关于凹凸函数充要条件的证明

关于凹凸函数充要条件的证明

衡阳县第一中学 魏致远

命题：对于在区间D 上连续的函数)(x f (可以是分段函数)，如果它的导数)('x f 存在（但可能存在不可导的点），证明：D x x ∈∀21,，0,21>λλ且121=+λλ，有)('x f （对区间D 上所有可导的点而言）单调递增⇔)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≤+，当且仅当21x x =时取等号.

现给出不同与网上的用泰勒展开式证明的证法：

（1）证)('x f 单调递增⇒)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≤+. 要证)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≤+，

即证0)()()(22112211≥+-+x x f x f x f λλλλ，把21,x x 的同时变化看作1x 相对于2x 的变化，故构造函数)()()()(221221x x f x f x f x g λλλλ+-+=，且D x ∈，即证0)(≥x g ，

)(')(')('22111x x f x f x g λλλλ+-=)](')('[221211x x f x x f λλλλλ+-+=，

由于)('x f 递增，则当2x x >时0)('>x g ，当2x x <时0)('

（2）证)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≤+⇒)('x f 单调递增. 考虑用反证法：

.i 若)('x f 在区间D

上的某一可导子区间M 上恒为常数，同（1）理，对在区间M

上的所有的21,x x ，尽管21x x ≠，也会有)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+=+的结果，与题设矛盾（否定）；

.j 若)('x f 在区间D 上的某一可导子区间M 上递减，同（1）理，对在区间M 上

的所有的21,x x ，当21x x ≠时，会出现)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+>+的结果，与题设矛盾（否定），证毕； 综上：命题成立.

类似的，可以证明：D x x ∈∀21,，0,21>λλ且121=+λλ，)('x f （对区间D 上所有可导的点而言）单调递减⇔)()()(22112211x f x x x f λλλλ+≥+，当且仅当21x x =时取等号.