安徽省巢湖市2019届高三年级三月份联考数学(理科)试题含答案解析

安徽省巢湖市2019届高三年级三月份联考数学（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，，若，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合交集和空集的概念，结合集合A,B的不等式，求得的取值范围.
【详解】依题意可知当时，，故选C.
【点睛】本小题主要考查两个集合交集不为空集的知识，考查不等式的方向，属于基础题.
2.“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，将条件和结论相互推导，根据能否推导出的情况，判断充分、必要条件.
【详解】由不等式性质可知，，若，有，若，不满足上述条件，未
必成立；如不能推出，故推不出，故是既不充分也不必要条件.故选D.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的知识，考查不等式的性质，属于基础题.
3.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如图所示的折线图年收入的各种用途占比统计
如图所示的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为
A. 100000元
B. 95000元
C. 90000元
D. 85000元
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出2017年的就医费用，从而求出2018年的就医费用，由此能求出该教师2018年的家庭总收入．
【详解】由已知得，2017年的就医费用为元，
年的就医费用为元，
该教师2018年的家庭总收入元．
故选：D．
【点睛】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.已知，，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值.
【详解】，得，
而.
故选A.
【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.
5.若展开式中含项的系数为21，则实数的值为（）
A. 3
B. -3
C. 2
D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得展开式的通项公式，求得其中的系数，与相乘得到；求的系数时，无解.故由求得的值.
【详解】展开式的通项公式
为，
所以令，
此时含的项的系数为，又令，舍去，
所以含项的系数为，所以，得.故选A.
【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查乘法的分配律，考查运算求解能力，属于基础题.
6.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（）
A. 2
B.
C. 4
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
所有截面都是等腰三角形，根据三角形的面积公式可知，当顶角为时，面积取得最大值，由此求得最大的截面面积.
【详解】将三视图还原，可知几何体是一个轴截面的顶角为的半圆锥，故过其顶点的截面面积
.故选A.
【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆锥的截面面积最大值的计算，考查三角形面积公式，属于中档题.
7.函数的部分图象符合的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用特殊值法分别计算，的值进行排除即可．
【详解】故得到函数是偶函数，
图象关于y轴对称，
排除C，
，排除A，D，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法是解决本题的关键．知式求图的问题常见的方法是先通过函数的定义域和值域进行排除，再由函数的特殊值进行排除，也可以采用判断极限的方法进行排除.
8.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意可知同学正确数量满足二项分布，同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论.
【详解】设学生答对题的个数为，则得分（分），，，所以，
同理设学生答对题的个数为，可知,，所以，所以
.故选A.
【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查方差的计算，考查阅读理解能力，考查数学在实际生活中的应用.已知随机变量分布列的方差为，则分布列的方差为.
9.已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，则的取值范
围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
因为三角形为锐角三角形，所以过C做于D，D在边AB上，如图：根据面积算出，再根据勾股定理表示出，二次函数知识可求得．
【详解】因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：
因为：，所以，
在三角形ADC中，，
在三角形BDC中，，
，，
．设结合二次函数的性质得到：．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角函数的应用以及二次函数的值域，最值问题；题目难度中等.这个题目考查了二元问题的应用，一般采用的是二元化一元.
10.在中，，，，过点作的垂线，垂足为，以为折痕将折起使点到达点处，满足平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【解析】
【分析】
先判断出三角形为直角三角形，由此求出各条边长.根据，，两两相互垂直，可知三棱锥的外接球的直径即以，，为边构造长方体的体对角线，由此计算出球的直径和半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】由，，及可知，，所以，由题可知在三棱锥中，，两两相互垂直，所以分别以，，为边构造长方体，则三棱锥的外接球的直
径，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为
.故选D.
【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，考查补形的思想，属于中档题.
11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，交双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设出渐近线方程，计算出到渐近线的距离，由此求得的值，根据双曲线的定义，求得，利用余弦定理解方程，化简得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】依题可知，不妨设渐近线方程为，代入点到直线的距离公式得，从而，
又由双曲线的定义可知，所以在中，由余弦定理得
，化简得，即，所以离心率为
.故选A.
【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查双曲线渐近线的求法，考查点到直线的距离公式，考查余弦定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.求解双曲线离心率有关的问题，首先根据题意列一个方程，根据这个方程求得的值，进而求得离心率.
12.已知数列：；，，；，，…，；…，，，，…；…，则此数列的前2036项之和为（）
A. 1024
B. 2048
C. 1018
D. 1022
【解析】
【分析】
根据数列的规律，先将数列分组，第一组个数，第二组个数，……，第组个数，分别计算出各组数的和.计算出组数的项数和，令这个项数和等于列方程，解方程求出组数为.然后求出前组数的和得出正确选项.
【详解】将此数列分组，第一组：；第二组：；第三组：；…；第组：
.而由，得，所以
.因此前2036项之和正好等于前10组之和，由于.故选C.
【点睛】本小题主要考查数列求和，考查观察能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量，，，若向量与向量共线，则实数k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先由，得出向量的坐标表示，再由向量与向量共线，即可求出结果.
【详解】因为向量，，所以；又，向量与向量共线，所以，解得.
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理即可，属于基础题型.
14.曲线在点处的切线经过点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导，求得在处切线的斜率，根据点斜式写出切线方程，将点坐标代入切线方程，解方程求得的值.
【详解】由得，所以，又当时，，所以，所以切线方程为
，将点代入切线方程，得.
【点睛】本小题主要考查函数的导数，考查曲线的切线方程的求法，考查方程的思想，属于基础题.
15.若函数在区间内有最值，则的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
当函数取得最值时有，由此求得的值，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围（含有），对赋值求得的具体范围.
【详解】由于函数取最值时，，，即，又因为在区间内有
最值.所以时，有解，所以，即，由得
，当时，，当时，又，，所以的范围为.
【点睛】本小题主要考查三角函数最值的求法，考查不等式的解法，考查赋值法，属于中档题.
16.如图，为椭圆上一个动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则当四边形
面积最大时，的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据切线的性质得到，以及，故四边形面积最大时，即最大，根据椭圆的性质可知当点为椭圆的左顶点时，最大，根据向量数量积公式计算出两个向量的数量积.
【详解】连接，设，则，由切线的性质知，所以，故
四边形面积最大时，即最大，且.易知当点为椭圆的左顶点时，最大，所以，如图所示，
此时，，，
所以，
.
【点睛】本小题主要考查圆的切线的几何性质，考查椭圆的几何性质，考查向量数量积的计算，属于中档题.
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知平面向量，，函数.
（1）求的单调区间；
（2）在锐角中，，，分别是内角，，所对的边，若，，求周长的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间是，，单调递减区间是，.（2）
【解析】
【分析】
（1）先求得的表达式，利用正弦函数的单调区间，求得的单调区间.（2）根据正弦定理求得边的表达式，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.
【详解】解：（1）依题意，.
令，，
解得的单调递增区间是，，
令，.
解得的单调递减区间是，.
（2）由得.
设三角形的外接圆半径为，根据正弦定理得.
于是
.
因为是锐角三角形且，
所以由，得，因此的取值范围是.
而由得，所以，
所以，
即周长的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理解三角形，知识综合较多，属于中档题.
18.2018年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄（单位：岁）分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）求实数的值；
（2）若先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样共抽取10人，然后从被抽取的这10人中随机抽取3人参加优胜比赛.
①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；
②设为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）（2）①②见解析
【解析】
【分析】
（1）根据频率和为列方程，解方程求得的值.（2）利用分层抽样的知识计算出每组的抽取人数.①用古典概型的概率计算公式计算出这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②利用超几何分布的知识计算出分布列和数学期望. 【详解】解：（1）直方图中的组距为5，
可得，
得.
（2）从直方图中可得第四组的人数为（人），第五组的人数为（人），第六组的人数为（人），
三组共100人，按组用分层抽样法抽取10人，则第四组应抽取4人，第五组应抽取3人，第六组应抽取3人.
①三组各有一人参加优胜比赛的概率；
②的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为
.
【点睛】本小题主要考查频率分布直方图有关的计算，考查古典概型，考查超几何分布，属于中档题.
19.已知等差数列的前n项和为，，公差为
若，求数列的通项公式；
是否存在d，n使成立？若存在，试找出所有满足条件的d，n的值，并求出数列的通项公式；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
由已知求得公差，直接代入等差数列的通项公式得答案；由，得到，然后依次取n值，求得d，分类分析即可得到所有满足条件的d，n的值，并求得通项公式．
【详解】当时，由，得，即．
；
由题意可知，，
即，．
令时，得，不合题意；
时，得，符合．
此时数列的通项公式为；
时，得，不合题意；
时，得，符合．
此时数列的通项公式为；
时，得，符合．
此时数列的通项公式为；
时，得，不合题意；
时，得，不合题意；
时，得，不合题意；
时，，均不合题意．
存在3组，其解与相应的通项公式分别为：
，，；
，，；
，，．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．
20.如图，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起得到图（二），点
为棱上的动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，二面角为，点为中点，求二面角余弦值的平方.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据，证得平面，从而证得平面平面.（2）以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，通过计算和的法向量，计算出二面角余弦值的平方.
【详解】证明：（1）在图（一）梯形中，
∵是的中点，，，
∴，.
∴四边形为平行四边形.
又∵，∴，
在图（二）中，∵，，平面，平面，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
解：（2）由及条件关系，得，
由（1）的证明可知，，
∴为二面角的平面角，
∴，
由（1）的证明易知平面平面，且交线为，
∴在平面内过点作直线垂直于，
则平面，
∴，，两两相互垂直，
∴分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
∵为中点，
∴，
，.
设平面的一个法向量，
则，
即，
令，则，，
∴，
而平面的一个法向量，
∴，
∴.
【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查利用空间向量法计算二面角的余弦值，属于中档题.
21.已知抛物线E：，圆C：．
若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；
在的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点使为坐标原点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在定点
【解析】
【分析】
求得抛物线的焦点，设出直线的方程，运用直线和圆相切的条件：，解方程可得所求直线方程；设出A，B的坐标，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，解方程可得t，即M的坐标，即可得到结论．
【详解】由题意可得抛物线的焦点，
当直线的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，设直线的斜率为k，方程设为，
即，由圆心到直线的距离为，
当直线与圆相切时，，解得，
即直线方程为；
可设直线方程为，，，
联立抛物线方程可得，则，，
x 轴上假设存在点使，
即有，可得，
即为，
由，，
可得，
即，即，符合题意；
当直线为，由对称性可得也符合条件．
所以存在定点使得．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系和直线与抛物线的位置关系，考查相切的条件和联立方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及方程思想和变形能力，属于中档题．涉及方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
22.设函数.
（1）若，证明：；
（2）已知，若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，利用导数求得函数的最大值，由此证得不等式成立.（2）先求得的表达式，将零点问题转化
为有两个不相等的实根来解决.显然是方程的根.当，构造函数，利用导数来求得当有一个不为零的零点时的取值范围.
【详解】证明：（1）当时，，
所以，
所以当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以当时，函数有极大值，也为最大值，
所以最大值为，
所以.
（2）因为函数有两个零点可转化为有两个零点，即关于的方程有两个不相等的实根，
易知0为方程的一个根，此时.
当时，只需有一个不为0的零点即可，
当时，，
故为减函数，
因为，，
故在上仅有1个零点，且不为0，满足题意；
当时，，不合题意；
当时，，，
，根据零点的存在性定理可知在上至少有1个零点，当时，为负数，故在
上也有零点，故不合题意.
综上，.
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数求解零点个数问题，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.要证明一个函数小于某一个数值，那么可以利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数的最大值，根据最大值证明不等式成立.。