第4章 立体的投影

三、平面立体与曲面立体相交
平面立体和曲面立体相 交的相贯线，是由若干段平 面曲线（特殊情况下，可含 有直线段）所围成的空间曲 线。
每段平面曲线都是平面 立体表面与曲面立体所产生 的截交线，两条平面曲线的 交点即是平面立体棱线与曲 面立体表面所产生的交点。 平面立体的棱线都画到 相贯线为止。
三、平面立体与曲面立体相交
② 用辅助平面法求相贯线。
——未知相贯线的任一投影
① 找特殊点——确定相贯线的范围。 ② 找辅助点——确定相贯线的弯曲趋势。
四、两曲面立体相交
【例4-22】求正交两圆柱的相贯线。
四、两曲面立体相交
【例4-23】完成圆柱被挖圆孔后的三面投影。
四、两曲面立体相交
两正交圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势
棱锥的棱线交于锥顶
两棱线之间的平面叫棱面。 与棱线相交的平面叫底面、或顶面、或端面。
平面立体投影就是平面立体各表面投影的集合。 平面立体投影是由直线段组成的封闭图形。
4.1
平面立体的投影
一、棱柱 二、棱锥
4.2
曲面立体的投影 一、圆柱 二、圆锥 三、圆球
4.3
立体的截交线
一、概述
二、平面与平面立体相交 三、平面与曲面立体相交
二、圆锥
2.圆锥面上取点
⑴ 纬圆法 素线法 ⑵
素线 纬圆
B
素线是通过锥 纬圆和底面平行 顶的直线 且与轴线垂直
三、圆球
1.圆球的投影 ——圆球的三面投影投影均为圆 Z C（∥W 面） A（∥V 面）
（前后半球分界线） （左右半球分界线）
V a’
c’ b’
a”
b”
c”
W
X
a
B（∥H 面） （上下半球分界线）
五、立体表面交线的分析
【例4-26】完成相贯体的三面投影。
五、立体表面交线的分析
【例4-27】完成圆柱与圆锥相贯的三面投影。
五、立体表面交线的分析
1.相贯线的特殊情况
（3）当两圆柱轴线相互平行时其相贯线为两平行直线； 当两圆锥共顶时其相贯线为两相交直线。
两曲面立体相交的相贯线求法：
第一步：根据立体的两面投影求出第三投影。 第二步：看有没有相贯线的特殊情况。
1.平面与圆柱相交 截平面∥轴线 截平面⊥轴线 截平面⊥轴线
矩形
圆
椭圆
三、平面与曲面立体相交
【例4-9】补全圆柱被水平面和侧平面切口后的 三面投影。
三、平面与曲面立体相交
【例4-10】画出圆柱切槽后的三面投影。
三、平面与曲面立体相交
【例4-11】画出圆柱开槽后的三面投影。
三、平面与曲面立体相交
【例4-13】完成圆锥截切后的三面投影。
三、平面与曲面立体相交
【例4-14】完成切口圆锥的三面投影。
三、平面与曲面立体相交
【例4-15】完成圆锥切口后的三面投影。
三、平面与曲面立体相交
3.平面与圆球相交 当截平面与投影面平行时，截交线圆在该投 影面的投影为实形——即正圆，在另两个投影面 上的投影均积聚为直线，其长度等于圆的直径。
一、圆柱
2.圆柱表面上取点
圆柱面上的点：先在圆的投影上找 出点的第二投影，再用“点的投影 规律”得到第三投影。
二、圆锥
圆锥面是由一条直母线绕与它斜交的轴线 回转而成。
母线 轴线
素线
圆锥素线是通过锥顶的直线。
无数条通过锥顶的素线构成了圆锥面。
二、圆锥
最左素线
1.圆锥的投影
圆锥的投影特性： 在轴线所垂直的投影面上的投影为一圆；在轴线 所平面的投影面上的投影为大小相同的三角形。
先从点所在平面的积聚投影上找出点的第二投 影，再用“点的投影规律”求点的第三投影。
一、棱柱
【例4-2】完成五棱柱及其表面上线段ABCD 的 三面投影。
二、棱锥
1.棱锥的投影
棱锥的投影特性： 在底面所平行的投影面上的投影轮廓为反映棱锥 底面实形的多边形，并以每边为底还有若干个小 三角形；在底面所垂直的投影面上的投影由三角 形线框组成。
一、棱柱
2.棱柱表面取点和线 由于棱柱体的表面均为平面，所以在棱 柱体表面上取点的方法与平面上取点的方法 相同。
立体表面上点的可见性取决于点所在表面 的投影的可见性。 判别可见性的原则为：若点所在的表面的 投影可见（或积聚为一条可见的实线），则点 的投影亦可见。
一、棱柱
【例4-1】已知直三棱柱表面上的点M 的水平投 影m，求作其正面投影m’ 和侧面投影m”。
相贯线画在小圆 柱范围内，并向 大圆柱方向弯曲
四、两曲面立体相交
【例4-24】完成相贯体的三面投影。
五、立体表面交线的分析
1.相贯线的特殊情况
（1）两同轴回转面的相贯线是垂直于轴线的圆。
五、立体表面交线的分析
1.相贯线的特殊情况
（2）轴线相交的两回转面公切于一球面时，其相贯 线是平面曲线——椭圆。
第4章
立体的投影
立体表面是由若干个表面所组成的。
棱柱 圆柱
圆锥
圆 柱
圆球 圆柱
圆环
表面均为平面的立体称为平面立体。 表面为曲面或曲面和平面的立体称为曲面立体。
第4章
立体的投影
4.1
4.2 4.3
平面立体的投影
曲面立体的投影 立体的截交线
4.4
立体的相贯线
4.1
平面立体的投影
棱柱的棱线互相平行
棱线
二、平面与平面立体相交
【例4-4】试求棱柱被截切后的其三面投影。
二、平面与平面立体相交
【例4-5】试求棱柱被截切后的其三面投影。
二、平面与平面立体相交
【例4-6】完成棱锥被截切后的三面投影图。
二、平面与平面立体相交
【例4-8】完成具有三棱柱孔和左上方切口的正 六棱柱的三面投影。
三、平面与曲面立体相交
【例4-21】求圆柱与四棱柱相贯的三面投影。
三、平面立体与曲面立体相交
【例4-21】求圆筒挖方孔后的三面投影。
四、两曲面立体相交
两曲面立体相交，一般情况下，相贯线为 空间曲线，特殊情况下为平面曲线或线段。
作图 方法
作图 过程
① 利用投影的积聚性直接找点求相贯线。
——已知相贯线的一面投影或两面投影
三、平面与曲面立体相交
【例4-16】画出开槽半圆球的三面投影。
三、平面与曲面立体相交
【例4-17】画出圆球被正垂面截切后的三面投 影。
三、平面与曲面立体相交
【例4-18】完成磨具顶针的三面投影。
立体截交线的求法：
第一步：根据立体的两面投影求出第三投影。
第二步：找出截交线的第一投影。
第三步：运用“立体表面求点”的方法，求出 各特殊点的第二、第三投影，以及 1～2个一般点的第二和第三投影。 第四步：判断曲面立体表面上线段可见与否， 把同面投影点相连。
4.4
立体的相贯线
一、概述
三、平面立体与曲面立体相交 四、两曲面立体相交 五、立体表面交线的分析
一、棱柱
1.棱柱的投影
棱柱的投影特性： 棱柱按棱线的数目可分为三棱柱、四棱柱、……等。 在棱线所垂直的投影面上的投影为反映 棱线垂直于底面的棱柱称为直棱柱。 棱柱顶、底面实形的多边形；在棱线所平行 棱线倾斜于底面的棱柱称为斜棱柱。 的投影面上的投影由矩形线框组成。
两平面立 体相贯
平面立体和曲 面立体相贯
两曲面立 体相贯
多个立 体相贯
立体穿孔
一、概述
相贯线性质 1.封闭性：相贯线一定是封闭的。 2.共有性：相贯线是两立体表面的共有线，相 贯线上的点是相交两立体表面的共有点。
求相贯线的方法： 即为立体表面求点和线的投影。
求相贯线的一般步骤
① 求立体的第三投影 ② 求相贯线的三面投影 ③ 完善相贯体的三面投影
第三步：找出相贯线的一个或两个投影后，用 “曲面立体表面求点”的方法，求出 各特殊点的三面投影，以及1～2个一 般点的三面投影。
第四步：判断曲面立体表面上线段可见与否， 把同面投影点相连。 第五步：完善曲面立体的轮廓线。
立体的相贯线
课后练习
第25页：4-9(1)、(3)、(4)、(5)
第27页：4-10(2)
第五步：完善曲面立体的轮廓线。
立体的截交线
课后练习
第20页：4-7(2)、(3)、(5)、(6) 第22页：4-8(1)、(2)、(3)、(5)
第23页：4-7(6)、(7)、(8)、(9)
一、概述
两立体相交称为相贯，其交线称为相贯线。
本节主要讨论常用不同立体相交时其相贯线的 投影特性及画法。
相贯的形式有：
c
b
Y
H
三、圆球
2.圆球面上取点
水平面纬圆
正平面纬圆
侧平面纬圆
立体的投影小结：
1、掌握各立体的投影特性，并能根据立体的 两面投影求出第三投影。
柱体
圆球
锥体
2、掌握各立体表面求点的方法。
立体的投影
课后练习
第18页：4-1(1)、(2)、(3) 第19页：4-5(1)、(2)、(3)
一、概述
截交线的两个基本性质:
【例4-12】画出圆柱被正垂面截切后的三面与圆柱轴线的夹角不同时，截 交线的变化趋势：
三、平面与曲面立体相交
2.平面与圆锥相交
截平面 ⊥轴线 截平面 通过锥顶 截平面⊥轴 线且与所有 素线都相交 截平面∥ 某一素线
截平面 ∥轴线
圆
三角形
椭圆
抛物线
双曲线
三、平面与曲面立体相交
1.封闭性：截交线一定是封闭的平面图形。 2.共有性：截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线 上的点是截平面与立体表面的共有点。
用平面与立体相交截去 立体的一部分，称为截切， 截 平 面
平面与立体表面所产生 的交线，称为截交线。
截交线
截平面就是截交 线的第一投影
二、平面与平面立体相交
平面立体截交线投影的作图方法
求解平面与平面立体的截交线问题，实质上是求平面 与平面立体上各表面的交线，或求平面与平面立体上各棱 线交点的集合问题。 1、面面交线法：将平面立体上 参与相交的棱面（或底面）与截 平面求交线，这些交线的集合即 截交线 为所求平面立体的截交线。 2、线面交点法：将平面立体上 参与相交的棱线（或底边）与截 求截交线的方法： 平面求交点，然后将位于平面立 即为立体表面求点和线的投影。 体同一表面上两个交点的同面投 影连接起来，即为所求平面立体 截交线的投影。
二、棱锥
2.棱锥表面上的点和线
二、棱锥
【例4-3】完成五棱台表面上的点的三面投影。
一、圆柱
圆柱面是由一条直母线绕平行于它的轴线回转 而形成的。
轴线 母线
素线
圆柱素线是与轴线平行的直线。
无数条相互平行的素线构成了圆柱面。
一、圆柱
1.圆柱的投影 轮廓素线 最左素线
圆柱的投影特性： 在轴线所垂直的投影面上的投影为一圆；在轴线 所平面的投影面上的投影为大小相同的矩形。