工程流体力学第四章
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量纲分析与相似理论
一、本章学习要点: 量纲分析的基本概念：量纲、基本量纲
基本物理量、无量纲量、量纲齐次性 量纲分析方法：瑞利法、π定理 流动相似的基本概念：几何相似、运动
相似、动力相似 相似准则：雷诺准则、弗劳德准则、欧拉
准则 模型实验设计方法
第四章 量纲分析与相似理论
二、本章重点掌握: 量纲分析方法 相似理论及其应用
二、基本量纲
1 .基本量纲——具有独立性、唯一性
在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量 M、长度L和时间T三个作为基本量纲。 其它的物理量的量纲可用基本量纲表达，如
流速：dimv＝LT－1 密度：dimρ＝ML－3 力：dimF＝MLT－2
dimq＝MLT
第四章 量纲分析与相似理论
动力黏度系数的基本量纲表示为： ( )
(1, 2,..., nm ) 0
第四章 量纲分析与相似理论
π定理的解题步骤：
（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定 影响这个现象的各个物理量及其关系式:
F(q1, q2,...,qn ) 0
（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含 m个基本 物理量作为基 本量纲的代表，一般取m=3。在管流中， 一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明渠流中，则常 选用H，v，ρ。
A FT/L^2 或 M/(L*T) C FT/L^2 或 M/(L^2·T)
B FT/L 或 M/(LT)
D F/(TL^2)或 M/(LT)
第四章 量纲分析与相似理论
2.量纲一的量： 特点： （1）指数为零； （2）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；
dim A dim B dim C M0L0T0 1
第四章 量纲分析与相似理论
1、管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因 素：流速υ ,管径D，重力g，粘度μ，管壁粗糙度△和密度ρ， 试用π定理分析确定方程的一般形式。
取v，D，ρ为基本变量，则π的个数N(π)=n-m=7-3=4，
显然hf/L是一个π，因hf和L量纲都是长度。
π1=υx1Dy1ρz1μ=[LT-1]x1[L]y1[ML-3]z1[ML-1T-1]
初始条件：适用于非恒定流 边界条件：
有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上 的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等 。 说明：
流速比尺：
v
vp vm
加速度比尺：
a
ap am
v2 / l
第四章 量纲分析与相似理论
三、动力相似
原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大
小成比例。
Gp Gm
FPp FP m
F p F m
FI p FI m
f
Lp
Lm
FI
FI
Fu
FG
Fp
Fu
FG
Fp
(b)
(a)第四章 量纲分析与相似理论
初始条件和边界条件的相似
f (1, 2 , nm ) 0
或先解一个π参数，如：
4 f (1 , 2 , nm )
第四章 量纲分析与相似理论
选择基本量时的注意原则： 1）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（M，L，T） 为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出现两 个，则基本变量同样只须选择两个。 2）选择基本变量时，应选择重要的变量。不要选择次要的变 量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往 使问题复杂化，甚至要重新求解。 3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的。
f
(Re, ) D
—称沿程阻力系数，具体由实验决定。
第四章 量纲分析与相似理论
流体相似的基本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定比尺。
源自文库
长度比尺：
l
lp lm
面积比尺：
A
Ap Am
l 2
体积比尺：
V
Vp Vm
l3
第四章 量纲分析与相似理论
二、运动相似
原型和模型的流速场相似，即流场中各对应点的 流速大小成比例，方向相同。
第四章 量纲分析与相似理论
量纲分析的基本概念
一、单位与量纲 1 .单位：表征物理量的大小
如m、cm、mm；小时、分、秒
等2 。.量纲：表征各物理量单位的种类
如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、 分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属 于质量类，用M表示。
第四章 量纲分析与相似理论
（3）确定π数的个数N（π）=（n-m），并写出其余物理 量与基本物理量组成的π表达式
i x1xx2yx3z xi (i 1,2,3n m)
第四章 量纲分析与相似理论
（4）确定无量纲π参数： 由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的指数x，
y，z，从而定出各无量纲π参数。 （5）写出描述现象的关系式
瑞利法的计算步骤：
1. 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；
2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：
FD=kDx Uyρz μa
应用范围：
一般情况下，要求相关变量未知数n小于5个
例题
第四章 量纲分析与相似理论
二、π定理
基本思想：对于某个物理现象，若存在n个变量互 为函数关系，即
F(q1, q2,...,qn ) 0 而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些 变量成为（n－m）个无量纲π数的函数关系，即
量纲齐次性原理是量纲分析的理论依据。 工程中在用的个别经验公式存在量纲不一致。
满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余
各项，使其变为无量纲方程。
如流体静力学基本方程 p p0 gh 用 g除h 其余各项，可得无量纲方程
p p0 1
gh gh
第四章 量纲分析与相似理论
量纲分析法
一、瑞利法
基本思想：假定各物理量之间是指数形式的乘积组合。
则L:x1+y1-3z1-1=0
T:-x1-1=0
M:z1+1 =0
由此x1=-1，y1=-1，z1=-1。类似有：π2=υx2Dy2ρz2△ π3=υx3Dy3ρz3g
可得：x2=0， y2=-1， z2=0 x3=-2， y3=1， z3=0写成π数为：
第四章 量纲分析与相似理论
常用沿程损失公式形式为：
第四章 量纲分析与相似理论
问题：速度v，长度l，重力加速度g的无量纲集合是：
A. ； B. ； C. ； D. ； 问题： 速度v,密度ρ,压强p的无量纲集合是：
A.
； B.
； C.
； D. 。
第四章 量纲分析与相似理论
三、物理方程的量纲齐次性原理
凡是正确描述自然现象的物理方程，其各项的量 纲必然相同。
一、本章学习要点: 量纲分析的基本概念：量纲、基本量纲
基本物理量、无量纲量、量纲齐次性 量纲分析方法：瑞利法、π定理 流动相似的基本概念：几何相似、运动
相似、动力相似 相似准则：雷诺准则、弗劳德准则、欧拉
准则 模型实验设计方法
第四章 量纲分析与相似理论
二、本章重点掌握: 量纲分析方法 相似理论及其应用
二、基本量纲
1 .基本量纲——具有独立性、唯一性
在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量 M、长度L和时间T三个作为基本量纲。 其它的物理量的量纲可用基本量纲表达，如
流速：dimv＝LT－1 密度：dimρ＝ML－3 力：dimF＝MLT－2
dimq＝MLT
第四章 量纲分析与相似理论
动力黏度系数的基本量纲表示为： ( )
(1, 2,..., nm ) 0
第四章 量纲分析与相似理论
π定理的解题步骤：
（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定 影响这个现象的各个物理量及其关系式:
F(q1, q2,...,qn ) 0
（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含 m个基本 物理量作为基 本量纲的代表，一般取m=3。在管流中， 一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明渠流中，则常 选用H，v，ρ。
A FT/L^2 或 M/(L*T) C FT/L^2 或 M/(L^2·T)
B FT/L 或 M/(LT)
D F/(TL^2)或 M/(LT)
第四章 量纲分析与相似理论
2.量纲一的量： 特点： （1）指数为零； （2）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；
dim A dim B dim C M0L0T0 1
第四章 量纲分析与相似理论
1、管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因 素：流速υ ,管径D，重力g，粘度μ，管壁粗糙度△和密度ρ， 试用π定理分析确定方程的一般形式。
取v，D，ρ为基本变量，则π的个数N(π)=n-m=7-3=4，
显然hf/L是一个π，因hf和L量纲都是长度。
π1=υx1Dy1ρz1μ=[LT-1]x1[L]y1[ML-3]z1[ML-1T-1]
初始条件：适用于非恒定流 边界条件：
有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上 的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等 。 说明：
流速比尺：
v
vp vm
加速度比尺：
a
ap am
v2 / l
第四章 量纲分析与相似理论
三、动力相似
原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大
小成比例。
Gp Gm
FPp FP m
F p F m
FI p FI m
f
Lp
Lm
FI
FI
Fu
FG
Fp
Fu
FG
Fp
(b)
(a)第四章 量纲分析与相似理论
初始条件和边界条件的相似
f (1, 2 , nm ) 0
或先解一个π参数，如：
4 f (1 , 2 , nm )
第四章 量纲分析与相似理论
选择基本量时的注意原则： 1）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（M，L，T） 为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出现两 个，则基本变量同样只须选择两个。 2）选择基本变量时，应选择重要的变量。不要选择次要的变 量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往 使问题复杂化，甚至要重新求解。 3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的。
f
(Re, ) D
—称沿程阻力系数，具体由实验决定。
第四章 量纲分析与相似理论
流体相似的基本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定比尺。
源自文库
长度比尺：
l
lp lm
面积比尺：
A
Ap Am
l 2
体积比尺：
V
Vp Vm
l3
第四章 量纲分析与相似理论
二、运动相似
原型和模型的流速场相似，即流场中各对应点的 流速大小成比例，方向相同。
第四章 量纲分析与相似理论
量纲分析的基本概念
一、单位与量纲 1 .单位：表征物理量的大小
如m、cm、mm；小时、分、秒
等2 。.量纲：表征各物理量单位的种类
如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、 分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属 于质量类，用M表示。
第四章 量纲分析与相似理论
（3）确定π数的个数N（π）=（n-m），并写出其余物理 量与基本物理量组成的π表达式
i x1xx2yx3z xi (i 1,2,3n m)
第四章 量纲分析与相似理论
（4）确定无量纲π参数： 由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的指数x，
y，z，从而定出各无量纲π参数。 （5）写出描述现象的关系式
瑞利法的计算步骤：
1. 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；
2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：
FD=kDx Uyρz μa
应用范围：
一般情况下，要求相关变量未知数n小于5个
例题
第四章 量纲分析与相似理论
二、π定理
基本思想：对于某个物理现象，若存在n个变量互 为函数关系，即
F(q1, q2,...,qn ) 0 而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些 变量成为（n－m）个无量纲π数的函数关系，即
量纲齐次性原理是量纲分析的理论依据。 工程中在用的个别经验公式存在量纲不一致。
满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余
各项，使其变为无量纲方程。
如流体静力学基本方程 p p0 gh 用 g除h 其余各项，可得无量纲方程
p p0 1
gh gh
第四章 量纲分析与相似理论
量纲分析法
一、瑞利法
基本思想：假定各物理量之间是指数形式的乘积组合。
则L:x1+y1-3z1-1=0
T:-x1-1=0
M:z1+1 =0
由此x1=-1，y1=-1，z1=-1。类似有：π2=υx2Dy2ρz2△ π3=υx3Dy3ρz3g
可得：x2=0， y2=-1， z2=0 x3=-2， y3=1， z3=0写成π数为：
第四章 量纲分析与相似理论
常用沿程损失公式形式为：
第四章 量纲分析与相似理论
问题：速度v，长度l，重力加速度g的无量纲集合是：
A. ； B. ； C. ； D. ； 问题： 速度v,密度ρ,压强p的无量纲集合是：
A.
； B.
； C.
； D. 。
第四章 量纲分析与相似理论
三、物理方程的量纲齐次性原理
凡是正确描述自然现象的物理方程，其各项的量 纲必然相同。