[课件]北京交通大学(数字信号处理研究生课程)ch13DTFTPPT

)
序列DTFT的性质
1. 线性特性
若
x1[k ] X1(e jW )
DTFT DTFT x2[k ] X 2(e jW )
则有
DTFT ax1 [k ] bx 2 [k ] aX 1 (e jW ) bX 2 (e jW )
序列DTFT的性质
2. 对称特性
2. 对称特性
x [ k ] X ( e
DTFT
jW
)
x [ k ] X ( e
DTFT
jW
)
当x[k]为实偶对称序列时，由于 x[k]=x*[k] ，所以
X ( e jW ) X ( e jW )
X ( e jW )是 W 的实偶函数
序列DTFT的性质
北京交通大学(数字信号 处理研究生课程 )ch1_3DTFT
离散信号与系统分析基础
离散信号与系统的时域分析 离散信号的频域分析 离散系统的频域分析 双边z变换 系统函数 全通滤波器与最小相位系统 信号的抽样
序列的离散时间Fourier变换(DTFT)
DTFT定义 DTFT性质
DTFT的频域抽样
利用MATLAB计算序列的DTFT
2. 对称特性
x [ k ] X ( e
DTFT
jW
)
x [ k ] X ( e
DTFT
jW
)
当x [k]为实奇对称序列时，由于x[k]= x*[k] ，所以
X ( e jW ) X ( e j W )
X(ejW)是W 纯虚函数, XI(ejW)为奇对称
ak y [ k ] 例：试求序列y[k]的DTFT。 0 a k
k DTFT j W
k 1 k 0 k 1
解 : x [ k ] a u [ k ] X ( e ) j W 1 a e
y [ k ] x [ k ] x [ k ]
DTFT 2 p
序列DTFT的性质
序列频谱的表示
幅度谱和相位谱的形式
X ( e j W ) X ( e j W ) e j ( W )
相位谱(W) 的主值(principal value)区间为
p(W)p
实部和虚部的形式
X (e
jW
) X R (e
jW
) jX I ( e
jW
若
k
x[k]
N
2

k N

N
x[ k ]e jW k
绝对可和 一致收敛
则 lim X (e jW ) X N (e jW ) 0
若
k
N
x[k]
π
能量有限
jW jW 2
则 lim π X ( e ) X N ( e ) dW 0
j W j W ( e ) X ( e ) 2j DT { FT y [ k ]} X Im{ X (ejW)}
1
2 1 2 a cos W a
j 2 a sin W
序列DTFT的性质
3. 位移特性
2p (W )

~
~
p
0
p
W
解：
1p ~ j W k x [ k ] ( W ) e d W 2 p p 2 p
1 p( W ) e d W p 2 2p 2 p x[k]
1
p j W k
1 2p
3 2 1
0
1
2
3
k
~ 1 2 π ( W )
X ( e ) X ( e )
j W
j W
( W ) ( W )
j W j W X ( e ) X ( e ) I I
例：求序列x[k]={1,2,1；k=0,1,2}的幅度谱和相位谱。
解： j W j W j 2 W j W 2 jW 2W X ( e) 1 2 e e ( 1 e ) e 4cos 2 W
c [ k ] Sa ( W k ), ( N k N ) 序列 x 取不同的N N c p
W
值时，对应的DTFT如图所示。
X10(ejW)
X60(ejW)
p
Wc

Wc
p
W
p
Wc

Wc
p
W
N=10时
N=60时
) 的 IDTFT。 例：试求周期为 2p的单位冲激函数 2p(W
DTFT x [ k ] X ( e jW ) DTFT x [ k ] X ( e jW )
当 x[k]是实序列时
X ( e jW ) X ( e jW )
幅度与相位 实部与虚部
j W j W X ( e ) X ( e ) R R
解：
j W k j k W X ( e ) a e k 0

当|a|>1时， 求和不收敛，序列的DTFT不存在。 当|a|<1时，
X(e ) 1aejW
jW
1
3
|X (ejW )|
2 1 0
3p
2p
p
0
p
2p
3p
W
DTFT的收敛性
定义X(ejW)的部分和 X N (e jW )
j W 2 X ( e ) 4 cos 2
( W ) W
p
4 0 p p
W
p
W
由于MATLAB函数 angle 返回(-p,p]的相位值，当相位频 谱的值不在(-p,p]范围内时，会出现“卷绕” (Wrapping)现象。
可用MATLAB函数 unwrap “去卷绕”。
序列DTFT的性质
均方收敛
若序列满足绝对可和，则序列存在DTFT 若序列满足能量有限，存在DTFT。（充分条件）
1 WW c Sa ( W k ) 例： X ( e ) c p 0 W p c W
W c
DTFT
j W
[ k ] 序列 x
W c
p
Sa ( W k )不满足绝对可和，但能量有限。 c
序ห้องสมุดไป่ตู้的DTFT定义
X (e
jW
DTFT:
)
k


x [ k ]e jWk
X(e jW )是W 的连续函数 X(e jW )是周期为2p的周期函数 由X(ejW )的周期性，IDTFT可写为
x[ k ] 1 2π
2 π
X ( e jW )e jWk dW
例： 试求序列 x[k]=aku[k] 的DTFT。