股票指数几何布朗运动模拟及实证分析

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现代经济信息

一、股价几何布朗运动模型及实证方法

影响股票价格变化的因素主要有股票价格随时间上涨的趋势和股票价格的平均波动率。前者对股票价格增长的贡献取决于时间的长短；后者只取决于布朗运动造成的随机波动。如果用s 表示股票价格，μ表示股票预期收益率，σ表示波动率，且μ、σ均为常数，t 代表时间，z

为标准布朗运动，则有：

，其中

，

。如果

，由伊

藤公式，

满足

。

离散化， [1]于是

[2][1]式可用于模拟股票在未来某时的价格及未来价格的可能分布。[2]式用于检验日收益率是否服从正态分布。

在股票价格呈对数正态分布的假设下，我们用股票价格的历史数据估计股票收益对数的均值μ和波动性σ。

因为

故由有

[3]

由

有

[4]

由[3][4]式，μ和σ的计算公式为

：

；

二、实例

已知上证综指(000001)2008 年11 月28 日的收盘指数S 0为1871.2，现模拟接下来244个交易日的上证综指走势。选择2008年12月1日到2009年11月30日(一年244个交易日)的日收盘价进行估计,得指数收益对数的均值μ为0.53512，标准差σ为0.30758。

下图为第一次随机模拟的股价走势和实际走势的对比：

实线轨迹代表上证综指的实际运动过程，虚线轨迹是模拟布朗运动的走势。两组数据的相关系数为0.9152。一年后股指平均重复多次模拟的均值为2489.3，标准差为457.8；实际股票价格的均值为2645.8， 标准差为461.25。

从相关系数等指标看，股价走势非常接近几何布朗运动，且股指一年后的模拟期望回报和标准差与实际数据非常接近，这也在一定程度说明将股价服从几何布朗运动假设作为期权定价的基础是可行的——即用模拟出的期望回报和标准差估计实际值的代表性较好。但股价的实际波动是否严格服从几何布朗运动？以下作进一步的严格检验。

三、正态性检验及改进

1.正态性检验

样本数据仍采用2008.12.1—2009.11.30 区间的实际日收益率(对数收益率)。剔除无交易日，共得到日收益率数据244个，计算过程在matlab 上实现。基本统计结果如下：

由上表可见，上证综指收益分布曲线向负轴方向倾斜；收益峰度>0,比正态分布的高峰更加陡峭。这说明存在一些大幅度偏离均值的异常值。

此处对指标

m=

作Kolmogorov-Smirnov 正态

性检验。将样本与标准正态分布进行对比，不符合正态分布返回1，否则返回0。在0.05的显著性水平下，用matlab 检验得：H=1，P=0.0182。即0.05显著性水平下，我国上证综指的收益率分布不服从正态分布。

2. Scaled-t 分布拟合优度实证

黄德龙、杨晓光[1]指出，Scaled-t 分布和混合正态分布能够较好地模拟股指收益。Scaled-t

分布的密度函数可以写成：

其中，Γ(.)表示伽玛函数,μ(-∞<μ<∞)

是位置参数，

(>0)是离散化参数, v 是自由度。如果股指收益Rt 满足scaled-t 分布且v>2，则E(Rt )=μ，Var(Rt)=。

(1)参数估计(最小二乘法)

此处做如下简化：将对数收益率数据分为26组，分属于区间(-∞，-0.060)，[-0.06，-0.055)，…，[0.06，+∞)，统计落入上述第i 个区间的数据个数v i 。用每组的中间数作为组平均数，近似代表每组各不同取值；而每个区间的数据分布频率p i =v i /244。若用组距与密度之积近似概率值，每个取值x i 就对应了一个scaled-t 分布概率密度函数上的近似密度值y i =p i /0.005。

以黄德龙，杨晓光所计算u=0.08033151193264，=1.90485855781027， v=2.72896067775779]作为初始估计值用matlab 的非线性拟合lsqcurve fit 函数进行参数估计，可得最优值为：

u =0.00536196105651408

；=1.29737411045449；v=2.00020722267159

(2)拟合优度检验

考察的统计量为

V=

，根据概率和频率的关系，

和越接近，拟合效果越好，V 是用来刻画和接近程度的量。计算得，正态分布下V 为279.9，Scaled —T 分布下V 为35.903，表明Scaled —t 分布比正态分布能更好地反映股价对数收益率的变动。

四、结论

以上分析说明，尽管我国的股指走势在很多方面表现出几何布朗运动的特征，股价的实际波动并不严格服从几何布朗运动，股价的对数收益率表现出了尖锋、厚尾和负偏的特性。经实证检验，Scaled —t 分布比正态分布能更好地反映股价对数收益率的变动。随着融资融券的推出、股指期货被提上议事日程，相信我国的股市在不久之后可以变得更加成熟。

参考文献：

[1] 黄德龙,杨晓光.中国证券市场股指收益分布的实证分析[J].管理科学学报,2008,11(1):68-77.

[2] 李洪宇,李述山,蔺香运.股票市场价格波动的实证分析[J].山东科技大学学报( 自然科学版),2001,20(4):79-81.

[3] 冯鸣. 模拟股票价格与实证分析[J].中国科技信息,2005,24:11,19.注：本文使用数据来源于CSMAR

中国股票市场交易数据库。

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高璐 西南财经大学金融学院 四川成都 611130

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