ｙ 是等腰三 角形， ｙ＝ Ｚ ＝他 ＹＺ ＝ｍ． ， 过点 Ｚ作 ｙ的垂线， 垂足为点
５４ －２
数 学教 学
１ 一 ｔ ｔ 札
２１ 年第 ５ ０２ 期
一
１— ２
‘
的垂线， 垂足为点 Ｆ， ＯＦ ≤ ≤ Ｏ 则 Ａ．因为 △Ｐ Ｄ是正三角形， 故 Ｄ ：
ｄ
ｆ １ Ｅ
图 ２
ｏ
综 可 ≤ １ 而１ ≤ ． 上 知丢 ≤ ， ≤ 吕 从
４ 解析 法 ．
由 ＋ ＋Ｗ ＝ １Ｕ ， ＋ ＋ Ｗ ＝ １ 得 ，
２ ｖ＋ ２ ｗ ＋ ２ ｕ ｖ ｗｕ＝ （ Ｖ＋ ） （ ＋ ＋ 一 ｕ
Ｖ ＋Ｗ。 ＝ ０ 故 札 ） ， ＋ Ｖ ＋ Ｗ ｔ ？ Ｗ ＝ ０的三个 实 数根 ． 一 ｔ Ｖ
球面．△（ 二 ） Ｂ、 ＢＣ、 △０ ＡＯＣ Ａ均是等腰直角
三 角形 ， （Ａ ＝ ０Ｂ ＝ ０Ｃ ＝ １ ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ 且 ＝ ） ，
） ≥ △
Ａ＝、 ， ／ 从而 ／Ａ ／ ２ ｋ ＢＣ是正三角形．
记上述平面与球面相 交所确 定的圆的圆心
为 Ｐ， 则点 Ｐ是 △ Ｂ 的重心， 且圆Ｐ的半径为
＝ ０ ．
从而 Ｕ Ｖ Ｗ是关 于ｔ 、、 的一元三次方程 ｔ ３一
设函数 ｆｔ ＝ｔ 一ｔ． ． ） ３ （ ） 。 则厂 ＝ ｔ ｔ 一２．
可 知
Ａ ＯＡＤ ，ＯＡ ： （Ｄ ： ｌ ＡＤ ： ＝ ） ，
ｏ ｆ ）
．
当ｔ 时， ） ， （ 严格单增； ＜０ ｆ ＞０ ｆｔ ） 当０＜ｔ 时， ） ， （ 严格单减； ＜ ｔ ＜０ ．ｔ 厂 厂）
由 ＋ Ｖ＋ Ｗ ＝ １ 得
ｓ ｎ ＋ ｃ ＝ ｉ ｏｓ ．
分为ｊ （ ４ 别（）２ ） ０、 ０
１
Ａ ；
、 、
；
Ｂ
由 Ｖ≥ 得 ｓｎ０≥ Ｃ Ｓ ， ｉ Ｏ 故 ０ ２ ｉ ≥ ｎ ｓ
又因 ｉ ｎ
， ｐ ｉ ＞０ 且 ｎ ｓ ．
。 ｓ ＝ ＝
、
．
综上可知， ≤ｒ≤１ 从而 １ ≤ ． “ ， ≤
２ 几 何 法 ．
连结点 Ｃ、 Ｐ并延长， 与圆Ｐ交于点 Ｄ．连 如 图２ ３ 圆周 上满足 ｕ ≥ 的点组成弧 、 ，
结点 、 Ｐ并延长， 圆Ｐ交于点 Ｅ． 与 ＤＡ 满足 ≥ Ｗ的点组 成弧 Ａ Ｃ， ＤＢ Ｅ．故满 足 Ｕ ≥ Ｖ≥ Ｗ的点组成弧 ＡＤ．过点 Ｄ作 （ ＝ ）
２ １年第 ５ ０２ 期
数 学教 学
５４ －１
一
道全国高中数学联赛试题的解法探究
３ ３ 天津师范大学数学系 边 欣 ０８ ０７
１
２ １年全国高 中数学联合竞赛一试 （卷） ０１ Ｂ 的
第９ 为： 题 已知 实 数 Ｘ Ｙ Ｚ 足 ： ≥ Ｙ≥ ＺＸ＋ Ｙ＋ 、、满 Ｘ ，
Ｚ ＝ １ ｚ。＋ Ｙ ， ＋ Ｚ ： ３
ｏ
≥
三
．
０
Ｃ
故 ｃｓ 。２ ０≤
１一 Ｕ２ 。
， 而 从
≥ ｓｎ ｉ ２０＋ ｃ ｓ ＿ １ ｏ２ ０ ．
一
＋
１一 札２ ／
即钆 ＋ （ —２ ） １ ｕ ≥１ ， ３ 。 ｕ≥ 一 得 一２
／ ／
Ｄ Ｄ
０ 故 札≥ ． ，
ｏ
利用上面的引理， 可得 Ｏ ＝ ． Ｆ
９
ｒ ）
当ｔ 时， ） ， （ 严格单增， ＞ ， ＞０ ． ｔ 厂）
Ｌ Ｊ
因为 ＯＦ ≤ ≤ ＯＡ， 故 ≤ ≤ １ ，
９
并且，ｔ ＝０ （ 在ｔ 处取极大值０ 在ｔ 三 ） ， ＝ 处取极
从而１ ≤昙 ≤ ．
Ｖ＋ Ｗ ＝ １ 示 由三 点 Ａ（，，） Ｂ（，，） 表 １００、 ０１０、 Ｃ（，，） ００１所确定的一个平面． 。 ｕ ＋Ｖ ＋Ｗ ＝１
去１ 一、 ） （一 ／ ． ／ △
再由
故３ ｕ一 １ 从而 ３
） ，
表示以原点ｏ（，，） ｏ００为球心， 为半径的单位 以１
（ 一钆 ） ｕ １ ＝２ 一２ ， Ｖ ＝Ｕ 一ｒ ｕ故 Ｗ ０ “ ．
Ｖ ｍ
Ｚ Ｙ
Ｖ ｍ
ｚ
从而Ｖ Ｗ是关于ｓ 、 的一元二次方程８ ＋（ 一 乱
图 １
１８ 一 ＝０ ） ＋Ｕ 的两个实数根．
由判别式 Ａ＝（ 一１ ） 一４ 一ｕ ≥０ （ ） ，
３ 三 角法 ． 易知 ０ ＜ ｕ ≤ １ 当 ｕ ＝ １ ． 时，Ｖ ＝ ＝
ｏ
小值 一 ． 图４ 如 所示， 其中点Ａ、点 Ｂ的坐标
０ 当 ＜ １ 令 Ｖ ＝ 、１ ０ｉ ， ＝ ． 时， ／ 一 ｎ Ｗ ／ ｓ ０
ｖｌ ＣＳ ， 中０≤０＜２ ． ＇— Ｏ 其 ０ 丌
．
＝
卜
： ｍ ２
求实数Ｘ的取值范围．
＝
这是一道构 思巧妙的试题． 本文将从代数、 几何、 三角、 解析等几个方面探 究此题 的解法． 先 对 Ｘ Ｙ 进行如下变换， 、、
１
、一 ／ ． ｎ ２
ｚ
一
，
令＝＋一 去 ＝ ＋． 乱詈 ＋， 主石 叫 １ 容 易验 证
得 ３ ０ 一１≤０ 即 （仳＋１（ ｕ —２ ， ３ ） 一１ ≤０故 ） ，
１
一
从 ＝ 筹 ） 而 （ 卜 跸
＝
在三维空间的直 角坐标系０ 一Ｕ Ｗ中， ＋ Ｖ
≤ ≤ １ ．
又因为 ≥Ｗ 故 ＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ１ ＋、 ） ， （一 ／ ， △ Ｗ＝
１ 一 二