高中数学 第2章 数列 章末归纳总结 新人教B版必修5

2．定义法 等差数列{an}是递增数列，前 n 项和为 Sn，且 a1，
a3，a9 成等比数列，S5＝a25.求数列{an}的通项公式．
[解析] 设数列{an}公差为 d(d>0)， ∵a1，a3，a9 成等比数列，∴a23＝a1a9， 即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d.
∵d≠0，∴a1＝d.
(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n
项和的公式，并能运用公式解决一些简单的问题．
(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和前n
项和的公式，并能运用公式解决一些简单问题．
2．需要注意的问题 (1)注意数列与函数的联系，通过相应的函数及其图象的 特征直观地去认识数列的性质． (2)等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，应将它 们对比起来学习，以进一步认识它们之间的区别与联系．
和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一．现根据数列的 结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：
1．观察法 列的一个通项公式．
根据下面数列的前几项，写出数
(1)1,1，57，175，391，…； (2)3,0，－3,0,3，….
[解析] (1)数列 1,1，57，175，391，…； 即11，33，57，175，391，…， 由于分子是等差数列{2n－1}的各项，分母是数列{2n－1} 的各项， ∴an＝22nn－－11(n∈N*)． (2)所求数列的通项可转化为数列 1,0，－1,0,1，…的通项， 这恰好是“五点法”作三角函数的图象的值， 从而 an＝3sinn2π(n∈N*)．
是一种方程思想．
(2)设数问题 要注意设元技巧．如三数成等差数列，可设为 a－d，a，a ＋d；若四数成等差数列，可设为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d； 若三数成等比数列，可设为aq，a，aq；若四数成等比数列，可 设为qa3，aq，aq，aq3，但要注意四数的公比为 q2>0.
(3)转化思想 熟练掌握等差、等比数列的有关知识，同时要善于把非等 差、非等比问题转化为等差、等比数列来处理，即把一般数列 转化为特殊数列来处理． (4)综合问题 将数列与函数、方程、不等式结合起来，考查数列知识的 灵活运用能力，这一题型要求比较高，是近年高考命题的一种 趋势．
(5)拆项分组法
若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数 列通项公式分解，分别求和，最终达到求和目的．
专题研究
专题一 数列的通项公式的求法 数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数 的解析式．根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，
研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项
(4)累乘法：利用恒等式 an＝a1·aa21·aa32…aan－n 1(an≠0)求通项公 式的方法称为累乘法．累乘法是求形如 an＋1＝g(n)an 的递推数列 的通项公式的基本方法(数列{g(n)}可求前 n 项积)．
(5)构造法：形如 an＋1＝pan＋q(p，q≠0，且 p≠1)的递推数 列，可构造等比数列{an＋p－q 1}，其中该等比数列的首项是 a1 ＋p－q 1，公比为 p.
2．求数列通项公式的常用方法 (1)观察归纳法：给定一个数列的前几项，用不完全归纳 法猜测出数列的一个通项公式． (2)公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式
法．常用的公式有an＝Sn－Sn－1(n≥2)，等差数列和等比数列
的通项公式．
(3)累加法：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－ 1)求通项公式的方法称为累加法．累加法是求形如an＋1＝an＋ f(n)的递推数列的通项公式的基本方法(其中数列{f(n)}可求 前n项和)．
(2)倒序相加法 对于满足性质 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…的数列求 和，均可用倒序相加法． (3)裂项相消法 对于形如{ana1n＋1}或{ana1n＋2}(其中数列{an}是公差 d≠0 的 等差数列)的数列求和，可利用裂项相消法．借助ana1n＋1＝1d(a1n－ an1＋1)或ana1n＋2＝21d(a1n－an1＋2)将和式中各项裂项，然后合并同类 项即可．
3．数列求和的常用方法 (1)公式法 公式法是数列求和最常用的方法之一，可直接利用等差数 列、等比数列的求和公式，也可利用常见的求前 n 项和的公 式．本章常见公式如下： ①正整数构成的数列{n}的前 n 项和公式： 1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1. ②正整数的平方构成的数列{n2}的前 n 项和公式： 12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．
常见的拆项方法有：
nn1＋1＝1n－n＋1 1；Βιβλιοθήκη Baidu
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n；
nn＋11n＋2＝12[nn1＋1－n＋11n＋2]．
(4)错位相减法
对 于 形 如 {an·bn}( 其 中 {an} 是 等 差 数 列 ， {bn} 是 等 比 数 列)的数列求和，可用错位相减法，即将数列{an·bn}的每一项 分别乘以数列{bn}的公比，然后与原和式错位相减，即可得到 一等比数列的前n项和式，求和化简即可．
规律总结
1．等差数列与等比数列作为解决一般数列的一种最基本 的“工具”，可以从以下几方面去把握：
(1)计算问题 这是一种既简单又基本的题型，要求灵活运用概念和性质
探求数列中的某些项、公差或公比、通项公式、前n项的和 等．特别地，在等差(或等比)数列{an}中，对于a1、an、n、 Sn、d(或q)这五个量，知道其中三个量，可求另外两个量，这
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数列 第二章
章末归纳总结 第一章
1 知识结构
2 学后反思
4 专题研究
3 规律总结
5 解题模板
知识结构
学后反思
1．学习要求 (1)理解数列的概念，能用函数的观点认识数列，了解数 列的通项公式和递推公式的意义，会根据数列的通项公式写出 数列的任意一项，会根据数列的递推公式写出数列的前几项．
①
∵S5＝a25，
∴5a1＋5×2 4d＝(a1＋4d)2.