北航张量讲义4

第四章 一般张量

一般张量定义在一般坐标系上。一般坐标系包括了直线坐标系和曲线坐标系， 笛卡儿直角坐标系是基为标准基的直线坐标系。所以，在一般坐标系中，基不一定是标准基，其坐标变换不一定是正交变换。为了维持张量式的不变性，需引进两组基——协变基和逆变基，从而产生不同类型的张量——协变张量、逆变张量和混变张量。

（一般坐标系下的指标约定：

为了区别不同类型的基和张量，需同时采用上标与下标，并修改求和约定：

✧ 除自然坐标系外，坐标采用上标变量

==(,,)

(,,)i 123i 123y y y y z z z z 老系

新系

（4.1）

✧ 自然坐标系下的，上标变量与下标变量有相同的含义

===⋯(,,)(,,)

i 123i i 223i x x x x x x x x 自然系＝e e （4.2）

✧ 哑标必须在上下标中各取一个

=++i i i i i i i i u u u u 粒子速度

e e e e （4.3）

✧ 偏导数分母中的上下标与分子指标相同时，构成哑标

ϕϕϕϕϕ

ϕ∂∂∂∂∂∇===++∂∂∂∂∂123i

i 123i x x x x x

i e e e e e （4.4） ✧ 用括号来区分指数与上标

x i 的平方为(x i )2

)

4.1一般坐标系中的基向量

第一章已说明，一般坐标系中，空间点P 的位置由坐标y i 通过变换T : 确定

()i i j T x x y : =（4.5）

i x ,物理空间中自然坐标系坐标，j y 变换空间中一般坐标系坐标，T :

，j y 到i x 的变换（正变换）。

几何上（如图）T : 把变换空间的点P '变换为物理空间点P ，把变换空间坐标面（垂直于坐标轴，面上一个坐

标保持常数）组成的六面体变换为物理空间坐标面组成的曲面六面体。六面体上坐标面的交线即为坐标线。P 点有三条坐标线，其向量方程为

()

()

()

123y y y r r r r r r ===（4.6）

据向量导数的几何意义知，坐标线的切向量为

,,

i i i r r r g e g e g e r g e ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂=

======== ⎪ ⎪ ⎪

∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

∂∂=

=∂∂111123i

2i

2i

21231

11

222

333

333123j i j

i

i x x x y y y x x x x x x y y y

y y y

y y y

x x x y

y

y

x y y

（4.7） 另一方面，T : 的Jacobi 矩阵为

(

)

∂∂∂⎛⎫

⎪∂∂∂ ⎪ ⎪

∂∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂ ⎪ ⎪

∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭

i

j J g g g 1

11123i 222123j 1

2333312

3x x x y y y x x x x y y

y y x x x y

y y （4.8）

可见i j J 的列向量即为切线向量i g 。考虑到行列式与混合积的关系，T : 的Jacobi 行列式为

⎡⎤===⎣⎦

i j det(J ),,g g g 123G J V （4.9）

y

变换空间

物理空间

2

线

3

)

2

因为坐标变换为可逆变换0J ≠，由上式，向量组i g 不共面，即向量组i g 线性无关，且有逆变换存在

-1()j j i T y y x : =（4.10）

逆变换可视为物理空间的三个标量场，有三个梯度向量

∂∂∂∂⎛⎫

=∇== ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂⎛⎫

=∇== ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂⎛⎫

=∇== ⎪∂∂∂∂⎝⎭

∂=∂g e g e g e g e

111

11

1

i i 1

23222222

i i 1

2333

3

3

33i i 12

3i i

j

j y y y y y x x

x x y y y y y x x

x x y y

y

y y x x

x x y x

（4.11）

梯度垂直于等值面，则g j 分别与相应的坐标面垂直，也就与坐标面内的向量g i 垂直（如图）。下面我们讨论两组向量的关系，并证明g j 的线性无关性。

逆变换的Jacobi 矩阵为

23∂∂∂⎛⎫

⎪⎛⎫∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂ ⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪⎝⎭ ⎪∂∂∂⎝

⎭

i j J g g g 1

111231i

222j 1

23333123

y y y x x x y y y y x x

x x y y y x x x （4.12） 可见i

j J 的行向量为梯度向量g i ，因此i

j J 的Jacobi 行列式可表示为

⎡⎤===⎣⎦

i

j det(J ),,G g g g 123J V （4.13a ）

g i 与g j 满足正交归一条件，即

δ=i g g j

j i

（4.13）

因为

δδ∂∂∂∂∂∂∂=====∂∂∂∂∂∂∂l

i

g g e e k j k j k j j j

l j k k i i l i l

i k i x y x y x y y y x y x y x y

这说明正逆Jacobi 矩阵是互逆关系

δ=j

k j

k i i J J （4.14）

上式求行列式得

=1J J （4.15）

这表明，正逆Jacobi 行列式均不为零，且有相同的符号。由（4.13a ）知g j 是线性无关的,且