高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 文 (2)
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答案
(5)ay22＋bx22＝1 (a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( × ) (6)ax22＋by22＝1 (a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
答案
2
考点自测
1.(教材改编)椭圆10x－2 m＋m－y2 2＝1 的焦距为 4，则 m＝__4_或__8___. 解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0， 10－m－(m－2)＝4，∴m＝4. 当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0， m－2－(10－m)＝4， ∴m＝8.
解析答案
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点 P(3,0)，则椭圆的方程为_______________________________________.
解析答案
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6，1)， P2(－ 3，－ 2)，则椭圆的方程为__x92_＋__y3_2_＝__1__.
12345
解析答案
2.(2015·广东)已知椭圆2x52 ＋my22＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4,0)，则 m＝ __3__.
解析 由题意知25－m2＝16， 解得m2＝9， 又m>0， 所以m＝3.
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解析答案
3.已知椭圆 C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33， 过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方 程为__x3_2_＋__y22_＝__1_____.
解析答案
题型二 椭圆的几何性质
例 3 (1)已知点 F1，F2 是椭圆 x2＋2y2＝2 的左，右焦点，点 P 是该椭圆上 的一个动点，那么|P→F1＋P→F2|的最小值是___2_____. 解析 设 P(x0，y0)，则P→F1＝(－1－x0，－y0)，P→F2＝(1－x0，－y0)， ∴P→F1＋P→F2＝(－2x0，－2y0)， ∴|P→F1＋P→F2|＝ 4x20＋4y20＝2 2－2y20＋y20＝2 －y20＋2.
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程.
则63mm＋＋n2＝n＝1，1，
① ②
①②两式联立，解得mn＝＝1319.， ∴所求椭圆方程为x92＋y32＝1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)， 线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是_椭__圆__. 解析 点P在线段AN的垂直平分线上， 故PA＝PN，又AM是圆的半径， ∴PM＋PN＝PM＋PA＝AM＝6>MN， 由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 ， F2 的 距 离 之 和 等 于 常 数 的 点 的 轨 迹 是 椭
圆.( × )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆
的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( √ ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( × ) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ )
第九章 平面解析几何
§9.5 椭 圆
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 高频小考点 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.椭圆的概念 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫 做 椭圆 ，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 . 集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若 a>c ，则集合P为椭圆； (2)若 a＝c，则集合P为线段； (3)若 a<c，则集合P为空集.
k 因为焦点在 y 轴上，则2k>2，即 k<1，
又k>0，所以0<k<1.
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解析答案
5.(教材改编)已知点 P 是椭圆x52＋y42＝1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦 点 F1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为______________.
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解析答案
解析 ∵△AF1B 的周长为 4 3，
∴4a＝4 3， ∴a＝ 3，∵离心率为 33，∴c＝1， ∴b＝ a2－c2＝ 2，∴椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1.
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解析答案
4.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 __(_0_,1_)___. 解析 将椭圆方程化为x22＋y22＝1，
返回
题型分类 深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程
命题点1 椭圆定义的应用
例1 如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点， M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片， 折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是__椭__圆____. 解析 由条件知PM＝PF. ∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝R>OF. ∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.
答案
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
图形
ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称轴：坐标轴 对称中心：原 对称性
点
2a
2b
A1(－a,0)，A2(a,0) A12(c0，－a)，A2(0，
性 顶点 B1(0，－b)，B2(0，
解析答案
(2)过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92＝1 有相同焦点的椭圆的标准方程 为___________.
解析答案
(3)(2014·安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0<b<1)的左，右焦点， 过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点.若 AF1＝3F1B，AF2⊥x 轴，则椭 圆 E 的方程为______________.
a)
质
b)
a2＝bB2＋1(c－2 b,0)，B2(b,0)
答案
点P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔ax022＋by202<1. (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔ax022＋by202＝1. (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔ax022＋by202>1.
知识拓展
(5)ay22＋bx22＝1 (a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( × ) (6)ax22＋by22＝1 (a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
答案
2
考点自测
1.(教材改编)椭圆10x－2 m＋m－y2 2＝1 的焦距为 4，则 m＝__4_或__8___. 解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0， 10－m－(m－2)＝4，∴m＝4. 当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0， m－2－(10－m)＝4， ∴m＝8.
解析答案
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点 P(3,0)，则椭圆的方程为_______________________________________.
解析答案
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6，1)， P2(－ 3，－ 2)，则椭圆的方程为__x92_＋__y3_2_＝__1__.
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解析答案
2.(2015·广东)已知椭圆2x52 ＋my22＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4,0)，则 m＝ __3__.
解析 由题意知25－m2＝16， 解得m2＝9， 又m>0， 所以m＝3.
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解析答案
3.已知椭圆 C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33， 过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方 程为__x3_2_＋__y22_＝__1_____.
解析答案
题型二 椭圆的几何性质
例 3 (1)已知点 F1，F2 是椭圆 x2＋2y2＝2 的左，右焦点，点 P 是该椭圆上 的一个动点，那么|P→F1＋P→F2|的最小值是___2_____. 解析 设 P(x0，y0)，则P→F1＝(－1－x0，－y0)，P→F2＝(1－x0，－y0)， ∴P→F1＋P→F2＝(－2x0，－2y0)， ∴|P→F1＋P→F2|＝ 4x20＋4y20＝2 2－2y20＋y20＝2 －y20＋2.
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程.
则63mm＋＋n2＝n＝1，1，
① ②
①②两式联立，解得mn＝＝1319.， ∴所求椭圆方程为x92＋y32＝1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)， 线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是_椭__圆__. 解析 点P在线段AN的垂直平分线上， 故PA＝PN，又AM是圆的半径， ∴PM＋PN＝PM＋PA＝AM＝6>MN， 由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 ， F2 的 距 离 之 和 等 于 常 数 的 点 的 轨 迹 是 椭
圆.( × )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆
的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( √ ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( × ) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ )
第九章 平面解析几何
§9.5 椭 圆
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 高频小考点 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.椭圆的概念 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫 做 椭圆 ，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 . 集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若 a>c ，则集合P为椭圆； (2)若 a＝c，则集合P为线段； (3)若 a<c，则集合P为空集.
k 因为焦点在 y 轴上，则2k>2，即 k<1，
又k>0，所以0<k<1.
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解析答案
5.(教材改编)已知点 P 是椭圆x52＋y42＝1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦 点 F1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为______________.
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解析答案
解析 ∵△AF1B 的周长为 4 3，
∴4a＝4 3， ∴a＝ 3，∵离心率为 33，∴c＝1， ∴b＝ a2－c2＝ 2，∴椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1.
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解析答案
4.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 __(_0_,1_)___. 解析 将椭圆方程化为x22＋y22＝1，
返回
题型分类 深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程
命题点1 椭圆定义的应用
例1 如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点， M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片， 折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是__椭__圆____. 解析 由条件知PM＝PF. ∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝R>OF. ∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.
答案
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
图形
ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称轴：坐标轴 对称中心：原 对称性
点
2a
2b
A1(－a,0)，A2(a,0) A12(c0，－a)，A2(0，
性 顶点 B1(0，－b)，B2(0，
解析答案
(2)过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92＝1 有相同焦点的椭圆的标准方程 为___________.
解析答案
(3)(2014·安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0<b<1)的左，右焦点， 过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点.若 AF1＝3F1B，AF2⊥x 轴，则椭 圆 E 的方程为______________.
a)
质
b)
a2＝bB2＋1(c－2 b,0)，B2(b,0)
答案
点P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔ax022＋by202<1. (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔ax022＋by202＝1. (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔ax022＋by202>1.
知识拓展