近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环

练习： 求Z18的全部零因子、全部可逆元、全部 子环及子环特征、单位群.
2012-9-19
a ka, k Z
2
（2）当 | a | n 时，
R {0, a , 2a , , ( n 1)a }
a ka, 0 k n 1
2
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定理2 (1) 循环环是交换环， (2) 循环环的子环是循环环， (3) 无限阶循环环的特征是无限， n阶循环环的特征是n.
st .
x, y Z
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a x m y 1 ,因此, [ a ][ x ] [ a x ] [1]
,故 [ a ] 可逆. 剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
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例 2 Z 12 解 (1) 全部零因子:
[ 2 ], [ 3 ], [4 ], [6 ], [8 ], [9 ], [1 0 ]
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(2)若 [ a ] 为 Z 的可逆元,则 [ b ] Z m , [ a ][ b ] [ a b ] [1]. 于是, m | ab 1 ,即 c Z ,使得 a b 1 c m ,也就是 a b ( c ) m 1
m
，所以 ( a , m ) 1 . 反之, 如果 ( a , m ) 1 ,则
反之,如果 ( a , m ) d 1 , 设 a a 1 d , m m 1 d ,则 m | m a 1 m 1 d a 1 m 1 a ,所以 [ m 1 ][ a ] [ m 1 a ] [0 ] ,于是 [ a ] 是零因子. ,但 [ m 1 ] [0 ]
(2) 全部可逆元: [1], [5 ], [7 ], [1 1] 直接计算可知,相应的逆元为
[1]
1
[1], [5 ]
1
[5 ], [7 ]
1
[7 ], [1 1]
1
[1 1]
(3) 全部子环:
([0 ]), ([1]), ([ 2 ]), ([ 3 ]), ([4 ]), ([6 ]) ch a r (([0 ])) 1, c h a r (([1])) 1 2 , c h a r (([ 2 ])) 6 , c h a r (([ 3 ])) 4 , c h a r (([4 ])) 3 , c h a r (([6 ])) 2 .
若 m 不是素数，则 m a b ,
m | a , m | b , 即 [ a ] [0 ], [ b ] [0 ],
但 [ a ][ b ] [ a b ] [0 ],
Z m 为有零因子环.
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定理3
Zm
为域 m 为素数.
（有限无零因子环是除环）
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(4) 各子环特征:
定理2
Z m 为无零因子环 m 为素数.
证：设 m 为素数，若 [ a ][ b ] [ a b ] [0 ] ，则 m | a b ，m | a 或者 m | b ，即
[ a ] [0 ], 或 者 [ b ] [0 ], Z m 为无零因子环.
Z m ([1])
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2. 剩余类环的性质 定理1 设 [ a ] Z m , [ a ] [0 ] ,则 (1) [ a ] 为 Z m 的零因子 ( a , m ) 1 (2) [ a ] 为 Z m 的可逆元 ( a , m ) 1
证：(1)若 [ a ] 为 Z m 的零因子,则存在 [ a ][ b ] [ a b ] [0 ] [ b ]( [0 ]) Z m ,使得 ,故 m | a b .若 ( a , m ) 1 ,则 m | b ,所以 [ b ] [ 0 ] ,矛盾.于是 ( a , m ) 1 .
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二、模m的剩余类环 1. 剩余类环的构造: 设 m 为大于1 的正整数, 则有
Z m { [0 ], [1], , [ m 1]}
[ a ], [ b ] Z m ,规定
[a ] [b ] [a b]
[ a ][ b ] [ a b ]
,则 Z m 关于剩余类的加法与乘法构成 一个有单位元的交换环.
近世代数
第三章 环与域 §3 循环环、剩余类环
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一、循环环 定义1 若环 R 关于加法是循环群，称 R 为循环环. 例1 整数环是循环环. 定理1 若 ( R , ) ( a ) ，则 （1）当 | a | 时，
R { , 2 a , a , 0 , a , 2 a , }