材料力学 强度理论与组合变形

第八章强度理论与组合变形
§8-1 强度理论的概念
１．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。

例1常温、静载条件下，低碳钢的拉伸破坏表现为塑性屈服失效，具有屈服极限
σ，
s
铸铁破坏表现为脆性断裂失效，具有抗拉强度
σ。

图9-1a,b
b
２．同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抗力。

例2常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉时，不再出现塑性变形，而沿切槽根部发生脆断，切槽导致的应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸型应力状态。

图（9-2a,b）
例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时，不再出现脆性断口，而出现塑性变形，此时材料处于压缩型应力状态。

图（9-3a ）
例4 常温静载条件下，圆柱形大理石试件在轴向压力和围压作用下发生明显的塑性变形，此时材料处于三向压缩应力状态下。

图９－３b
３．根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，其强度条件为 []σσ≤ ，根据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为 []ττ≤ 。

建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是： １）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设； ２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。

３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。

§8-２四个强度理论
１．最大拉应力准则（第一强度理论）
基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。

表达式：u σσ=+
max
复杂应力状态
321σσσ≥≥， 当01>σ， 1
m a x
σσ
=+
简单拉伸破坏试验中材料的正断抗力
b u σσσ==1，032==σσ 最大拉应力脆断准则： b σσ=1
(9-1a)
相应的强度条件：
[]b
b n σσσ=
≤1
(9-1b)
适用范围：虽然只突出 1σ 而未考虑 32,σσ 的影响，它与铸铁，工具钢，工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合。

特别适用于拉伸型应力状态（如0321=>≥σσσ），混合型应力状态中拉应力占优者（ ,0,031<>σσ但31σσ> ）。

2．最大伸长线应变准则（第二强度理论）
基本观点：材料中最大伸长线应变到达材料的脆断伸长线应变 u ε时，即产生脆性断裂。

表达式：
u εε=+
max
复杂应力状态
321εεε≥≥，当01>ε， [])(132
1
1max σσ
νσεε+-=
=+
E
简单拉伸破坏试验中材料的脆断伸长线应变
b σσ=1，032==σσ，E
b
b u σεε=
=
最大伸长线应变准则：
b σσσνσ=+-)(321
（9-2a ）
相应的强度条件：
[]b
b n σσσσνσ=
≤+-)(321 （9-2b ）
适用范围：虽然考虑了2σ，3σ的影响，它只与石料、混凝土等少数脆性材料的实验结果较符合（如图9-4所示），铸铁在混合型压应力占优应力状态下（01>σ313,0,σσσ<<）的实验结果也较符合，但上述材料的脆断实验不支持本理论描写的2σ，3σ对材料强度的影响规律。

3．最大剪应力准则（第三强度理论）
基本观点：材料中的最大剪应力到达该材料的剪切抗力u τ时，即产生塑性屈服。

表达式：u ττ=max
复杂应力状态
简单拉伸屈服试验中的剪切抗力
s σσ=1 ，032==σσ，2
s
s u σττ=
=
最大剪应力屈服准则：
s σσσ=-31
（9-3a ）
相应的强度条件：
[]s
s
n σ
σσσ=
≤-31 （9-3b ）321σσσ≥≥，
2
3
113σσττ-=
=maax
适用范围：虽然只考虑了最大主剪应力
13
τ ，而未考虑其它两个主剪应力 12τ ，
32
τ 的
影响，但与低碳钢、铜、软铝等塑性较好材料的屈服试验结果符合较好；并可用于像硬铝那样塑性变形较小，无颈缩材料的剪切破坏，此准则也称特雷斯卡（Tresca ）屈服准则。

3．形状改变比能准则（第四强度理论）
基本观点：材料中形状改变比能到达该材料的临界值 u f u )( 时，即产生塑性屈服。

表达式：u f f u u )(= 复杂应力状态
321σσσ≥≥，
[]2
13
2
32
2
21
)
()()(61σσ
σσ
σσ
-+-+-+=
E
v u
f
简单拉伸屈服试验中的相应临界值
s σσ=1，032==σσ，
2
261)(s u f E
v u σ⋅+=
形状改变比能准则：
[]s
σ
σσσσ
σσ
=-+-+-2
13232
2
21
)
()()(2
1 （9-4a ）
相应的强度条件：
[][]s
s
n σ
σσσσσ
σσ
=≤-+-+-2
13232
2
21
)
()()(2
1 （9-4b ）
适用范围：它既突出了最大主剪应力对塑性屈服的作用，又适当考虑了其它两个主剪应力的影响，它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好。

此准则也称为米泽斯（Mises ）屈服准则，由于机械、动力行业遇到的载荷往往较不稳定，因而较多地采用偏于安全的第三强度理论；土建行业的载荷往往较为稳定，因而较多地采用第四强度理论。

*附：泰勒——奎尼（Taylor —Quinney ）薄壁圆筒屈服试验（1931）。

米泽斯与特雷斯卡屈服准则的试验验证。

薄壁圆筒承受拉伸与扭转组合作用时，应力状态如图9-5a 。

主应力：2
2
3,142
12τ
σ
σ
σ+±=
，02=σ
代入第三强度理论：2
2
2
4s στ
σ=+ 或 142
2
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s s στσ
σ （a ） 代入第四强度理论：2
2
2
3s στ
σ
=+ 或 132
2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s s
στσ
σ （b ）
（a ），（b ）式在以s
σ
σ—
s
σ
τ为坐标轴的平面内为两条具有不同短轴的理论椭圆曲线
（图9-5b ）。

结果：试验点基本上落于两条理论曲线之间，大多数试验点更接近于第四强度理论曲线。

莫尔强度理论
1．不同于四个经典强度理论，莫尔理论不致力于寻找（假设）引起材料失效的共同力学原因，而致力于尽可能地多占有不同应力状态下材料失效的试验资料，用宏观唯象的处理方法力图建立对该材料普遍适用（不同应力状态）的失效条件。

2．自相似应力圆与材料的极限包络线
自相似应力圆：如果一点应力状态中所有应力分量随各个外载荷增加成同一比例同步增
加，则表现为最大应力圆自相似地扩大。

材料的极限包络线：随着外载荷成比例增加，应力圆自相似地扩大，到达该材料出现塑性屈服或脆性断裂时的极限应力圆。

只要试验技术许可，务求得到尽可能多的对应不同应力状态的极限应力圆，这些应力圆的包络线即该材料的极限（状态）包络线。

图9-6a 所示即包含拉伸、圆轴扭转、压缩三种应力状态的极限包络线。

3．对拉伸与压缩极限应力圆所作的公切线是相应材料实际包络线的良好近似（图9-6b ）。

实际载荷作用下的应力圆落在此公切线之内，则材料不会失效，到达此公切线即失效。

由图示几何关系可推得莫尔强度失效准则。

对于抗压屈服极限sc σ大于抗拉屈服极限s σ的材料（即s sc σσ>）
s sc
s σσσσσ=-
31
（9-5a ）
对于抗压强度极限bc σ大于抗拉强度极限b σ的材料（即b bc σσ>）
b bc
b σσσσσ=-31
（9-5b ）
强度条件具有同一形式：
[]σσσ≤-31k 或 [][]σσσσσ≤-
3
1c
t
（9-5c ）
相应于式（9-5a ），sc
s k σ
σ=
，[]s
s
n σ
σ=
；
相应于式（9-5b ），bc
b k σσ=
, []b
b n σσ=
对铸铁 4.0~2.0=k ，陶瓷材料 2.0~1.0=k ，对大多数金属，s sc σσ= ，此时莫尔强度条件退化为最大剪应力强度条件。

4．适用范围：
1）适用于从拉伸型到压缩型应力状态的广阔范围，可以描述从脆性断裂向塑性屈服失效形式过渡（或反之）的多种失效形态，例如“脆性材料”在压缩型或压应力占优的混合型应力状态下呈剪切破坏的失效形式。

2）特别适用于抗拉与抗压强度不等的材料。

3）在新材料（如新型复合材料）不断涌现的今天，莫尔理论从宏观角度归纳大量失效数据与资料的唯象处理方法仍具有广阔应用前景。

§11-1 组合变形的概念
1．构件的受力情况分为基本受力（或基本变形）形式（如中心受拉或受压，扭转，平面弯曲,剪切）和组合受力（或组合变形）形式。

组合变形由两种以上基本变形形式组成。

2．处理组合变形构件的内力、应力和变形（位移）问题时，可以运用基于叠加原理的叠加法。

叠加原理：如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力，应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无关。

说明：
①保证上述线性关系的条件是线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律； ②必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算，且能保证与加载次序无关。

如10-1a 图所示纵横弯曲问题，横截面上内力（图10-1b ）为N=P ，M (x )=
)(2
22
x p x q x ql υ+-。

可见当挠度（变形）较大时，弯矩中与挠度有关的附加弯矩不
能略去。

虽然梁是线弹性的，弯矩、挠度与P 的关系却仍为非线性的，因而不能用叠加法。

除非梁的刚度较大，挠度很小，轴力引起的附加弯矩可略去。

§8-3斜弯曲
图10-2(a)所示构件具有两个对称面（y ，z 为对称轴），横向载荷P 通过截面形心与y 轴成 α 夹角，现按叠加法写出求解梁内最大弯曲正应力的解法与步骤：
⑴根据圣维南原理，将载荷按基本变形加载条件进行静力等效处理，现将P 沿横截面对称轴分解为P y 、P z ，则有αcos P P y =，αsin P P z =（图a ）
⑵得到相应的几种基本变形形式，分别计算可能危险点上的应力。

现分别按两个平面弯
曲（图b ，c ）计算。

P y ，P z 在危险面（固定端）处分别有弯矩： )sin (αP M y =，
)cos (αP M z =（图d ）。

M y 作用下产生以y 轴为中性轴的平面弯曲，bd 与ac 边上分别产生最大拉应力与最大压应力
h
b Pl M
y
y
2
'
max
sin 6W ασ±
=±
= (a)
M z 作用下产生以z 轴为中性轴的平面弯曲,ab 与cd 边上分别产生最大拉应力与最大压应力
2
'
'max cos 6bh
Pl M
z
z
ασ±
=±
=W (b)
⑶由叠加法得组合变形情况下，亦即原载荷作用下危险点的应力。

现可求得P y ，P z 共同作
用下危险点（b 、c 点）弯曲正应力（同一点同一微面上的正应力代数相加）
)cos sin (62
2
max
αασ
b h h
b Pl M
M
z
z
y
y
+=
+
=
W W (10-1)
上述横向载荷P 构成的弯曲区别于平面弯曲，称斜弯曲。

它有以下两个特点：
⑴构件的轴线变形后不再是载荷作用平面内的平面曲线，而是一条空向曲线； ⑵横截面内中性轴不再与载荷作用线垂直；或中性轴不再与弯矩矢量重合（如为实心构件）。

如图10-2(e)所示，横截面上任意点m （y ，z ）的正应力为
y I M z I M z
z
y
y
+
-
=+='
''
σσσ (10-2)
根据中性轴定义，令σ=0，即得中性轴位置表达式
αϕtg I I M
M I I z y tg y
z z
y y z =
==
当 y z I I ≠ ，αϕ≠ ；现为矩形（h>b ），y z I I > ，则 αϕ> 。

形成斜弯曲，中性轴与M 矢量不重合。

当 y z I I = （如图10-2中为圆截面），αϕ= ，即载荷通过截面形心任意方向均形成平面弯曲，若圆截面直径为D ，则有
22
3
max
32
z
y
M
M
D
M +=
=
πσ
W
(10-3)
§8-4弯扭组合变形的强度计算
1．圆截面杆件
设图10-5a 所示为圆截面杆横截面上分别作用有弯矩 M y ，M z 和扭矩T 。

对圆截面，通过圆心（形心）的任意方向的轴均为对称轴，因而合力矩22
z
y
M
M
M +=
作用轴即中性轴，这时M 作用下圆轴产生平面弯曲，σ 分布如图a ，在扭矩T 作用下圆轴产生剪应力，τ分布如图b ，分别为
W
W
2
2z
y
M M
M +=
=
σ，p
T W =
τ （a ）
危险点应力状态如图c 所示，主应力为
2
2
3,122τσσ
σ+⎪⎭
⎫
⎝⎛±
=
，02=σ （b ）
对塑性材料，可选用第三和第四强度理论，考虑式（b ）后
[]στ
σσσ≤+=
-2
2314 （c ）
()()()
[][]στ
σσσσσσσ
≤+=
-+-+-2
22
132
322
21
32
1 （d ）
对直径为d 的圆截面，有W 2=p W ，3
d 32
W π
=
，考虑式（a ）后式（c ）与（d ）分别有
[]
[]
σ
σ
≤+≤+2
2
2
2
75.011T
M
W
T
M W
2．矩形截面杆
设图10-6a 和
b 所示为矩形截面上作用有弯矩M y ，M z 和扭矩T 。

对矩形截面（h b ⨯），M y ，M z 分别形成以y 轴和z 轴为中性轴的平面弯曲，弯曲正应力分布如图a 所示。

扭矩T 在矩形截面上形成的扭转剪应力分布如图b 所示。

综合考虑弯曲正应力和扭转剪应力的分布情况，可以选出危险点a 、b 、c ，其应力状态如图c 所示。

a 点具有正应力最大值
z
z
y
y
a M
M
W W +
=
+='
''
σ
σσ
6
,6
2
2
hb bh z y =
=
W W
b 点具有max τ和''σ
z
z
b M
W =
='
'σ
σ，2
max hb
T
ατ=
c 点具有1τ和'σ
y
y c
M
M =
='
σσ
，max
1ντ
τ=
对塑性材料，a 点的强度条件为
[]σσ≤+
=
z
z
y
y
a M
W M
W
对b ，c 点可选择第三或第四强度理论，如选第三强度理论，可比较2
m a x 24τσ+b 和
2
124τσ+c ，较大者应满足
[]στ
σ
≤+2
2
4
例10-3 齿轮轴AB 如图10-7a 所示。

已知轴的转速n=265r/min ，输入功率N=10kw ，两齿轮节圆直径D 1=396mm ，D 2=168mm ，压力角︒=20α，轴的直径d =50mm ，材料为45号钢，许用应力[]Mpa 50=σ。

试校核轴的强度。

解：（1）轴的外力分析：将啮合力分解为切向力与径向力，并向齿轮中心（轴线上）平移。

考虑轴承约束力后得轴的受力图如图10-7b 所示。

由
()0=∑F m x
得
m N n N T T D C ⋅====361265
109550
9550
由扭转力偶计算相应切向力，径向力
2
11D P T Z
C =，
N
tg P P N
D T P Z Y C Z 664364.01823201823396
.036122111
1
=⨯=︒==⨯=
=
2
22D P T y
D =，
N
tg P P N
D T P Y Z D Y 1565364.04300204300168
.036122222
2=⨯=︒==⨯==
轴上铅垂面内的作用力P 1y 、P 2y ，约束力Y A ，Y B 构成铅垂面内的平面弯曲，由平衡条件
()0,=∑F m B
Z 和()0,=∑F m A
Z 可求得
Y A =1664N ，N B =3300N
由平衡条件∑=0Y 校核所求约束力的正确性
496433001664=+=+B A Y Y N ，4964430066421=+=+Y Y P P N
轴上水平面内的作用力P 1Z 、P 2Z ，约束力Z A 、Z B 构成水平面内的平面弯曲，由平衡条件
0)(,=∑F m
B
y 和0)(,=∑F m
A
y ，可求得
N 1750=A Z ， N 1638=B Z
由平衡条件∑=0Z 校核所求约束力的正确性
338816381750=+=+B A Z Z N ，33881565182321=+=+Z Z P P N
（2）作内力图：分别作轴的扭矩图T 图（图10-7c ），铅垂面内外力引起的轴的弯矩图 M z
图，水平面外力引起的轴的弯矩图 M y 图（图10-7d ）
（3）作强度校核：由弯矩图及扭矩图确定可能危险面为C （右）面和D （左）面。

比较22
z
y
M
M
M +=
可知D 面更危险。

m N M C ⋅=+=
193133
140
2
2
m N M D ⋅=+=
294264
1312
2
对塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论作强度校核 第三
[]Pa M 55Pa M 4.37Pa 104.3705
.01.0361
294
16
3
2
2
2
2=<=⨯=⨯+=
+σT
M
W
D
第四
[]M p a 55Pa M 4.34Pa 104.3405
.01.0361
75.0294
75.016
3
2
2
2
2=<=⨯=⨯⨯+=
+σT M
W
D
例10-4 图10-8a 所示曲轴的尺寸为r mm 60=，mm L
652=，mm l
322
=，
mm 22=a 。

连杆轴颈直径d 1=50mm ，主轴颈直径d =60mm 。

曲柄截面III-III 的尺寸为
b =22mm ，h =102mm 。

作用于曲轴上的力如图10-8b 所示：连杆轴颈上的力P=32KN ，F =17KN ，曲柄惯性力C =3KN ，平衡重惯性力C 1=7KN 。

曲轴材料为碳钢，[]Mpa 120=σ。

试校核曲柄的强度。

解：（1）求约束力和扭转力偶：由平衡条件可求得（见图10-8b ）
()KN
H H KN R R m
N Fr m 5.8172
1
2032723221
10201060101721213
3=⨯===⨯-⨯+==⋅=⨯⨯⨯==-
（2）连杆轴颈强度校核：危险面在中间截面I-I 处。

在xy 和xz 平面内分别有弯矩
m
N L H M
m
N l C C L R M y
z
⋅=⨯⨯⨯=⨯
=⋅=⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯=-+⨯=---55310
65105.82
117010
3210)73(10
6510202
)
(
23
3
13
33
311
扭距为m N r H T ⋅=⨯⨯⨯=⨯=-5101060105.8331 如果用第四强度理论校核
[]安全
Mpa Mpa T
M
M
W z
y
12011110
510
75.01170
553
105032
75.01
6
2
2
2
9
3
2
22=<=⨯⨯++⨯⨯=
++--σπ
（3）主轴颈的强度校核：危险面为主轴颈与曲轴联接处II-II 截面。

此处有内力分量
m N a R M z ⋅=⨯⨯⨯=⨯=-44010
2210203
3
2
m N a H M
y
⋅=⨯⨯⨯=⨯=-18710
22105.83
32
m N m T ⋅==1020 强度校核
[]安全
Mpa Mpa T
M
M
W
z
y
1204.4710
1020
75.0440
187
10
6032
75.016
2
2
2
9
32
22=<=⨯⨯++⨯⨯=
++--σπ
（4）曲柄的强度校核：危险面为切于主轴颈的曲柄横截面III-III 截面（见图10-8c ）。

其内力分量分别有轴力N ，扭转T ，弯矩M y 、M z ，剪力Q z
KN C R N 1372012=-=-=
m N b a H T ⋅=+=281)2/(2
m N d H
m M y ⋅=⨯⨯
⨯-=⨯
-=-76510
2
60105.810202
3
3
2
m N b a R M
z
⋅=⨯+⨯=+=-66010
)1122(1020)2/(3
3
2
KN H Q z 5.82==
由于危险面为矩形截面，从与多内力分量相应的应力分布可知危险点为A ，B 点。

A 点为单向应力状态
[]安全
压应力） , 120(10610
22102660610
102
22765610
1022210
139
2
9
2
6
3
Mpa Mpa W M
W
M bh
N z
z
x
y A
=<=⨯⨯⨯+
⨯⨯⨯+
⨯⨯⨯=
+
+=---σσ
B 点应力状态如图10-8d 所示
压应力）
(8610
22102660610
1022210
139
2
6
3
Mpa M
bh
N z
z
B
=⨯⨯⨯+
⨯⨯⨯=
+
=
--W σ
21τττ+=B
现计算扭矩T 引起的B 点剪应力1τ（即最大扭转剪应力）。

由
64.422
102==b h ，查表，利用插入法得287.0=α。

则
Mpa hb
T
8.19)
10
22(10
102287.0281
2
3
3
2
max 1=⨯⨯⨯=
=
=--αττ
剪力Q z 引起剪应力2τ
Mpa
Mpa
bh
Q B z 5.2568.58.1968.510
1022210
5.82323216
3
2=+=+==⨯⨯⨯⨯
==
-ττττ
采用第四强度理论，得
[]安全 , Mpa Mpa B B 1207.965.2538632
2
2
2
=<=⨯+=+στσ。