功率放大器非线性特性及预失真建模

功放非线性属于有源电子器件的固有特性，研究其机理并采取措施改善，具有重要意义。 目前已提出了各种技术来克服改善功放的非线性失真，其中预失真（PD）技术是被研究和应 用较多的一项新技术，其最新的研究成果已经被用于实际的产品（如无线通信系统等），但在 新算法、实现复杂度、计算速度、效果精度等方面仍有相当的研究价值。 1.2 问题说明
通过确定比较不同的正交多项式阶数 k ，由数据文件 1，输入和输出数据已给出，故可求得
正交基函数k (x) ，
k (x)

k i 1
(1)ik
(i
(k i)! 1)!(i 1)!(k
x |i1 i)!
x
（13）
正交多项式基函数表k (x) 如下表 1，
表 1. 正交多项式基函数∅ ������ ，其中 1 ≤ ������ ≤ 7
（1）
表示为 G(x) 和 F(x) 的复合函数等于 L(x) ，线性化则要求
y(t) L(x(t)) g x(t)
（2）
式中常数 g 是功放的理想“幅度放大倍数”（ g 1）。因此若功放特性 G(x) 已知，则预失真
3
技术的核心是寻找预失真的特性 F(x) ，使得它们复合后能满足
由记忆效应的数据文件 2 建立有记忆正交多项式模型，明确多项式阶数和记忆深度，建 立非线性特性。再用 NMSE 评价正交多项式模型的准确度。 问题 B
与无记忆预失真模型类似，有记忆功放预失真模型依然采用正交多项式预失真模型，根 据初始预失真参数，通过正交化和迭代计算，训练更新预失真参数，使预失真器输出与间接 学习结构训练预失真输出的误差为 0 ，在“输出幅度限制”和“功率最大化”约束下，建立 正交多项式预失真功放，使功放整体呈现线性特性，并运用 NMSE/EVM 评价预失真补偿的计算 结果。 第三部分 拓展研究
参赛密码 （由组委会填写）
第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛
学 校 哈尔滨工业大学 参赛队号 10213005
1. 李文 队员姓名 2.李伟杰
3.李工业
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第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛
题目
功率放大器非线性特性及预失真建模
摘
要：
功率放大器（PA，Power Amplifier）非线性属于有源电子器件的固有特性，研究 其非线性特性及改善功放的非线性失真，在实际运用中具有重要意义。本文主要通过多 项式拟合的方法对功率放大器和预失真建模，由于传统的多项式拟合方法会存在不稳定 的情况[1]，本文采用的是正交多项式拟合技术。
(G F)(x(t)) L(x(t)) g x(t)
（3）
如果测得功放的输入和输出信号值，就能拟合功放的特性函数 G(x) ，然后利用（3）式，
可以求得 F(x) 。
二 问题分析
第一部分 无记忆功放 根据提供的数据文件 1 绘出原始输入-输出幅度图。
问题 A 由无记忆输入和输出数据，用函数空间的一组正交函数基的线性组合表示无记忆功放的
关键词：功率放大器，非线性，预失真，正交多项式拟合
2
一 问题重述与说明
1.1 问题重述 信号的功率放大是电子通信系统的关键功能之一，其实现模块称为功率放大器（PA，Power
Amplifier），简称功放。功放的输出信号相对于输入信号可能产生非线性变形，这将带来无 益的干扰信号，影响信息的正确传递和接收，此现象称为非线性失真。普通电路设计上，可 通过降低输出功率的方式减轻非线性失真效应。
运用间接学习的方法来实现正交多项式预失真技术，在正交多项式的阶数 k 7 ， 其 NMSE 11.9747dB , EVM 7.69% 。
KQ
第二部分，对于有记忆功放，其正交多项式模型为 yn kqk (xn q) ，即 k 1 q0
y ，其中 y 为输出信号， 为输入信号的正交多项式矩阵，同样可以通过 LS 法求
整体呈现线性
x(t )
z(t )
y(t )
预失真
处理
PA
图 1 预失真技术的原理框图示意图
其中 x(t) 和 y(t) 的含义如前所示，z(t) 为预失真器的输出。设功放的输入-输出特性为 G(x) ，
预失真器特性为 F(x) ，那么预失真技术处理原理可表示为
y(t) G(（z t）) G(F(x(t))) G F(x(t)) L(x(t))
K
第一部分，对于无记忆功放，其正交多项式模型为 y(t) bkk (x(t)) ，即 y ， k 1
其中 y 为输出信号， 为输入信号的正交多项式矩阵，因为可以通过 LS（Least Square）
的方法求得系数 ，取 k 4 时, NMSE 46.6621dB。
特性多项式，以正交多项式求出功放非线性模型。再用 NMSE 判断功放的实际输出值和理想 输出值的近似程度。 问题 B
利用正交多项式预失真模型，迭代求出预失真器的参数，使得预失真器输出与间接学习 结构中训练预失真器输出误差为 0 ，若误差不为 0 ，则更新预失真器参数，继续迭代计算。 直至误差为 0 ，达到线性化目的。考虑“输出幅度限制”和“功率最大化”，使预失真器和 功放组成的整体输出呈线性特性。同时得出目标误差函数和最大可能的幅度放大倍数。再运 用 NMSE/EVM 评价预失真补偿的结果。 第二部分 有记忆功放 问题 A
第三部分，拓展研究，这里通过计算原始的输入信号、原始输出信号和预失真后的 输出信号的功率谱密度函数，给出了信号的功率谱密度图，并通过分析，ACPR 值分别 为-79.5158 dB ，-37.2418 dB ，-53.9507 dB ，预失真后输出信号的 ACPR 比无预失真补偿 的功放降低了，说明采用预失真技术能提高频谱利用率，降低了由非线性效应所产生的 新频率分量对邻道信号的影响。
当 k 3时，NMSE 评价指标是-37.8065 dB ，当 k 4 时，NMSE 评价指标是-46.6621 dB ， 当 k 5 时，NMSE 评价指标是-53.4415 dB ， k 6 时，NMSE 评价指标是-63.9962 dB 。
5
五 模型建立和求解
第一部分 无记忆功放模型建立和求解
5.1 问题 A 建模和求解
由于各类功放的固有特性不同，特性函数 G(x) 差异较大，即使同一功放，由于输入信号 类型、环境温度等的改变，其非线性特性也会发生变化。根据函数逼近的 Weierstrass 定理， 对解析函数 G(x) 总可以用一个次数充分大的多项式逼近到任意程度。
（7）
其中把输入 x(t) 定义为 x [x(t1),..., x(tN )]T 矩阵，输出 y(t) 定义为 y [ y(t1),..., y(tN )]T 矩阵，参
数矩阵 b [b1,...,bK ]T 。定义 [1(x)2(x)...K (x)] ，且 [1(x)2(x)...K (x)] ，所以（7）可
以表示为
y b
（8）
由 b 的最小二乘法计算可得
bLS (H )1H y
（9）
经计算知，普通多项式模型中 (H )1 计算复杂，且易引起数据不稳定，故这里不采用
普通多项式模型。而运用正交多项式模型性能更佳，计算方便。
5.1.2 正交多项式功放模型
因此建立正交多项式功放模型，定义正交多项式基函数 k (x) 1(x),...,K (x) ，正交
四 符号说明
x(t) ：功放输入数据 y(t) ：功放输出数据 z(t) ：预失真器输出 bk ：普通多项式功放特性参数 ：正交多项式功放特性参数 b ： bk 的 K 1矩阵 bLS ：最小二乘法计算的 bk LS ：最小二乘法计算的 K ：多项式阶数 Q ：有记忆功放的记忆深度 k (x) ：输入信号的 k 次 ：k (x) 的1 K 矩阵 ：正交基矩阵 1(x) ：正交基矩阵的元素 G ：功放理想增益 ak ：预失真器参数 bPD ：预失真参数 kq (n) ：有记忆正交多项式函数 F(s) ：数据采用频率 s( f ) ：信号功率谱密度
已知数据采样率，根据数据文件 2 和有记忆功放问题 B 中求出的有正交多项式预失真补 偿的功放输出数据，求出功放预失真补偿前后的功率谱密度，利用间接法求功率谱密度（PSD）, 并作图比较，最后用 ACPR 对结果进行评价分析。
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三 模型假设
根据题意，可以进行如下假设： 1，功率放大器在工作时不受温度，电效应等的影响； 2，功率放大器工作时引入的噪声干扰为高斯白噪声； 3，假定本题涉及的信号为时间平稳信号。
Hale Waihona Puke 由此可得正交基 ，将 代入（11）求得 LS ，后代入（10）即求出 y ， y 为正交多 项式功放表示式。
由 MATLAB 仿真拟合出正交多项式功放模型的特性曲线，取阶数 k 4
7
图 2 原始数据和正交多项式拟合曲线（ k 4 ）
图 2，是原始数据输入-输出幅度图，第二幅图中红色曲线是利用正交多项式模型的功放 非线性特性拟合曲线，当正交多项式阶数 k 取不同值时，拟合效果不同，运用评价指标参数 NMSE 评价所建正交多项式模型的准确度。
本题从数学建模的角度进行探索。若记输入信号为 x(t) ，输出信号为 y(t) ，t 为时间变量， 则功放非线性在数学上可表示为 y(t) G(x(t)) ，其中 G(x) 为非线性函数。
预失真的基本原理是：在功放前设置一个预失真处理模块，这两个模块的合成总效果使 整体输入- 输出特性线性化，输出功率得到充分利用。 预失真原理框图如下所示：
5.1.1 普通多项式功放模型
当运用普通多项式表示功放非线性特性，即，
我们定义
K
y(t) bk xk (t) k 1
K
y(t) bk xk1(t)x(t) k 1
（4） （5）
那么可把（5）式化为
k (x) xk1x
（6）
K
y(t) bkk (x(t)) k 1
得系数 ，当 K 7 ，记忆深度 Q 2 时, NMSE 40.2702dB。 同样运用间接学习的方法来实现预失真的工程中，由于系统对于功放的放大倍数 G
1
很敏感，为了提高计算的稳定性，这里采用的是一种基于 LS 的递归算法来实现预失真 过程[2]。在正交多 项式的阶数 K 5 ，记忆深 度 Q 2 时， NMSE -35.9164dB， EVM 0.51% 。
∅1 ������ = ������ ∅2 ������ = 4 ������ ������ − 3������ ∅3 ������ = 15 ������ 2������ − 20 ������ ������ + 6������ ∅4 ������ = 56 ������ 3������ − 105 ������ 2������ + 60 ������ ������ − 10������ ∅5 ������ = 210 ������ 4������ − 504 ������ 3������ + 420 ������ 2������ − 140 ������ ������ + 15������ ∅ ������ = 792 ������ 5������ − 2310 ������ 4������ + 2520 ������ 3������ − 1260 ������ 2������ + 280 ������ ������ − 21������ ∅7 ������ = 3003 ������ 6������ − 10296 ������ 5������ + 13860 ������ 4������ − 9240 ������ 3������ + 3150 ������ 2������ − 504 ������ ������ + 28������
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基矩阵 [1(x)2(x)...K (x)] 由（7）式
得
K
y(t) bkk (x(t)) k 1
y
（10）
对（10）求最小二乘可得
k 阶正交多项式基函数为
LS (H )1H y
（11）
K
y(t) kk (x(t)) k 1
（12）