应用圆锥曲线的定义解题

圆锥曲线定义的应用

一、利用定义求距离的最值

例1、在抛物线x y 22=上求一点P ，使P 到焦点F 与到点A （3，2）的距离之和最小，则点P 的坐标为

高考再现一:（08辽宁）已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点M （0，2）的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）

A.217

B. 3

C.5

D.29

高考再现二: (09四川理)已知直线0634:1=+−y x l 和直线1:2−=x l ，抛物线x y 42=上一动 点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( )

A. 2

B. 3

C. 511

D. 16

37

类比应用1——椭圆

例2、已知点)3,2(A ，F 是椭圆112

162

2=+y

x 的左焦点，一动点M 在椭圆上移动，则|AM|+2|MF|的最小值为_____

变式一、已知)1,1(A ，21,F F 是椭圆15

92

2=+y x 的左右焦点，M 是椭圆上的一点。

（1）求 2MF MA + 的范围

（2）求 MA MF 231+ 的最小值

变式二: 已知椭圆15922=+y x 上一动点P 到直线02434:1=+−y x l 和直线29

:2=x l 的距离分别

为d 1,d 2，则d 1+ 3

2

d 2之和的最小值是( )

A. 5

B. 3

C. 2

D. 5

2

3

类比应用2——双曲线

例3、已知)3,2

11(A 为一定点，F 为双曲线12792

2=−y x 的右焦点，M 在双曲线右支上移动，

当MF AM 2

1

+ 最小时，求M 点的坐标．

变式一:已知F 是双曲线112

42

2=−y x 的左焦点，定点A （1，4）

，P 是双曲线右支上的动点，则PA PF +的最小值为__ __.

变式二: 已知双曲线112

42

2=−y x 右支上一动点P 到直线012:1=+−y x l 和直线1:2=x l 的距离

分别为d 1,d 2，则d 1+ 2d 2之和的最小值是( ) A. 5 B. 3 C. 2 D. 5

59

二、利用定义求值

例4、已知21,F F 分别是双曲线)0(122

22>>=−b a b

y a x 的两个焦点，A 和B 是以O(O 为坐标原点)

为圆心，1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 5 C. 2

5

D. 13+

例5、已知点P 是双曲线)0(122

22>>=−b a b

y a x 右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，

I 为△PF 1F 2的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值（ ）

（A ）a b a 222+ （B ）2

2b a a + （C ）a b （D ）b a

四、练习：

1、已知)3,3(A , 椭圆112

16

2

2=+y x 上一动点P 到直线8:=x l 的距离分别为d ，则|PA|+2

1

d 之和

的最小值是( )

A. 5

B. 3

C. 2

D. 10

2、过椭圆左焦点F 倾斜角为600的直线交椭圆于A, B 两点, |FA|=2|FB|, 求椭圆的离心率

3、点P 在椭圆120

452

2=+y x 上，F 1，F 2是其左右焦点，21PF PF ⊥，求21PF PF −

4、从双曲线15

3

2

2

=−y x 的左焦点F 引圆322=+y x 的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，

M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则 |MO|—|MT| 等于（ ） A. 3 B. 5 C. 35− D. 35+

5、过椭圆)0(122

22

>>=+b a b

y a

x 的左焦点F 1的弦AB 的长为3，AF 2=4,且02=⋅AF AB ，则该

椭圆的离心率为

6、过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 作直线L ，交抛物线于A ，B 两点，交其准线于C 点.若BF CB 3= , 则直线L 的斜率为 .

五、强化训练

1. 若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线22

221(0,0)x y a b a b

−=>>，有相同的焦点12,F F ，P 是两条双曲线的一个焦点，则12PF PF 的值是_____

2. 椭圆

22110036x y +=上一点P 到它的右准线的距离为10，那么点P 到它的左焦点的距离是______ 3. 已知定点

A (−，点F 为椭圆22

11612

x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2AM MF +的

最小值，并求此时点M 的坐标

4.

321x y =−+的类型

5. 双曲线

22

11213

y x −=的一支上有三个不同的点M 11(,)x y ，

N )

和P ()22,x y ，它们与双曲线一

个焦点F 的距离,,MF NF PF 成等差数列，求12y y +

6. 点P 是椭圆

22

110064x y +=上的一点，12,F F 是其焦点，若1260F PF ∠=，求Δ12F PF 的面积为多少 7. 已知椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别是1(,0)F c −、2(,0)F c ，'

2F 是椭圆外的动点，满足

'122F F a =，点P 是线段'12F F 与该椭圆的焦点，点T 在线段'22F F 上，并且满足20PT TF •=，

20TF ≠，求点T 的轨迹C 的方程

8. 已知22

143

x y +=内有一点P (1,1)−，F 为椭圆右焦点，椭圆上有一点M ，使2MP MF +最小，求此最小值及M 点坐标

9. AB 为抛物线2

y x =的一条弦，4AB =，F 为其焦点，求AB 的中点M 到直线1y =−的最短距离

10. 过椭圆左焦点，且倾斜角为60的直线交椭圆与A 、B 亮点，若2AF FB =，求椭圆的离心率

11. 设l 是经过双曲线22

221x y a b

−=的右焦点2F 的直线，且和双曲线右支交于A 、B 两点，则以AB 为直