第三章 轴心受压杆件的整体稳定

图3.15
EIy - F（ - y） 0
边界条件为：y（0）=0 ; y`(0)=θ=Fδ/R ; y(L)=δ
（3.42）
解微分方程（3.4.2），并利用边界条件，得稳定方程：
RL ltan l EI
；
F / EI
（3）一端铰支一端弹性转动约束支承的压杆 杆件在微弯曲平衡状态下，任一截面的弯矩为 M=Fy+FQ(l-x),杆件失稳的平衡微分方程为：
相应的临界应力为
当绕强轴（x轴）弯曲时，若忽略腹板的影响，有
Et , x
cr, x
EIe, x Ix
2tbh1 / 4 E E 2 2tbh1 / 4
2
2 E 2 x
当绕弱轴（y轴）弯曲时，有
Et , y EIe, y Iy 2t b / 12 E E 3 3 2tb / 12
1、理想轴心受压构件弯曲屈曲临界力随抗弯刚度的增加和构件几何 长度的减小而增大； 2、当构件两端为其它支承情况时，通过杆件计算长度的方法考虑。
§3.3 理想轴心受压构件的非弹性弯曲失稳
欧拉公式只适用于弹性范围，欧拉临界应力小于比例 极限，即： 2E
cr

fp
弹性屈曲与非弹性屈曲
切线模量理论（tangent modulus theory）
钢构件的初始弯曲形式多样，分析中通常假设杆轴线的
初始弯曲挠度曲线为正弦曲线（如图中虚线所示），这样能 简化分析而不影响结果的普遍性。 EIy Fy 0 y 0 令
α² F / EI
2 2
y 0 asinx / l
y α y - α asin
其通解为
y A sinαx Bcos αx
图3.16
EIy Fy FQ l - x 0
（3.44）
相应的边界条件为：有y（0）=0 ，y`（0）=-FQl/R , y(l)=0
解微分方程（3.44），并利用边界条件，得稳定方程：
tanl l
1 1 l
2
EI Rl
(3.45)
F / EI
3.2.7 变截面轴心压杆的稳定
2 EI 2 EI 2 EA N cr 2 2 2 l l 0
N cr 2 E cr 2 A
Ncr ——欧拉临界力，常计作NE E ——材料的弹性模量 ——杆件长细比（ = l0/i） ----构件的计算长度系数 cr ——欧拉临界应力，常计作E A ——压杆的截面面积 i ——回转半径（ i2=I/A） l----构件的几何长度
残余应力降低构件的临界力
以两端铰接的挺直轴心受压轧制宽翼缘工字钢构件为例， 由于有残余应力，对存在弹塑性屈曲问题的中长柱，发生屈 曲时构件截面只有弹性部分起抗弯作用，则构件的临界力为
Fcr
源自文库
2 EtIe
l
2

2 EI
l
2
´
Ie I
比值 I e
/I
称为临界力折减系数。
cr 2E Ie 2 I
F cr
2 Et I
l2
cr
2 Et 2
33 图3.5
双模量理论（double modulus theory）
双模量的概念是康西德尔（Considere A.）于1891年提出的，该
理论采用的基本假定除第5条外，其它均与切线模量理论的相同。 轴心受压构件，认为构件从挺直位置到微弯位置时作用于两端的 轴向荷载保持常量；且构件微弯时凹面为正号应变，凸面为反号应 变，即存在着凹面的加载区和凸面的卸载区；由于弯曲应力较轴向 应力小得多，可以认为加载区（凹面）的变形模量均为Et，卸载区 （凸面）的变形模量为弹性模量E，因为Et< E，弯曲时截面的弯曲 中性轴与截面形心轴不再重合而向卸载区偏移。
（a）弯曲失稳
（b）扭转失稳
（c）弯扭失稳
§3.2 理想轴心受压构件弯曲失稳
理想轴心受压构件 （1）杆件为等截面理想直杆； （2）压力作用线与杆件形心轴重合； （3）材料为匀质，各项同性且无限弹性，符合虎克定律； （4）构件无初应力，节点铰支。 3.2.1 理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载
欧拉（ Euler ）早在 1744 年通过对理想轴心压杆的整体稳定问 题进行的研究，当轴心力达到临界值时，压杆处于屈曲的微弯状 态。在弹性微弯状态下，根据外力矩平衡条件，可建立平衡微分 方程，求解后得到了著名的欧拉临界力和欧拉临界应力。
§ 3.1 轴心受压构件的整体失稳现象
无缺陷的轴心受压构件在压力较小时，只有轴向压缩变形，并保 持直线平衡状态。此时如果有干扰力（或荷载继续加大）使构件产 生微小弯曲，当撤去干扰力（或荷载），构件将恢复到原来的直线 平衡状态，则此构件处于稳定平衡状态；若构件不能恢复到原来的 直线平衡状态，则此构件处于不稳定平衡状态。 我们研究的内容就是找出从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状 态之间的临界状态，并将构件控制在临界状态之内，那么构件就 是稳定的。
欧拉公式：
EIy Ny 0
k 2 N / EI
2 y k y 0
方程通解： 临界力：
y A sin kx B coskx
N cr 2 EI / l 2 2 EA /(l / i) 2 EA /
2 2
临界应力：
N cr 2 E cr 2 A
中性轴的位置确定
E t S1 ES 2
S1 A z1dA
1
S 2 A z 2 dA 2
r 2 E r / 2
E r E t I 1 EI 2 / I
，称为折算模量
§3.2.3 缺陷对轴心受压构件弯曲屈曲的影响
理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，实际结构
由于柱截面有残余应力（本例中其峰值为0.3 s ）而提前屈服，导致 截面弹性区缩小所造成的。理想弹塑性体本应该在平均应力达到 s 时 屈服，现在提前在应力为 0.7 s 时开始屈服，当翼缘端部的残余应力值 更大时，纤维开始屈服时的平均应力将更小。 如果不是短柱而是一般的中长柱，由于有残余应力使构件截面提前屈 服、弹性部分减小，当构件开始屈曲而变为微弯过程中，构件截面只有 弹性部分起抗弯作用，构件截面弹性部分减小导致刚度不断降低。
如图中虚线所示，从图中可知，有初始弯曲的
轴心受压柱实际上是极值点失稳问题，其极限 荷载并不是FE而是Fu。
构件初弯曲（初挠度）的影响
F FE
1.0
cr
对 x轴
a=0
B B’
fy a=3mm
对 y轴
y
欧拉临界曲线
0.5
A A’
x
Ym/a
0
x
y
a l 1000
0
仅考虑初弯曲的柱子曲线
λ
有初弯曲的轴心受压构件的荷载－挠度曲线如图，具有以下特点： ① y和Y与a成正比，随P 的增大而加速增大； ②初弯曲的存在使 压杆承载力低于欧拉临界力PE；当y趋于无穷时，P 趋于PE
3
cr, y
2 E 3 2 y
截面残余应力对稳定承载力的影响：
（1）残余应力降低了构件的稳定承载力；
（2）同样的截面形式，不同的残余应力发布影响不同； （3）同样的截面，同样的残余应力，对不同的轴影响不同。
残余应力对构件稳定承载力的影响
cr
fy
fy
σcrx σcry
欧拉临界曲线
（1）一端固定一端弹性水平约束支承的压杆
EIy F y - k b l - x 0
或
EIy Fy k b l - x - F
δ—弹性支承端B的水平位移； kb-—弹簧刚度 令α²=F/E，式（3.35）的通解为：
k y Asinx B cosx b l - x - 1 F
轴心受压构件的三种整体失稳状态
无缺陷的轴心受压构件（双轴对称的工型截面）通常发生弯曲失稳， 构件的变形发生了性质上的变化，即构件由直线形式改变为弯曲形式， 且这种变化带有突然性。 对某些抗扭刚度较差的轴心受压构件（十字形截面），当轴心压力 达到临界值时，稳定平衡状态不再保持而发生微扭转。当轴心力在稍 微增加，则扭转变形迅速增大而使构件丧失承载能力，这种现象称为 扭转失稳。 截面为单轴对称（T形截面）的轴心受压构件绕对称轴失稳时，由于 截面形心和剪切中心不重合，在发生弯曲变形的同时必然伴随有扭转 变形，这种现象称为弯扭失稳。
由边界条件 y(0)=0, y`(x)=0, y(l)=-δ得到线性代数方程组：
B kbl / F -1 0
A - kb / F 0
A sin l B cos l 0
t anl l -
l
3
EI
3
kb l
Fcr
；
l 2 min EI
l2
由α²=F/EI
都存在不同程度的缺陷，一般指几何缺陷和力学缺陷。 试验和理论分析均表明，缺陷的存在降低了构件的稳 定承载力，因此不能直接用理想条件所得到的临界力作为 设计标准，而应考虑缺陷的影响。
1、初弯曲（初挠度）的影响
经实测得到的型钢和焊接组合截面钢构件的初弯
曲形状如图中实线所示
y max a l / 1000
3、残余应力的影响
型钢轧制、组合截面钢构件制作过程中的焊接及火焰切割
等，都可以在构件中产生自相平衡的应力，即残余应力。残 余应力虽然不影响结构的静力强度，但对疲劳强度、钢材的 低温冷脆性能、结构的刚度和稳定性能均有不利影响。
残余应力降低构件的刚度 残余应力降低构件的临界力
残余应力降低构件的刚度
x
l
x

F/FE
a sin l 1 - F / FE
根据边界条件：x=0, y=0;x=l, y=0 得：
B 0
A sin αl 0
当有初弯曲时 P PE , 则 sin αl 0 ,只有 A 0 方程的解为
y
x F/FE asin 1 F/FE l
从上述求解过程可以看出，利用边界条件并不能得 到稳定方程解出临界力。不妨分析荷载—挠度曲线，从 中找出临界力。在P作用下，杆件任一点的总挠度为
1889年恩格塞尔（Engesser F.）提出了切线模
量理论，建议用变化的变形模量Et代替欧拉公式中 的弹性模量E，从而得到弹塑性临界力。切线模量 理论采用如下假定：①杆件是挺直的；②杆件两端 铰接，荷载沿杆轴线作用；③杆件产生微小的弯曲 变形（小变形假定）；④弯曲前的平截面弯曲变形 后仍为平面；⑤弯曲变形时全截面没有出现反号应 变。轴向增加的平均压应力大于因弯曲引起杆件凸 侧纤维的拉应力 。
如图所示的一级台阶轴心受压杆件
F - y1 EI1y1
平衡 方程
EI2 y 2 F - y 2
其通解分别为：
由边界条件及连续性条件得到：
方程（3.52）中A1、B1和δ不全为0的条件是：
F/FE x x 1 a Y y y0 y 1 sin a sin l 1 - F / FE l 1 - F/FE
当 x l / 2 时，杆件中点的总挠度为

a 1 - F / FE
相应的荷载—挠度曲线见图。图中实线表示构
件是完全弹性的，以 F FE 时的水平线为其渐 近线，当杆件中点挠度 时，F才逼近临 界荷载FE，与初始挠度值无关。 实际材料不是无限弹性的，对于有初始弯曲的 实际轴心受压构件，当截面承受较大弯矩时就 开始屈服而进入弹塑性状态，荷载—挠度曲线
和
2 EI Fcr l 2
，得
l
令
k b l3 EI
；
则
l 3 EI t anl l kb l
3
可表示为：

- tan

3
（2）一端自由一端弹性转动约束支承的压杆 杆件在微弯曲平衡状态下，任一截面的弯矩 为M=-F（δ-y），杆件失稳的平衡方程为：
σE
0
p
仅考虑残余应力 的柱子曲线
λ
2 EI e 2 EI I e Pcr 2 2 l l I
2 E Ie cr 2 I
实际轴心受压构件的整体稳定
a、b、c、d四条柱子曲线
3.2.6 有弹性支承的轴心受压杆件的稳定
图3.13
实际工程中受压杆件的端部大多既非铰接又非固 接，而是介于铰接和固接之间，可称为具有弹性支承 的受压杆件。