判断并证明函数的单调性

判断并证明函数的单调性

例1、 判断函数x

x x f 1)(2-

=在区间),0(+∞上的单调性，并用单调性的定义证明结

论．

分析：判断函数在给定的单区间上是增还是减，除根据定义代值判断外，还可由已掌握的基本初等函数在给定区间上的单调性，结合运算性质的分析作出判断．

解：因为二次函数2x u =在区间),0(+∞上是增函数，反比例函数x

v 1-

=在区间

),0(+∞上也是增函数．

∴在区间),0(+∞上，随自变量x 值的增大，2

x u =和x

v 1-=的函数值也增大，则函数

x

x

x f 1)(2

-

=的函数值也增大．

∴函数x

x x f y 1)(2

-

==在区间),0(+∞上是增函数．

证明：设21x x 是区间),0(+∞是任意的两个值，且21x x <． +∞<<<∴210x x

1

2

12

2

21211)()(x x x x x f x f +

--

=-

)11(

)(2

1

1

12

2x x x x -

+-=

21121212))((x x x x x x x x -+

+-=

].1)[(2

11212x x x x x x +

+-=

+∞<<<210x x

.01,02

11212>+

+>-∴x x x x x x

,0)()(12>-∴x f x f ).()(12x f x f >∴

x

x x f 1)(2

-

=∴在区间),0(+∞上是增函数．

小结：注意该题中函数表达式的特点及变形技巧．还有与此类似的一些函数，如：

x

x x f x

x x f x

x x f x

x x f 82)(,1)(,1)(,1)(2

+

=-

=+

=+

=，等等，在证明这些函数的单

调性时，对)()(21x f x f -实施正确的因式分解至关重要．