第4章 概率论与数理统计

5）超几何分布的期望与方差[E,D]=hygestat(M,N,K)：根据 输入的参数M,N,K，计算并返回超几何分布的期望E和方差D， 输入的参数M, N, K可以是相同维数的向量或矩阵； 6）Poisson分布的期望与方差[E,D]=poisstat(lambda)：根据 输入的参数lambda，计算并返回Poisson分布的期望E和方差D； 7）均匀分布的期望与方差[E,D]=unifstat(a,b)：根据输入的 参数a, b，计算并返回连续均匀分布的期望E和方差D； [E,D]=unifstat(n)：根据输入的参数n，计算并返回离散均匀分 布的期望E和方差D； 8）指数分布的期望与方差[E,D]=expstat(mu)：根据输入的 参数mu，计算并返回连续均匀分布的期望E和方差D； 9）正态分布的期望与方差[E,D]=normstat(mu,sigma)：根 据输入的参数mu, sigma，计算并返回正态分布的期望E和方差D， 输入的参数mu,sigma可以是相同维数的向量或矩阵；
第4章 概率论与数理统计
4.1 利用MATLAB求解概率问题
1、P=prod(a:h:b)： 计算以a为起点，h为步长，b为 终点所有数的乘积，（要求b-a能被h整除）.即 prod(a:h:b)=a×(a+h) ×(a+2h) ׄ×b 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbinopdf (k, n, p)：计算n 次试验中恰好发生k次 事件的概率.p为每次试验事件A发生的概率；k为事件A发生 k次；n为试验总次数. 3、binocdf(x,n,p)：计算二项分布的累积概率 (x=1:k)，相当于以下指令： p1=0; for i=1:k; p1=binopdf(i,n,0.5)+p1; end
gtext('lam=1'); gtext('lam=2'); gtext('lam=5'); gtext('lam=10'); gtext('lam=15'); figure; plot(x,y2,'linewidth',2); gtext('lam=1'); gtext('lam=2'); gtext('lam=5'); gtext('lam=10'); gtext('lam=15')
gtext('a=1,lam=1'); gtext('a=1,lam=0.4'); gtext('a=2,lam=1'); gtext('a=1,lam=2'); gtext('a=3,lam=1'); figure; plot(x,y2,'linewidth',2); gtext('a=1,lam=1'); gtext('a=1,lam=0.4'); gtext('a=2,lam=1'); gtext('a=1,lam=2'); gtext('a=3,lam=1');
例1、分别绘制出时Poisson分布的概率函数与分布函数 曲线。 解：建立Poissonfenbu. m文件，直接对不同的值分别调 用possipdf( )和possicdf( )函数，绘制出概率密度函数和分布 函数曲线。程序设计如下： x=[0:20]';y1=[];y2=[]; lamda=[1,2,5,10,15]; for i=1:length(lamda) y1=[y1,poisspdf(x,lamda(i))]; y2=[y2,poisscdf(x,lamda(i))]; end plot(x,y1,'linewidth',2);
4、hygepdf(x,M,K,N)：求超几何分布的概率密度 分布，其中参数的意义为：共有M件产品，次品K件， 抽取N件检查，计算发现其中恰好有x件次品的概率. 5、P=hygecdf(x,M,K,N)：用来计算超几何分布的 积累概率分布，其中参数的意义为：共有M件产品， 次品K件，抽取N件检查，计算发现其中不多于x件次 品的概率.
plot(x,y1,'linewidth',2); gtext('mu=-1,sig2=1'); gtext('mu=0,sig2=0.1'); gtext('mu=0,sig2=1'); gtext('mu=0,sig2=10'); gtext('mu=1,sig2=1'); figure; plot(x,y2,'linewidth',2); gtext('mu=-1,sig2=1'); gtext('mu=0,sig2=0.1'); gtext('mu=0,sig2=1'); gtext('mu=0,sig2=10'); gtext('mu=1,sig2=1');
例1 在100个同年出生的人中，至少有两个人生日相同的概率？
解：对于一年我们设有 365 天，又知每人生日在 365 天
1 中的任意天是等可能的，都等于 。那么选取 A n 个 365 人( n 365 )的生日各不相同。则他们生日各不相同的概率为
365 3 6 4 (3 6 5 n 1) A3n 6 5 P A n 365 36n 5 因而, n 个人中至少有两人生日相同的概率为 P 1 P( A) 。
例 3、分别绘制 ( a, ) 为 (1,1), (1,0.4), ( 2,1), (1,2), (3,1) 时 分布的概率函数与分布函数曲线。 解：建立 gamafenbu. m 文件，对不同 ( a, ) 的值分别调用 gampdf ( )和 gamcdf( )函数，绘制出概率密度函数和分布函数曲线。 程序设计如下：
x=[-1:0.01:5]';y1=[];y2=[]; a=[1,1,2,1,3];lam=[1,0.4,1,2,1]; for i=1:length(a) y1=[y1,gampdf(x,a(i),lam(i))]; y2=[y2,gamcdf(x,a(i),lam(i))]; end plot(x,y1,'linewidth',2);
4.2 概率分布的密度函数
1、Poisson分布的概率密度函数：y=possipdf(x, lambda)， 根据输入的参数lambda，计算并返回x中每个值的Poisson分布 的概率密度.分布函数p=possicdf(x, lambda)，逆概率分布 possinv(F, lambda)； 2、分布的概率密度函数：y=betapdf(x, a, b)，根据输入的 参数a，b，计算并返回x中每个值的分布的概率密度.分布函数p = betacdf(x, a, b)，逆概率分布x = betainv(p, a, b)； 3、分布的概率密度函数：y=gampdf(x, a,)，根据输入的参 数a,，计算并返回x中每个值的分布的概率密度.分布函数p= gamcdf(x, a,)，逆概率分布x = gaminv(p, a, )； 4、正态分布的概率密度函数：y=normpdf(x,,)，根据输入 的参数,，计算并返回x中每个值的正态分布的概率密度.分布函 数p= normcdf(x,,)，逆概率分布x = norminv(p,,)；
clear x=0:18; P1=hygepdf(x,1000,15,50); P2=binopdf(x,50,0.015); P3=poisspdf(x,0.75); subplot(3,1,1) plot(x,P1,'p') title('hygepdf'); subplot(3,1,2) plot(x,P2,'*') title(' binopdf ') subplot(3,1,3) plot(x,P3,'.') title('poisspdf')
x=[-5:0.1:5]';y1=[];y2=[]; mu=[-1,0,0,0,1];sigma=[1,0.1,1,10,1]; sig=sqrt(sigma); for i=1:length(mu) y1=[y1,normpdf(x,mu(i),sig(i))]; y2=[y2,normcdf(x,mu(i),sig(i))]; end
例 2、分别绘制 ( , 2 ) 为 ( 1,1), (0,0.1), (0,1), (0,10), (1,1) 时正态分布的概率函数与分布函数曲线。 解：建立 zhengtaifenbu. m 文件，对不同 ( , 2 ) 的值分别调用 normpdf ( )和 normcdf( )函数，绘制出概率密度函数和分布函数曲线。 程序设计如下：
5、分布的概率密度函数：y=chi2pdf(x, k)，根据输入的自 由度参数k，计算并返回x中每个值的分布的概率密度.分布函数 p=chi2cdf(x, k)，逆概率分布x = chi2inv(p, k)； 6、分布的概率密度函数：y=tpdf(x, k)，根据输入的参数k， 计算并返回x中每个值的分布的概率密度.分布函数p=tcdf(x, k)， 逆概率分布x =tinv(p, k)； 7、Rayleigh分布的概率密度函数：y=raylpdf(x, b)，根据输 入的参数b，计算并返回x中每个值的Rayleigh分布的概率密度. 分布函数p=raylcdf (x, b)，逆概率分布x =raylinv(p, b)； 8、分布的概率密度函数：y=fpdf(x, a, b)，根据输入的参数 a, b，计算并返回x中每个值的分布的概率密度.分布函数p=fcdf (x, a, b)，逆概率分布x =finv(p, a, b).
for j=1:100; p(j)=1-prod(365:-1:365-j+1)./365.^j; end 想求 22人中至少有两人生日 n=1:100; 相同的概率值用命令： plot(n,p(n),'k-'); p(22)
例2 某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5。 这100次中正面向上的次数为x。 （1）试计算x=45的概率和x≤45的概率。 （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。
4.3 随机变量的数字特征与常用特征函数
1、随机变量的数字特征 1）数组的平均值Y=mean(X)：当X为向量时，输出一个平 均数；当X为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的平均 值；因此计算矩阵所有数的平均值，应用嵌套：ean(mean(X)) 或m=mean(X(:)).与此类似的有：求和(sum),最大(max),最小 (min)等； 2）离散型随机变量的期望EX=sum(X.*P)：计算随机值向 量X与对应概率向量P的乘积之和； 3）连续型随机变量的期望EX=int(x*fx,x,a,b)：用积分方法 计算期望； 4）二项分布的期望与方差[E,D]=binostat(n,p)：n, p可以是 标量,向量, 矩阵，则E，D是对应的标量、向量、矩阵；
例3 设有一批产品1000个，其中有15个次品， 随机抽取50个产品，分别用两种抽取方法：（1） 不放回抽样，一次抽取500个；（2）放回抽样， 抽50次。求其中次品数x的概率密度分布，并绘 制图形。 解：不放回抽样，x服从超几何分布；放回抽 样，x服从二项分布，此时次品率按15/1000 =0.015计算；因为抽取的数量多），次品率小， 所以x的分布可以按泊松分布近似计算，此时分 布参数Lambda＝50×0.015=0.75。
P1=binopdf(45,100,0.5); %计算x=45的概率 P2= binocdf(45,100,0.5); %计算x≤45的概率 x=1:100; Px1= binocdf (x,100,0.5); %概率累积 Px2= binopdf (x,100,0.5); %概率密度 plot(x,Px1,'k'); figure; plot(x,Px2,'k'); %生成一个新的图形窗口
6、X=hygeinv(p,M,K,N)：进行逆累积分布 计算，其中参数M、K、N和概率p的情况下计 算随机量X，使得x分布在[0,X]上的概率为p. 7、X＝hygernd(M,K,N,m,n) ：进行逆累积 分布计算，在已知参数M、K、N的条件下， 产生m行n列符合超几何分布的随机数. 8、X =poisspdf(k, Lambda)：求泊松分布 的概率值，Lambda为分布参数