捕食者与被捕食者模型——Logistic-Volterra

捕食者与被捕食者模型——Logistic-Volterra模型
摘要
Logistic模型是最常用的模型之一，在其基础上又可以发展出许多其他数学模型，其重要性不言而喻，而Volterra模型则是经典的被捕食者与捕食者模型之一。

本文尝试结合两者，建立一个Logistic-Volterra模型，并做出数值解和分析。

关键词：Logistic模型 Volterra模型数值解
一、问题的提出
Volterra模型显示的被捕食者与捕食者系统存在着显著的周期振荡，而实际上，多数的捕食者与捕食者系统都是观察不到的。

尝试建立模型，描述这种现象。

二、符号说明
r：被捕食者固有增长率
d：捕食者固有死亡率
a：捕食者掠取被捕食者的能力
b：被捕食者供养捕食者的能力
N1：被捕食者的最大环境容纳量
N2：捕食者的最大环境容纳量
三、模型假设
1.在没有天敌的情况下，被捕食者数量增加的固有速度与被捕食者数量x和阻滞作用因子
(1-x/N1)成正比，即dx
dt =rx(1−x
N1
)
2.在没有食物的情况下，捕食者数量减少的固有速度与捕食者数量y和阻滞作用因子
(1+y/N2)成正比，即dy
dt =−dy(1+y
N2
)
3.捕食者与被捕食者在同一环境下生存，它们的种群变化速度互相影响，影响因子应与它
们相遇的频率成正比，即捕食导致被捕食者数量减少的速度为-axy，捕食导致捕食者数量增加的速度为bxy
四、模型建立与求解
1.Volterra模型的分析
意大利数学家Volterra在上世纪20年代提出的Volterra模型：
dx
dt
=rx−axy
dy
dt
=−dy+bxy
取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02，运用matlab的ode45功能函数，做出数值解，并绘图分析。

图1被捕食者与捕食者随时间变化图图2捕食者与被捕食者相图
从图形可以看出，捕食者与被捕食者共同生存，数量随时间作周期变化。

2.建立Logistic-Volterra模型
在Volterra模型中的物种自身增长率中，考虑自身阻滞作用，即加入Logistic项，得到以下模型：
dx dt =rx(1−
x
N1
)−axy
dy
=−dy(1+y
2
)+bxy
取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02 N1=100 N2=25，运用matlab的ode45功能函数，做出数值解，并绘图分析。

图3被捕食者与捕食者随时间变化图图4捕食者与被捕食者相图
此时，捕食者与被捕食者的种群数量不再作显著的周期变化，而是趋向于一个稳定的值，在捕食者与被捕食者相图中，曲线由原来的简单封闭曲线演变为趋向于一个点的曲线。

五、模型评价
该模型所建立的常微分方程组具有一个渐近稳定的平衡点，比较好地描述了实际生物种群数量的演化过程。

模型中的自身阻滞作用和固有增长率是用同一参数来考虑的，考虑到这两种作用应该有不同的影响因子，应该用两个不同的参数来考虑。

六、参考文献
1.章绍辉.数学建模.北京：科学出版社，2010.
2.钟季康.大学物理习题计算机解法.北京：机械工业出版社，2008.
七、附录
Logistic-Volterra 常微分方程组函数
function y=catcher(t,x)
r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;N1=100;N2=25;
y=zeros(2,1);
y(1)=r*x(1)*(1-x(1)/N1)-a*x(1)*x(2);
y(2)=-d*x(2)*(1+x(2)/N2)+b*x(1)*x(2);
运用ode45求解
x10=25;x20=2; %初值条件
[T,Y]=ode45('catcher',[0 50],[x10 x20]);
subplot(121)
plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'--');
subplot(122);
plot(Y(:,1),Y(:,2))。