P18捷联惯导系统误差传播特性

四元数误差
ɺ = δω E (1 + Φ ) − ω E (1 + Φ ) + (1 + Φ ) ω E Φ ib iE iEC 2 2 2 Φ Φ E E E E E = δω ib + (ω iEC − ω iE ) − ω iE × + × ω iEC 2 2 E E E —— 数学平台误差角的矢量表达 = δω ib + δω iE − ω iE × Φ
—— RE、RE’ 之间的转动四元数为 之间的转动四元数为δq
四元数误差
Φ Φ Φ Φ δq = cos + sin ⋅ = 1+ 2 2 Φ0 2
− δq = qq C1
ɺ ɺ − ɺ− δ q = qq C1 + qq C1
1 b b ɺ q = q (ω ib − ω iE ) 2 1 b b ɺ q C = q C (ω ibm − ω iEC ) 2
—— 速度误差方程的分量展开形式
位置误差、 位置误差、系统误差
根据经度、 根据经度、纬度的定义
取小偏差， 取小偏差，得
VN ɺ ϕ =− R ɺ = VE sec ϕ λ R δV N ɺ δϕ = − R ɺ = δVE sec ϕ + VE sec ϕ ⋅ tgϕ ⋅ δϕ δλ
R R
4、系统误差方程 、 由数学平台误差角方程、速度误差方程、 由数学平台误差角方程、速度误差方程、位置误差方程组成 经度误差方程仍可单独考虑 静基座条件下， 静基座条件下，捷联惯导系统误差传播特性与平台式一致
速度误差
b b b ɺ δVrb = AIm − AIb − [(ω iE + ω b ) × δVrb + (δω iE + δω b ) × Vrb ]
转换到地理坐标系： 转换到地理坐标系： b − b ɺ δVrE = qC AIm qC1 − qAIb q −1 − q [(ω iE + ω b ) × δVrb 由于 则 又有 因此
Ar = AI − (ω iE + ω ) × Vr + g
速度误差
Ar = AI − (ω iE + ω ) × Vr + g
因加速度计固联于载体，将上式写在载体坐标系内： 因加速度计固联于载体，将上式写在载体坐标系内： ɺ A b = V b = Ab − (ω b + ω b ) × V b + g b
V ɺ = −(2ω sin ϕ + VE tgϕ ) ⋅ δV − ζ δV − V N δV δV N ζ e E N R R R VE 2 − R sec ϕ + 2ω e cos ϕ ⋅ VE δϕ + Aζ α − AE γ + ∆AN
ɺ = 2(V E + ω cos ϕ ) ⋅ δV + 2V N δV − 2V ω sin ϕ ⋅ δϕ + A β − A α + ∆A δVζ e E N E e E N ζ R R
R E = qRb q
或
R b = q −1 R E q
是准确值，考虑四元数的计算误差， 设 Rb 是准确值，考虑四元数的计算误差，有
R' E = qC Rb qC
− 1 Rb = q C 1 R E q C
−1
则 定义
− 1 R E = qq C1 R E q C q −1
− ∆q = qq C1
1 1 1 −1 − b b b −1 b ɺ δq = q (ω ib − ω ibm )qC − qω iE qC + qω iEC qC1 2 2 2
考虑到
b b b δω ib = ω ib − ω ibm
b E δω ib = q −1δω ib q
b E ω iE = q −1ω IE q
b b b ω b = ω ib − ω iE
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1 b ɺ q = qω b 2
则 实际系统中
ɺ q=
1 b b q (ω ib − ω iE ) 2
b b ω ibm ω iEC
—— 理想情况
实际计算的四元数微分方程
1 b b ɺ qC = qC (ω ibm − ω iEC ) 2
四元数误差
四元数计算误差表达式 相对地理坐标系静止， 设一矢量 R 相对地理坐标系静止，在地理坐标系内表示为 RE， 在飞行器坐标系内表示为 Rb，用 q 表示载体坐标系相对地理坐标 系的转动。 系的转动。则 −1
速度误差
展开得
V ɺ = (V N tgϕ − ζ ) ⋅ δV + (V E tgϕ + 2ω sin ϕ ) ⋅ δV − (VE + 2ω cos ϕ ) ⋅ δV δV E E e N e ζ R R R R
V EV N + sec 2 ϕ + 2ω e cos ϕ ⋅ V N + 2ω e sin ϕ ⋅ Vζ ⋅ δϕ + AN γ − Aζ β + ∆AE R
rC rC
Im
iEC
C
rC
C
定义速度误差
δVr = VrC − Vr
b b b b b b ɺ 则 δVrb = AIm − AIb − [(ω iEC + ω C ) × VrC − (ω iE + ω b ) × Vrb ] + g C − g b
b b b 考虑 ω iEC = ω iE + δω iE
= δq −1 AIE δq + δq −1δAIE δq
b − E E qC AImqC1 = δAIE + AIE × Φ − (ωiE + ω E ) ×δVrE − (δωiE + δω E ) ×VrE
速度误差
E qC A q = δA + A × Φ − (ω + ω ) ×δV − (δωiE + δω E ) ×VrE
捷联惯导误差传播特性
基本特性与平台式惯导系统一致 误差方程的建立方法 系统误差方程的建立（角度、速度、位置） 系统误差方程的建立（角度、速度、位置） 1、数学平台的误差方程（四元数法） 、数学平台的误差方程（四元数法） 四元数微分方程： 四元数微分方程： 假设数学平台模拟地理坐标系， 假设数学平台模拟地理坐标系，因此
得
1 1 b b −1 b b − ɺ δq = q (ω ib − ω iE )qC + q (−ω ibm + ω iEC )qC1 2 2
1 1 1 b b −1 b −1 b − = q (ω ib − ω ibm ) qC − qω iE q C + qω iEC qC1 2 2 2
四元数误差
E δω IE
δV N − R δV E = − ω e sin ϕδϕ R VE δV E tgϕ + sec 2 ϕδϕ + ω e cos ϕδϕ R R
四元数误差、 四元数误差、速度误差
展开得到 V V V ɺ = − N + ( E tgϕ + ω e sin ϕ ) β − ( E + ω e cos ϕ )γ + ε E α R R R ɺ = δVE − ω sin ϕ − (VE tgϕ + ω sin ϕ )α − V N γ + ε β e e N R R R VN VE VE δV E 2 γɺ = tgϕ + ( sec ϕ + ω e cos ϕ )δϕ + ( + ω e cos ϕ )α + β + εζ R R R R ——数学平台误差角的分量表达式 数学平台误差角的分量表达式 2、速度误差方程 、 因数学平台模拟地理坐标系，由第二章（ 因数学平台模拟地理坐标系，由第二章（2-36）可得 ）
0 ω E = ω e cos ϕ ω e sin ϕ
δVIE = [δVE δV N
δVζ ]T
速度误差
E qC A q = δA + A × Φ − (ω + ω ) ×δV − (δωiE + δω E ) ×VrE
b −1 Im C E I E I E iE E E r
ω = ω + δω
b C b
b
V
b iC
= V + δV
b r
b r
b gC − g b = 0 设
则
b b b ɺ δVrb = AIm − AIb − [(ω iE + ω b + δω iE + δω b ) × (Vrb + δVrb )
b − (ω iE + ω b ) × Vrb ]
b b b = AIm − AIb − [(ω iE + ω b ) × δVrb + (δω iE + δω b ) × Vrb ]
b − E ω IEC = q C1ω iEC q C
1 1 −1 E −1 1 −1 E b −1 − qδω ib qC − qq ω iE qqC + qq C ω iEC qC qC1 可得 2 2 2 1 1 E 1 E E = δω ib δq − ω iE δq + δqω iEC 2 2 2 ɺ Φ Φ δq = 1 + 另有 ɺ 代入上式， 代入上式，并忽略二阶小量 δq = 2 2 ɺ = δω E (1 + Φ ) − ω E (1 + Φ ) + (1 + Φ ) ω E Φ ib iE iEC 2 2 2 ɺ δq =
b AIm = AIb + δAIb
b + (δω iE + δω b ) × Vrb ] q −1
AIb = q −1 AIE q
δAIb = q −1δAIE q
− − − b q C AIm q C1 = q C q −1 AIE qq C1 + q C q −1δAIE qq C1
Φ 将 q = 1+ 代入上式，展开并忽略二阶小量： 代入上式，展开并忽略二阶小量： 2
第一项： ib = [ε E 第一项： E δω 第三项： 第三项：
εN
ε ζ ]T
第二项： 第二项：
ɺ 平台误差角： ɺ 平台误差角： Φ = α
[
ɺ γɺ T β
]
E ω iE
VN − R V = E + ω e cos ϕ R V E tgϕ + ω e sin ϕ R
b −1 Im C E I E I E iE E E r
第一项： 第一项：δAIE = ∆AE 第二项： 第二项： AIE = AE 第三项： 第三项：
[
[
——速度误差方程的矢量表达式 速度误差方程的矢量表达式
∆AN
AN
Aζ
]
∆Aζ
T
]
T
Φ = [α
β γ]
T
E ω iE
VN − R V = E + ω e cos ϕ R V E tgϕ + ω e sin ϕ R
第四项： 第四项： δV N − R δV E E δω IE = − ω e sin ϕδϕ R VE δV E tgϕ + sec 2 ϕδϕ + ω e cos ϕδϕ R R
0 δω E = − ω e sin ϕ ⋅ δϕ ω e cos ϕ ⋅ δϕ
End