基于有限元法验证圣维南原理

基于有限元法验证圣维南原理
摘要：圣维南原理是弹性力学中的最重要的基础性原理，本文主要是利用有限元方法，对圣维南原理进行验证。

文章首先是基于有限单元法的基本原理，进行平面有限元程序的编写，然后对所选模型进行有限元模型的建立，采用不同的荷载加载形式，利用编写的程序进行计算，最后对得到的结果从不同的方面进行分析，然后得出结论，对圣维南原理的正确性进行肯定。

关键词：有限元，圣维南原理，程序设计
一、 引言
圣维南原理（Saint Venant ’s Principle ）是弹性力学的基础性原理[1]，是法国力学家圣维南于1855年提出的。

其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。

很多学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。

有限元法（Finite Element Method ）是求解复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。

将其应用到工程中，可成为探究物质客观规律的先进手段。

本文主要利用有限元法，进行程序设计，再利用该程序对圣维南原理进行验证，通过对施加不同的荷载情况下，比较构件内位移、应力的变化，进而对圣维南原理的正确性做出肯定。

二、 有限元基本原理及程序设计
有限元分析包括三个方面[2]：1 有限元方法的基本数学力学原理；2 基于原理所形成的计算机程序；3 使用计算机进行计算。

首先来讨论一下有限元方法的基本数学力学原理。

本文所涉及的程序是基于3节点三角形单元（3-node triangular element ）,每个单元有6个自由度，所有节点的位移组成位移矩阵U ，所有节点力组成荷载向量P 。

图1
其形函数为：
u 1
u 2
u 3
v 1
v 2
v 3
N i=(a i+b i x+c i y)，i=1，2，3其中：
a i=x j y m−x m y j
b i=y j−y m
c i=x m−x j
应变转换矩阵：
B i=1
2A [
b i0
0c i
c i b i
]，i=1，2，3
弹性系数矩阵：
D=
E
1−μ2
[
1μ0
μ10
00
1−μ
2
]
单元刚度阵：
K e=∫B T∙D∙B∙t∙A=[k11k12k13 k21k22k23 k31k32k33
]
其中：t---单元的厚度；
A---为单元的面积。

单元应变：
ε=BU
单元应力：
σ=Dε
有了这些基本公式[3]后，就要进行有限元程序的编写，编写程序见附录。

三、有限元模型的建立及计算
为了对圣维南原理的验证，我们选取一个悬臂梁进行计算，如图2。

设悬臂梁的长L=1m，高H=0.1m，厚度t=0.05m，杨氏模量E=235MPa，泊松比μ=0.25。

然后按照圣维南原理，在该梁的自由端施加不同的荷载，但要保持荷载的合力和合力矩不变。

在这里，为了便于模型的简化和计算，采取加载集中力F和均布荷载q，令F=Hq，则满足圣维南原理的条件。

图2
确定了加载方案，下一步是有限元模型的建立。

首先进行网格的划分，由于普通计算机的性能的限制，在这里我划分了80个单元，63个节点，共126个自
由度。

网格划分情况如图3。

图3
单元编号按照先自上而下，然后自左向右的顺序排列，由于格式的限制，图中不做表示。

单元和节点编好号之后要对边界条件进行处理。

首先，位移边界条件：
u1=0，v1=0
u2=0，v2=0
u3=0，v3=0
对应位移矩阵U，前六项为0。

其次是力的边界条件。

首先，在节点62施加方向向左的集中力F=10kN如图4，此时只有节点62受力，即F62x=-10kN。

34 37 40 43 46 49 52 55 58 61
36 39 42 45 48 51 54 57 60 63
35 38 41 44 47 50 53 56 59 62F=10kN
图4
按照该模型进行数据文件的准备，见附件。

准备完毕后进入程序开始计算，最终得到结果见表1，由于数据量很大，表中只取了部分应变数据，完整结果见
附件。

31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61
33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63
32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 625kN
2.5kN
2.5kN
图5
然后再在端部施加均布荷载，转化成节点力后如图5所示。

然后进行数据文
1 4 7 10 13 16 19 2
2 25 28 31 34 37 40 4
3 46 49 52 55 58 61 3 6 9 12 15 18 21 2
4 27 30 33 36 39 42 4
5 48 51 54 57 60 63
2 5 8 11 14 17 20 2
3 26 29 32 35 38 41 4
4 47 50 53 56 59 62
件的准备，只需修改荷载向量即可，然后进入程序进行计算，结果见表1。

同样，表中只取了部分应变数据，完整结果见附件。

四、数据比较及结论
得到数据之后，进行分析比较，这里我们取得到的应变进行比较。

首先在不同荷载作用下进行比较：从表1中的数据可见，在不同荷载作用下，构件的固定端和中间部分得到的应变几乎是一样的，差别在10-4，这个量级可以忽略不计；但是在自由端，也就是荷载施加端，得到的结果差别很大，从77至80号单元比较可见，力作用的单元应变较大，没有作用力的单元应变较小，因此，局部荷载
情况下的应变较均匀。

再从单一荷载作用下得到的数据进行分析：固定端的x方向的应变εx与构件
中间部分相差无几，而y方向上的应变εy比构件中间部分小很多，剪应变γxy却比构件中间部分大很多，造成这种情况的原因是材料泊松比μ的存在的及固定端约束所造成的。

再来看构件中间部分，εx在-8.5105左右，εy在2.1275附近，而
剪应变近似于0，这些数值与用弹性力学中的公式所计算得到的数值非常吻合，在误差允许范围内可以认为是一致的。

从以上分析可以看出，首先得到的是：构件的变形情况在远离荷载的地方与荷载的施加情况无关，而与荷载的合力和合力矩有关，而这正是圣维南原理。

从另一个方面，也得到弹性力学中的计算的正确性，进而也证明了弹性力学中的假设圣维南原理的正确性。

参考文献：
[1] 徐芝纶. 弹性力学（第4版）上册[M]. 北京：高等教育出版社.
[2] 曾攀. 有限元基础教程[M]. 北京：高等教育出版社.
[3] 王勖成. 有限单元法[M]. 北京：清华大学出版社.。