第3讲 度量空间的可分性与完备性
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多项式序列的一致收敛极限． (2)连续函数空间 C[a,b] 在有界可测函数集 B[a,b] 中稠密．(p43 例 2.2.3) (3)有界可测函数集 B[a,b] 在 p 次幂可积函数空间 Lp[a,b] 中稠密(1 ≤ p < +∞ )．(p43 例 2.2.2) (4)连续函数空间 C[a,b] 在 p 次幂可积函数空间 Lp[a,b] 中稠密(1 ≤ p < +∞ )．(稠密集的传递
证明
(1)
设{xn} ⊂
X
，x∈ X
，且 xn
→ x ．则 ∀ε
> 0 ，∃N ∈ N ，当 n > N
时，d (xn
,
x)
<பைடு நூலகம்
ε 2
，
从而 n ， m > N 时，
d (xn ,
xm )
≤
d (xn ,
x)
+
d (x,
xm )
<
ε 2
+
ε 2
=
ε
．
即得{xn} 是基本列．
(2) 设 {xn} 为 一 基 本 列 ， 则 对 ε = 1 ， 存 在 N ， 当 n > N 时 ， 有 d (xN +1, xn ) < ε = 1 ， 记
注 4：上述定理 2.1 表明收敛列一定是基本列(Cauchy 列)，那么基本列是收敛列吗？
例 1.3.2 连续函数空间 C[a,b] 是可分的．具有有理系数的多项式的全体 Po[a,b] 在 C[a,b]
中稠密，而 Po[a,b] 是可列集．
证明 显然 Po[a,b] 是可列集．∀x(t) ∈ C[a,b] ，由 Weierstrass 多项式逼近定理知， x(t) 可
表示成一致收敛的多项式的极限，即 ∀ε > 0 ，存在(实系数)多项式 pε (t) ，使得
M = max{d (x1, xN +1), d (x2 , xN +1), , d (xN , xN +1),1} +1 ，那么对任意的 m, n ，均有
d (xn , xm ) ≤ d (xn , xN +1) + d (xm , xN +1) < M + M = 2M ，
即{xn} 有界．
(3) 设{xn} 为一基本列，且{xnk } 是{xn} 的收敛子列，xnk → x(k → ∞). 于是，∀ε > 0, ∃N1 ∈ N ，
n→∞
(3) B ⊂ A （其中 A = A ∪ A′ ， A 为 A 的闭包， A′ 为 A 的导集(聚点集)）； (4) 任取 δ > 0 ，有 B ⊂ ∪ O(x,δ ) ．即由以 A 中每一点为中心 δ 为半径的开球组成的集合
x∈A
覆盖 B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理 1.3.2 稠密集的传递性 设 X 是度量空间，A, B,C ⊂ X ，若 A 在 B 中稠密，B 在 C
∑∞ |
n= N +1
xi
|p
<
εp 2
又因 Q 在 R 中稠密，对每个 xi (1 ≤ i ≤ N )，存在 ri ∈ Q ，使得
|
xi
− ri
|p <
εp 2N
， (i
= 1, 2,3,
,N)
于是得
令 x0 = (r1, r2 ,
, rN , 0,
, 0, ) ∈ E0 ，则
∑N |
i =1
xi
当
m, n
>
N1
时，
d (xn , xm )
<
ε 2
；
∃N2
∈
N
，当
k
>
N2
时，
d (xnk
, x)
<
ε 2
．取
N
=
max{N1, N2} ，则
当 n > N ， k > N 时， nk ≥ k > N ，从而有
d (xn ,
x)
≤
d (xn ,
xnk
)
+
d (xnk
,
x)
<
ε 2
+
ε 2
=
ε
，
故 xn → x(n → ∞) ．□
d ( x,
pε
)
=
max
a≤t≤b
|
x(t)
−
pε
(t)
|<
ε 2
另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式 p0 (t) ∈ P0[a,b] ，使得
d ( pε
,
p0 )
=
max
a ≤t ≤b
|
pε
(t)
−
p0 (t)
|<
ε 2
因此， d (x, p0 ) ≤ d (x, pε ) + d ( pε , p0 ) < ε ，即 p0 (t) ∈ O(x,ε ) ，在 C[a,b] 中任意点 x(t) 的任意邻域
性) 因此有 P[a,b] ⊂ C[a,b] ⊂ B[a,b] ⊂ Lp[a,b] ． 定义 1.3.2 设 X 是度量空间， A ⊂ X ，如果存在点列{xn} ⊂ A ，且{xn} 在 A 中稠密，则
称 A 是可分点集(或称可析点集)．当 X 本身是可分点集时，称 X 是可分的度量空间． 注 3： X 是可分的度量空间是指在 X 中存在一个稠密的可列子集． 例 1.3.1 欧氏空间 Rn 是可分的．坐标为有理数的点组成的子集构成 Rn 的一个可列稠密
内必有 Po[a,b] 中的点，按照定义知 Po[a,b] 在 C[a,b] 中稠密．□
例 1.3.3 p 次幂可积函数空间 Lp[a,b] 是可分的．
证明 由于 Po[a,b] 在 C[a,b] 中稠密，又知 C[a,b] 在 Lp[a,b] 中稠密，便可知可数集 Po[a,b] 在 Lp[a,b] 中稠密．□
1
=
d ( x,
y)
≤
d ( x,
x0 )
+
d (x0 ,
y)
<
1 3
+
1 3
=
2 3
矛盾，因此 l∞ 不可分．□
3.2 度量空间的完备性
实数空间 R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛．即基本列和收敛列在 R 中是等价的，现在
将这些概念推广到一般的度量空间． 定义 1.3.3 基本列 设 {xn} 是 度 量 空 间 X 中 的 一 个 点 列 ， 若 对 任 意 ε > 0 ， 存 在 N ， 当 m, n > N 时 ， 有
西安电子科技大学理学院 杨有龙
《线性与非线性泛函分析》
第三节 度量空间的可分性与完备性 在实数空间 R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间 R 的可分性．同时，实数空间 R 还具有完备性，即 R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们 将这些概念推广到一般度量空间．
3.1 度量空间的可分性 定义 1.3.1 设 X 是度量空间，A, B ⊂ X ，如果 B 中任意点 x ∈ B 的任何邻域 O(x,δ ) 内都含
− ri
|p
<
εp 2
第 1-3-2页
西安电子科技大学理学院 杨有龙
《线性与非线性泛函分析》
∑ ∑ N
d (x0 , x) = ( | xi
i =1
− ri
|p
∞
+ | xii
i = N +1
1
|p ) p
< (ε p 2
+
ε
p
)
1 p
2
=ε
因此 Eo 在 l p 中稠密．□
例 1.3.5 设 X = [0,1] ，则离散度量空间 ( X , d0 ) 是不可分的．
| rik − xi |<
ε ， i = 1, 2, n
,n
取 K = max{K1, K2 ,
, Kn} ，当 k > K 时，对于 i = 1, 2,
, n ，都有 | rik − xi |<
ε ，因此 n
∑ d (rk , x) =
n
| rik − xi |2 <
i
nε 2 = ε n
即 rk → x(k → ∞) ，从而知 Qn 在 Rn 中稠密．□
子集． 证明 设 Qn = {(r1, r2 , , rn ) | ri ∈ Q, i = 1, 2, , n}为 Rn 中的有理数点集，显然 Qn 是可数集，下
证 Qn 在 Rn 中稠密． 对于 Rn 中任意一点 x = (x1, x2 , , xn ) ，寻找 Qn 中的点列{rk } ，其中 rk = (r1k , r2k , , rnk ) ，使得
证明 假设 ( X , d0 ) 是可分的，则必有可列子集{xn} ⊂ X 在 X 中稠密．又知 X 不是可列集，
所以存在
x*
∈
X
，
x*
∉{xn} ．取 δ
=
1 2
，则有
O( x* , δ
)
=
⎧ ⎨
x
⎩
d0 (x,
x* )
<
1⎫
2
⎬ ⎭
=
x*
即 O(x*,δ ) 中不含{xn} 中的点，与{xn} 在 X 中稠密相矛盾．□ 思考题: 离散度量空间 ( X , d0 ) 可分的充要条件为 X 是可列集． 注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘 2 取整法，即乘以 2 取整，顺序排列，例如
d (xm , xn ) < ε 则称{xn} 是 X 中的一个基本列(或 Cauchy 列）． 定理 1.3.3 (基本列的性质) 设 ( X , d ) 是度量空间，则
(1) 如果点列{xn} 收敛，则{xn} 是基本列；
第 1-3-3页
西安电子科技大学理学院 杨有龙
《线性与非线性泛函分析》
(2) 如果点列{xn} 是基本列，则{xn} 有界； (3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点．
l∞ = {x = (x1, x2 , , xn , )=(xi ) | x为有界数列} ， 对 于 x = (xi ) ， y = ( yi ) ∈ l∞ ， 距 离 定 义 为 d (x, y) = sup | xi − yi | ．
i ≥1
证明 考虑 l∞ 中的子集 A = {x = (x1, x2 , , xn , ) xn = 0 或 1} ，则当 x, y ∈ A , x ≠ y 时，有
rk → x(k → ∞) ．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数 xi ( i = 1, 2, , n )，存在有理数 列 rik → xi (k → ∞) .于是得到 Qn 中的点列{rk } ，其中
第 1-3-1页
西安电子科技大学理学院 杨有龙
《线性与非线性泛函分析》
rk = (r1k , r2k , , rnk ) ， k = 1, 2, . 现证 rk → x(k → ∞) ． ∀ε > 0 ，由 rik → xi (k → ∞) 知， ∃Ki ∈ N ，当 k > Ki 时，有
(0.625)10=(0.101)2 0.625 × 2=1.25 取 1；0.25 × 2=0.50 取 0；0.5 × 2=1.00 取 1． 二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为 1 则加上 0.5(即 1/2)，第二位为 1 则
∑ 加上 0.25(1/4)，第三位为 1 则加上 0.125(1/8)以此类推．即 (0.x1x2
中稠密，则 A 在 C 中稠密． 证明 由定理 1.1 知 B ⊂ A ， C ⊂ B ，而 B 是包含 B 的最小闭集，所以 B ⊂ B ⊂ A ，于是
有 C ⊂ A ，即 A 在 C 中稠密．□ 注 2：(1)多项式函数集 P[a,b] 在连续函数空间 C[a,b] 中稠密． 定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间 [a,b] 上的每一个连续函数都可以表示成某一
例 1.3.4 p 次幂可和的数列空间 l p 是可分的．
∪∞
证明 取 Eo = {(r1, r2 , , rn , 0, , 0, ) | ri ∈ Q, n ∈ N} ，显然 Eo 等价于 Qn ，可知 Eo 可数，
n =1
下面证 Eo 在 l p 中稠密．
∞
∑ ∀x = (x1, x2 , , xn , ) ∈ l p ，有 | xi |p < +∞ ，因此 ∀ε > 0 ， ∃N ∈ N ，当 n > N 时， i =1
xn )2
n
=(
i =1
1 2i
xi )10
，例如
(0.101)2=
=
(1 2
×1+
1 4
×0+
1 8
×1)10
=
(0.625)10
．
因此 [0,1] 与子集 A = {x = (x1, x2 , , xn , ) xn = 0 或 1} 对等，由 [0,1] 不可数知 A 不可列．
例 1.3.6 有界数列空间 l∞ 是不可分的．
d (x, y) = 1 ．因为 [0,1] 中每一个实数可用二进制表示，所以 A 与 [0,1] 一一对应，故 A 不可列．
假设
l
∞
可分，即存在一个可列稠密子集
A0
，以
A0
中每一点为心，以
1 3
为半径作开球，所
有这样的开球覆盖 l∞ ，也覆盖 A ．因 A0 可列，而 A 不可列，则必有某开球内含有 A 的不同的 点，设 x 与 y 是这样的点，此开球中心为 x0 ，于是
有 A 的点，则称 A 在 B 中稠密．若 A ⊂ B ，通常称 A 是 B 的稠密子集． 注 1： A 在 B 中稠密并不意味着有 A ⊂ B ．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数
中稠密． 定理 1.3.1 设 ( X , d ) 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在 B 中稠密； (2) ∀x ∈ B ， ∃{xn} ⊂ A ，使得 lim d ( xn , x) = 0 ；
证明
(1)
设{xn} ⊂
X
，x∈ X
，且 xn
→ x ．则 ∀ε
> 0 ，∃N ∈ N ，当 n > N
时，d (xn
,
x)
<பைடு நூலகம்
ε 2
，
从而 n ， m > N 时，
d (xn ,
xm )
≤
d (xn ,
x)
+
d (x,
xm )
<
ε 2
+
ε 2
=
ε
．
即得{xn} 是基本列．
(2) 设 {xn} 为 一 基 本 列 ， 则 对 ε = 1 ， 存 在 N ， 当 n > N 时 ， 有 d (xN +1, xn ) < ε = 1 ， 记
注 4：上述定理 2.1 表明收敛列一定是基本列(Cauchy 列)，那么基本列是收敛列吗？
例 1.3.2 连续函数空间 C[a,b] 是可分的．具有有理系数的多项式的全体 Po[a,b] 在 C[a,b]
中稠密，而 Po[a,b] 是可列集．
证明 显然 Po[a,b] 是可列集．∀x(t) ∈ C[a,b] ，由 Weierstrass 多项式逼近定理知， x(t) 可
表示成一致收敛的多项式的极限，即 ∀ε > 0 ，存在(实系数)多项式 pε (t) ，使得
M = max{d (x1, xN +1), d (x2 , xN +1), , d (xN , xN +1),1} +1 ，那么对任意的 m, n ，均有
d (xn , xm ) ≤ d (xn , xN +1) + d (xm , xN +1) < M + M = 2M ，
即{xn} 有界．
(3) 设{xn} 为一基本列，且{xnk } 是{xn} 的收敛子列，xnk → x(k → ∞). 于是，∀ε > 0, ∃N1 ∈ N ，
n→∞
(3) B ⊂ A （其中 A = A ∪ A′ ， A 为 A 的闭包， A′ 为 A 的导集(聚点集)）； (4) 任取 δ > 0 ，有 B ⊂ ∪ O(x,δ ) ．即由以 A 中每一点为中心 δ 为半径的开球组成的集合
x∈A
覆盖 B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理 1.3.2 稠密集的传递性 设 X 是度量空间，A, B,C ⊂ X ，若 A 在 B 中稠密，B 在 C
∑∞ |
n= N +1
xi
|p
<
εp 2
又因 Q 在 R 中稠密，对每个 xi (1 ≤ i ≤ N )，存在 ri ∈ Q ，使得
|
xi
− ri
|p <
εp 2N
， (i
= 1, 2,3,
,N)
于是得
令 x0 = (r1, r2 ,
, rN , 0,
, 0, ) ∈ E0 ，则
∑N |
i =1
xi
当
m, n
>
N1
时，
d (xn , xm )
<
ε 2
；
∃N2
∈
N
，当
k
>
N2
时，
d (xnk
, x)
<
ε 2
．取
N
=
max{N1, N2} ，则
当 n > N ， k > N 时， nk ≥ k > N ，从而有
d (xn ,
x)
≤
d (xn ,
xnk
)
+
d (xnk
,
x)
<
ε 2
+
ε 2
=
ε
，
故 xn → x(n → ∞) ．□
d ( x,
pε
)
=
max
a≤t≤b
|
x(t)
−
pε
(t)
|<
ε 2
另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式 p0 (t) ∈ P0[a,b] ，使得
d ( pε
,
p0 )
=
max
a ≤t ≤b
|
pε
(t)
−
p0 (t)
|<
ε 2
因此， d (x, p0 ) ≤ d (x, pε ) + d ( pε , p0 ) < ε ，即 p0 (t) ∈ O(x,ε ) ，在 C[a,b] 中任意点 x(t) 的任意邻域
性) 因此有 P[a,b] ⊂ C[a,b] ⊂ B[a,b] ⊂ Lp[a,b] ． 定义 1.3.2 设 X 是度量空间， A ⊂ X ，如果存在点列{xn} ⊂ A ，且{xn} 在 A 中稠密，则
称 A 是可分点集(或称可析点集)．当 X 本身是可分点集时，称 X 是可分的度量空间． 注 3： X 是可分的度量空间是指在 X 中存在一个稠密的可列子集． 例 1.3.1 欧氏空间 Rn 是可分的．坐标为有理数的点组成的子集构成 Rn 的一个可列稠密
内必有 Po[a,b] 中的点，按照定义知 Po[a,b] 在 C[a,b] 中稠密．□
例 1.3.3 p 次幂可积函数空间 Lp[a,b] 是可分的．
证明 由于 Po[a,b] 在 C[a,b] 中稠密，又知 C[a,b] 在 Lp[a,b] 中稠密，便可知可数集 Po[a,b] 在 Lp[a,b] 中稠密．□
1
=
d ( x,
y)
≤
d ( x,
x0 )
+
d (x0 ,
y)
<
1 3
+
1 3
=
2 3
矛盾，因此 l∞ 不可分．□
3.2 度量空间的完备性
实数空间 R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛．即基本列和收敛列在 R 中是等价的，现在
将这些概念推广到一般的度量空间． 定义 1.3.3 基本列 设 {xn} 是 度 量 空 间 X 中 的 一 个 点 列 ， 若 对 任 意 ε > 0 ， 存 在 N ， 当 m, n > N 时 ， 有
西安电子科技大学理学院 杨有龙
《线性与非线性泛函分析》
第三节 度量空间的可分性与完备性 在实数空间 R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间 R 的可分性．同时，实数空间 R 还具有完备性，即 R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们 将这些概念推广到一般度量空间．
3.1 度量空间的可分性 定义 1.3.1 设 X 是度量空间，A, B ⊂ X ，如果 B 中任意点 x ∈ B 的任何邻域 O(x,δ ) 内都含
− ri
|p
<
εp 2
第 1-3-2页
西安电子科技大学理学院 杨有龙
《线性与非线性泛函分析》
∑ ∑ N
d (x0 , x) = ( | xi
i =1
− ri
|p
∞
+ | xii
i = N +1
1
|p ) p
< (ε p 2
+
ε
p
)
1 p
2
=ε
因此 Eo 在 l p 中稠密．□
例 1.3.5 设 X = [0,1] ，则离散度量空间 ( X , d0 ) 是不可分的．
| rik − xi |<
ε ， i = 1, 2, n
,n
取 K = max{K1, K2 ,
, Kn} ，当 k > K 时，对于 i = 1, 2,
, n ，都有 | rik − xi |<
ε ，因此 n
∑ d (rk , x) =
n
| rik − xi |2 <
i
nε 2 = ε n
即 rk → x(k → ∞) ，从而知 Qn 在 Rn 中稠密．□
子集． 证明 设 Qn = {(r1, r2 , , rn ) | ri ∈ Q, i = 1, 2, , n}为 Rn 中的有理数点集，显然 Qn 是可数集，下
证 Qn 在 Rn 中稠密． 对于 Rn 中任意一点 x = (x1, x2 , , xn ) ，寻找 Qn 中的点列{rk } ，其中 rk = (r1k , r2k , , rnk ) ，使得
证明 假设 ( X , d0 ) 是可分的，则必有可列子集{xn} ⊂ X 在 X 中稠密．又知 X 不是可列集，
所以存在
x*
∈
X
，
x*
∉{xn} ．取 δ
=
1 2
，则有
O( x* , δ
)
=
⎧ ⎨
x
⎩
d0 (x,
x* )
<
1⎫
2
⎬ ⎭
=
x*
即 O(x*,δ ) 中不含{xn} 中的点，与{xn} 在 X 中稠密相矛盾．□ 思考题: 离散度量空间 ( X , d0 ) 可分的充要条件为 X 是可列集． 注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘 2 取整法，即乘以 2 取整，顺序排列，例如
d (xm , xn ) < ε 则称{xn} 是 X 中的一个基本列(或 Cauchy 列）． 定理 1.3.3 (基本列的性质) 设 ( X , d ) 是度量空间，则
(1) 如果点列{xn} 收敛，则{xn} 是基本列；
第 1-3-3页
西安电子科技大学理学院 杨有龙
《线性与非线性泛函分析》
(2) 如果点列{xn} 是基本列，则{xn} 有界； (3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点．
l∞ = {x = (x1, x2 , , xn , )=(xi ) | x为有界数列} ， 对 于 x = (xi ) ， y = ( yi ) ∈ l∞ ， 距 离 定 义 为 d (x, y) = sup | xi − yi | ．
i ≥1
证明 考虑 l∞ 中的子集 A = {x = (x1, x2 , , xn , ) xn = 0 或 1} ，则当 x, y ∈ A , x ≠ y 时，有
rk → x(k → ∞) ．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数 xi ( i = 1, 2, , n )，存在有理数 列 rik → xi (k → ∞) .于是得到 Qn 中的点列{rk } ，其中
第 1-3-1页
西安电子科技大学理学院 杨有龙
《线性与非线性泛函分析》
rk = (r1k , r2k , , rnk ) ， k = 1, 2, . 现证 rk → x(k → ∞) ． ∀ε > 0 ，由 rik → xi (k → ∞) 知， ∃Ki ∈ N ，当 k > Ki 时，有
(0.625)10=(0.101)2 0.625 × 2=1.25 取 1；0.25 × 2=0.50 取 0；0.5 × 2=1.00 取 1． 二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为 1 则加上 0.5(即 1/2)，第二位为 1 则
∑ 加上 0.25(1/4)，第三位为 1 则加上 0.125(1/8)以此类推．即 (0.x1x2
中稠密，则 A 在 C 中稠密． 证明 由定理 1.1 知 B ⊂ A ， C ⊂ B ，而 B 是包含 B 的最小闭集，所以 B ⊂ B ⊂ A ，于是
有 C ⊂ A ，即 A 在 C 中稠密．□ 注 2：(1)多项式函数集 P[a,b] 在连续函数空间 C[a,b] 中稠密． 定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间 [a,b] 上的每一个连续函数都可以表示成某一
例 1.3.4 p 次幂可和的数列空间 l p 是可分的．
∪∞
证明 取 Eo = {(r1, r2 , , rn , 0, , 0, ) | ri ∈ Q, n ∈ N} ，显然 Eo 等价于 Qn ，可知 Eo 可数，
n =1
下面证 Eo 在 l p 中稠密．
∞
∑ ∀x = (x1, x2 , , xn , ) ∈ l p ，有 | xi |p < +∞ ，因此 ∀ε > 0 ， ∃N ∈ N ，当 n > N 时， i =1
xn )2
n
=(
i =1
1 2i
xi )10
，例如
(0.101)2=
=
(1 2
×1+
1 4
×0+
1 8
×1)10
=
(0.625)10
．
因此 [0,1] 与子集 A = {x = (x1, x2 , , xn , ) xn = 0 或 1} 对等，由 [0,1] 不可数知 A 不可列．
例 1.3.6 有界数列空间 l∞ 是不可分的．
d (x, y) = 1 ．因为 [0,1] 中每一个实数可用二进制表示，所以 A 与 [0,1] 一一对应，故 A 不可列．
假设
l
∞
可分，即存在一个可列稠密子集
A0
，以
A0
中每一点为心，以
1 3
为半径作开球，所
有这样的开球覆盖 l∞ ，也覆盖 A ．因 A0 可列，而 A 不可列，则必有某开球内含有 A 的不同的 点，设 x 与 y 是这样的点，此开球中心为 x0 ，于是
有 A 的点，则称 A 在 B 中稠密．若 A ⊂ B ，通常称 A 是 B 的稠密子集． 注 1： A 在 B 中稠密并不意味着有 A ⊂ B ．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数
中稠密． 定理 1.3.1 设 ( X , d ) 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在 B 中稠密； (2) ∀x ∈ B ， ∃{xn} ⊂ A ，使得 lim d ( xn , x) = 0 ；