级数的概念与性质

第十一章无穷级数

教学内容目录：

§1—§8

本章主要内容：

常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。

幂级数：幂级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、

e x cos

sin ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式，幂级数在近

、x

x

、

似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。

函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。

教学目的与要求：

1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。

3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。

5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。

8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10、掌握应用e x,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。

11、了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。

本章重点与难点：

重点:

正项级数的审敛法；将一些简单的的函数间接展开成幂级数

难点：

应用逐项积分、逐项微分的性质求和函数、

本章计划学时：

16学时（2节习题课）

教学手段：

课堂讲授、习题课、讨论，同时结合多媒体教学

推荐阅读文献：

1.高等数学同步辅导(下) (第十一章) 主编同济大学应用数学系彭舟

航空工业出版社

2.高等数学名师导学(下) (第十一章) 主编大学数学名师导学丛书编写组

中国水利水电出版社

3.高等数学双博士课堂(第十一章) 主编北京大学数学科学学院

机械工业出版社

作业：

习题11－1：2(2、4) 、3(2)、4(1、3、5)

习题11－2：1(1、3、5)、2(2、4)、3(1、3、4)、4(1、3、5)、5(1、3、5) 习题11－3：1(1、3、5、6、8)、2(1、3)

习题11－4：1、2(2、3、5)、4、6

习题11－7：1(1、3)、2(1)、4、6

能力培养及措施:

通过精讲多练,启发式教学, 讨论式教学,重点讲授重点、难点，自学部分内容,课堂讨论,结合习题课及多媒体教学培养学生的比较熟练的运算能力、逻辑推理的能力及抽象思维能力,推荐学生阅读相关文献培养学生自学能力.

§11-1 常数项级数的概念和性质

问题的提出――计算半径为R 圆的面积 用内接正3×n 2边形的面积逐步逼近圆面积： 正六边形面积A ≈1a ， 正十二边形面积A ≈1a +2a ,

……

正n 23⨯形面积 A ≈1a +2a +……+n a

若内接正多边形的边数n 无限增大，则和1a +2a +……+n a 的极限就是所要求的圆面积A 。这时和式中的项数无限增多，出现了无穷多个数量依次相加的数学式子。

一、常数项级数的概念

1.常数项级数

如果给定一个数列 1u ,2u ,3u , …,n u ,…, 则表达式 1u +2u +3u +…+n u +… (1) 叫(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为∑∞

=1n n u 即

∑∞

=1

n n u =1u +2u +3u +…+n u +… n u -----一般项．

注1：怎样理解级数中无穷多个数量相加呢？观察有限项和的变化趋势 2.级数的部分和：

前n 项的和)2(121∑==+++=n

i i

n n u u u u s

部分和数列{n s }:11u s = 12u s =+2u

1u s n =+2u +3u +…+n u

3.级数的收敛与发散

定义（敛散性） 如果级数∑∞

=1n n u 的部分和数列{n s }有极限s ，即 ∞

→n lim ,s s n =

则称无穷级数∑∞

=1

n n u 收敛,极限s 为这级数的和,并写成

1u s =+2u +3u +…+n u +…

如果数列{n s }没有极限,则称无穷级数∑∞

=1

n n u 发散.

注2：若级数收敛，n s 是和S 的近似值， ++=-=++21n n n n u u s s r 叫做级数的余项,n s 代替和S 所产生的误差是该余项的绝对值，即误差是n r 。

例1 判别级数∑∞

=++1

)3)(2(1

n n n 的收敛性.

解 3

121+-

+=

n n u n ∑

=++=n

k n k k s 1

)3)(2(131

31)3121( )5141()4131(+-

=+-++⋅⋅⋅+-+-=n n n 31lim =∞→n n s 所以级数收敛.，它的和是3

1。 例2 讨论等比级数(几何级数) ∑∞

=0

n n aq ( a ≠0,q ：级数的公比)的收敛性。

分析：若,1≠q q

aq a aq

aq a s n n n --=+++=-11

当1

→n lim ,0=n q ∞

→n lim ,1q

a

s n -=

级数收敛，其和

.1q

a -当1>q 时,

∞

→n lim ,∞=n q ∞

→n lim ,∞=n s 级数发散．当1=q 时，级数发散。

即：若 1

∞

=+++++=11

312111n n n

的收敛性．

分析 因为 ()

()01ln >+>x x x

n

n n 1

ln 1,,34ln 31,23ln 21,

2ln 1+>>>> >++++n

1

31211 ()1ln 1ln

34ln 23ln 2ln +=++++n n n ()+∞=+=∴∞

→∞

→1ln lim lim n s n n n , 所以级数发散.

二、收敛级数的基本性质