第五章 立体表面交线的投影
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工学院 机械系 普亚松
红河学院
工程制图
截交线的求法
积聚性法：利用有积聚性的投影求截交线； (1) 积聚性法：利用有积聚性的投影求截交线；
(适合圆柱) 适合圆柱)
方法： (2) 素线法：利用立体表面的素线求截交线； 方法： 素线法：利用立体表面的素线求截交线；
(适合圆锥) 适合圆锥)
辅助平面法：利用所作的辅助平面求截交线。 (3) 辅助平面法：利用所作的辅助平面求截交线。
（1）分析截平面与立体的相对位置以确 定截交线形状。 定截交线形状。 截交线多边形的边数= 截交线多边形的边数=截平面所截到的面的个数 （2）分析截平面与投影面的相对位置以确 定截交线的投影形状。 定截交线的投影形状。
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• 1. 截平面只与平面基本体的棱面、棱线相交，不与底面 或顶 截平面只与平面基本体的棱面、棱线相交，不与底面(或顶 及边线相交， 面)及边线相交，则其截交线多边形的边数等于被截平面基本 及边线相交 体的底面或顶面边数相同，如图5-3a所示。 所示。 体的底面或顶面边数相同，如图 所示 • 2. 截平面只与平面基本体的底、顶面及边线、棱面相交，不 截平面只与平面基本体的底、顶面及边线、棱面相交， 与棱线相交，或者截平面过棱锥顶截切， 与棱线相交，或者截平面过棱锥顶截切，其截交线多边形的 边数等于被截平面基本体棱面的边数相同，如图5-3b所示。 所示。 边数等于被截平面基本体棱面的边数相同，如图 所示 • 3. 截平面既与平面基本体的棱面、棱线相交，又与底面(或顶 截平面既与平面基本体的棱面、棱线相交，又与底面(或顶 及边线相交， 面)及边线相交，其截交线多边形的边数等于截平面截到的棱 及边线相交 面数以底(顶 面数 如图5-3c所示。 面数， 所示。 面数以底 顶)面数，如图 所示
1’ a’
1
s 2
3
平面与三棱锥相交 Honghe University
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求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 例2求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4′ (4′) 3′ 1′ 2′ 4″
● ●
1″
●
2″
●
3″
4
●
3
● ●
1
●
截平面与立体的几个棱面相交? 截平面与立体的几个棱面相交? 交线的形状？ ★ 交线的形状？ 投影分析 截交线与投影面的位置关系? 截交线与投影面的位置关系? ★ 求截交线
☆ 关键在分析截平面与投影面的相对位置
⑵ 画截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为： 当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为： 先取特殊点，后取中间点。 ☆ 先取特殊点，后取中间点。 顺次光滑地连接各点，并判断可见性。 ☆ 顺次光滑地连接各点，并判断可见性。
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一、平面截切的基本形式
截平面
截断面 截交线
截交线与截断面
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平面立体截交线的性质： 平面立体截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形 封闭的平面多边形， • 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截 切位置。 切位置。 •平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 平面立体的截交线是一个多边形， 平面立体的截交线是一个多边形 面立体的棱线或底边与截平面的交点。 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线 截平面与棱面的交线。 条边是截平面与棱面的交线。 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 • 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
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第五章 立体的表面交线
5.1 5.2 5.3
平面立体的截切 回转体的截切 回转体与回转体相贯
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截切： 截切：
平面立体的截切 5.1 平面立体的截切
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例1如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两 如图所示，圆柱被正垂面截切， 个投影。 个投影。 由于平面与圆柱的轴线 5” 5’ 具体步骤如下： 斜交，因此截交线为一椭圆。 4’ 4” 6” 截交线的正面投影重影为一 （2）再作出适当数量 （1）先作出截交线上的 （3）将这些点的投影依 直线，水平投影与圆柱面的 7” 3’ 3” 的一般点。 特殊点。 次光滑的连接起来。 (7)’ 投影重影为圆。侧面投影可 2’ 2” 8” （4）补全侧面投影中的转 根据圆柱表面取点的方法求 1” 1’ 向轮廓线。 出。
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二、平面立体截交线的画图
求截交线的两种方法： ⒈ 求截交线的两种方法：
棱线法: 棱线法 求各棱线与截平面的交点
6 棱面法:求各棱面(或底面) 棱面法:求各棱面(或底面)与截平面的交线
4 3 5 2 1
⒉ 求截交线的步骤： 求截交线的步骤：
例4求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
作图方法: 作图方法
1 求棱线与截平面 的共有点 2 连线 3 根据可见性处理轮廓线
5 3 1 7 2 6 4
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׳ (5) 7׳
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二、平面与回转体的截交线
3 4 2 1
如何求截交线？ 如何求截交线？
⑴ 空间及投影分析
①
确定截交线的形状
☆ 明确回转体的形状 ☆ 分析截平面与回转体轴线的相对位置
②
明确截交线的投影特性(积聚性、类似性等) 明确截交线的投影特性(积聚性、类似性等) 截交线的投影特性
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如图所示，圆锥被正垂面截切， 例1 如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截 交线的另外两个投影。 交线的另外两个投影。
此种截交线为一椭圆。 此种截交线为一椭圆。 由于圆锥前后对称， 由于圆锥前后对称，故椭圆 也前后对称。 也前后对称。椭圆的长轴为 截平面与圆锥前后对称面的 交线——正平线，椭圆的短 正平线， 交线 正平线 轴是垂直与长轴的正垂线。 轴是垂直与长轴的正垂线。
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平面与圆锥相交所产生的截交线形状， 平面与圆锥相交所产生的截交线形状， 的截交线形状 取决于平面与圆锥轴线的位置。 取决于平面与圆锥轴线的位置。
㈡ 圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
(a) 截平面与棱面、棱线相交
(b) 截平面不与棱线相交
(c) 截平面与棱面、棱线 及底、顶面边线相交
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例1求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交 线的水平投影和侧面投影。
s’ s” 3’ 2’ Pv 3” 2” 1” b’ c’ c” a” 具体步骤如下： (1) 求Pv与s’a’、s’b’、s’c’ 的交点1’、2’、3’为截平面 与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ的正面投影。 (2) 根据线上取点的方法， b” 求出1、2、3和1”、2”、3”。 (3) 连接各点的同面投影即 等截交线的三个投影。 (4) 补全棱线的投影。
用平面与立体相交， 用平面与立体相交，截去立体的一部分。
用以截切物体的平面。 截平面 :用以截切物体的平面。 截平面与物体表面的交线。 截交线 :截平面与物体表面的交线。 因截平面的截切，在物体上形成的平面。 截断面 :因截平面的截切，在物体上形成的平面。
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3 讨论的问题： 讨论的问题：截交线的分析和作图 。 工学院 机械系 普亚松
8 1 2 4 3 平面与圆柱相交 Honghe University 7 6
Ⅴ Ⅵ
5
Ⅶ Ⅲ Ⅷ Ⅰ Ⅱ
Ⅳ
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工程制图
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例3补画出立体的左视图
1.作圆柱的左视图 1.作圆柱的左视图 2.作左切面上的投影 3.作下部通槽的投影 4.判别可见性
45° 45°
什么情况下投 影为圆呢? 影为圆呢? 截平面与轴线 45° 成45°夹角时
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●
● ● ● ● ● ● ●
工程制图
● ●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
●
●
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Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线 平面与圆柱相交
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具体步骤如下：
(适合圆锥、圆球) 适合圆锥、圆球)
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㈠ 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与 圆柱轴线的相对位置
PV PV PV
P
P
P
垂直 圆
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倾斜 椭圆
平行 两平行直线
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平面与圆柱相交
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作图步骤如下：
工程制图
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
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平面与圆柱相交
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2
★ 分析棱线的投影 ★ 检查 类似性
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׳ (1) 2 ׳ ׳ (3) 4׳ 3״ 5״ 6׳ 7״ 6״ 1״ 2״ 4״
例5 求左视图
截交线的空间形状是怎样的? 截交线的空间形状是怎样的? 截交线的已知投影呢？ 截交线的已知投影呢？ 截交线的侧面投影 是什么形状？ 是什么形状？
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椭圆的长、 椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的变而改变。 夹角的变而改变。
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5.整理并擦除多余的线, 整理并擦除多余的线, 完成作图. 完成作图.
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例4 补画被挖切后立体的投影 。
分 析： 该立体是在圆柱筒的 上部开出一个方槽后形成 的 。构成方槽的平面为垂 直于轴线的水平P和两个 平行于轴线的侧平面Q 。 它们与圆柱体和孔的表面 都有交线，平面P与圆柱 的交线为圆弧，平面Q与 圆柱的交线为直线，平面 Ｐ和Q彼此相交于直线段。
１）空间及投影分析
确定截交 线的形状
截平面与立体的相对位置 截平面与投影面的相对位置
２）画出截交线的投影
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确定截交线 的投影特性6 工பைடு நூலகம்院 机械系 普亚松
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3. 截交线的形状
截交线的形 怎样确定截交线 的投影形状？ 状是怎样的？ 的投影形状？ 状是怎样的？
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5.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截平面 截平面 截交线
截交线
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回转体截交线的性质： 回转体截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线 共有线。 • 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是封闭的平面图形 封闭的平面图形。 • 截交线都是封闭的平面图形。 (特殊情况为平面折线 特殊情况为平面折线) 特殊情况为平面折线
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截交线的求法
积聚性法：利用有积聚性的投影求截交线； (1) 积聚性法：利用有积聚性的投影求截交线；
(适合圆柱) 适合圆柱)
方法： (2) 素线法：利用立体表面的素线求截交线； 方法： 素线法：利用立体表面的素线求截交线；
(适合圆锥) 适合圆锥)
辅助平面法：利用所作的辅助平面求截交线。 (3) 辅助平面法：利用所作的辅助平面求截交线。
（1）分析截平面与立体的相对位置以确 定截交线形状。 定截交线形状。 截交线多边形的边数= 截交线多边形的边数=截平面所截到的面的个数 （2）分析截平面与投影面的相对位置以确 定截交线的投影形状。 定截交线的投影形状。
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• 1. 截平面只与平面基本体的棱面、棱线相交，不与底面 或顶 截平面只与平面基本体的棱面、棱线相交，不与底面(或顶 及边线相交， 面)及边线相交，则其截交线多边形的边数等于被截平面基本 及边线相交 体的底面或顶面边数相同，如图5-3a所示。 所示。 体的底面或顶面边数相同，如图 所示 • 2. 截平面只与平面基本体的底、顶面及边线、棱面相交，不 截平面只与平面基本体的底、顶面及边线、棱面相交， 与棱线相交，或者截平面过棱锥顶截切， 与棱线相交，或者截平面过棱锥顶截切，其截交线多边形的 边数等于被截平面基本体棱面的边数相同，如图5-3b所示。 所示。 边数等于被截平面基本体棱面的边数相同，如图 所示 • 3. 截平面既与平面基本体的棱面、棱线相交，又与底面(或顶 截平面既与平面基本体的棱面、棱线相交，又与底面(或顶 及边线相交， 面)及边线相交，其截交线多边形的边数等于截平面截到的棱 及边线相交 面数以底(顶 面数 如图5-3c所示。 面数， 所示。 面数以底 顶)面数，如图 所示
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求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 例2求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4′ (4′) 3′ 1′ 2′ 4″
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1″
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截平面与立体的几个棱面相交? 截平面与立体的几个棱面相交? 交线的形状？ ★ 交线的形状？ 投影分析 截交线与投影面的位置关系? 截交线与投影面的位置关系? ★ 求截交线
☆ 关键在分析截平面与投影面的相对位置
⑵ 画截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为： 当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为： 先取特殊点，后取中间点。 ☆ 先取特殊点，后取中间点。 顺次光滑地连接各点，并判断可见性。 ☆ 顺次光滑地连接各点，并判断可见性。
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截平面
截断面 截交线
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平面立体截交线的性质： 平面立体截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形 封闭的平面多边形， • 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截 切位置。 切位置。 •平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 平面立体的截交线是一个多边形， 平面立体的截交线是一个多边形 面立体的棱线或底边与截平面的交点。 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线 截平面与棱面的交线。 条边是截平面与棱面的交线。 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 • 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
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第五章 立体的表面交线
5.1 5.2 5.3
平面立体的截切 回转体的截切 回转体与回转体相贯
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例1如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两 如图所示，圆柱被正垂面截切， 个投影。 个投影。 由于平面与圆柱的轴线 5” 5’ 具体步骤如下： 斜交，因此截交线为一椭圆。 4’ 4” 6” 截交线的正面投影重影为一 （2）再作出适当数量 （1）先作出截交线上的 （3）将这些点的投影依 直线，水平投影与圆柱面的 7” 3’ 3” 的一般点。 特殊点。 次光滑的连接起来。 (7)’ 投影重影为圆。侧面投影可 2’ 2” 8” （4）补全侧面投影中的转 根据圆柱表面取点的方法求 1” 1’ 向轮廓线。 出。
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求截交线的两种方法： ⒈ 求截交线的两种方法：
棱线法: 棱线法 求各棱线与截平面的交点
6 棱面法:求各棱面(或底面) 棱面法:求各棱面(或底面)与截平面的交线
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⒉ 求截交线的步骤： 求截交线的步骤：
例4求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
作图方法: 作图方法
1 求棱线与截平面 的共有点 2 连线 3 根据可见性处理轮廓线
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如何求截交线？ 如何求截交线？
⑴ 空间及投影分析
①
确定截交线的形状
☆ 明确回转体的形状 ☆ 分析截平面与回转体轴线的相对位置
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如图所示，圆锥被正垂面截切， 例1 如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截 交线的另外两个投影。 交线的另外两个投影。
此种截交线为一椭圆。 此种截交线为一椭圆。 由于圆锥前后对称， 由于圆锥前后对称，故椭圆 也前后对称。 也前后对称。椭圆的长轴为 截平面与圆锥前后对称面的 交线——正平线，椭圆的短 正平线， 交线 正平线 轴是垂直与长轴的正垂线。 轴是垂直与长轴的正垂线。
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平面与圆锥相交所产生的截交线形状， 平面与圆锥相交所产生的截交线形状， 的截交线形状 取决于平面与圆锥轴线的位置。 取决于平面与圆锥轴线的位置。
㈡ 圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
(a) 截平面与棱面、棱线相交
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(c) 截平面与棱面、棱线 及底、顶面边线相交
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例1求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交 线的水平投影和侧面投影。
s’ s” 3’ 2’ Pv 3” 2” 1” b’ c’ c” a” 具体步骤如下： (1) 求Pv与s’a’、s’b’、s’c’ 的交点1’、2’、3’为截平面 与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ的正面投影。 (2) 根据线上取点的方法， b” 求出1、2、3和1”、2”、3”。 (3) 连接各点的同面投影即 等截交线的三个投影。 (4) 补全棱线的投影。
用平面与立体相交， 用平面与立体相交，截去立体的一部分。
用以截切物体的平面。 截平面 :用以截切物体的平面。 截平面与物体表面的交线。 截交线 :截平面与物体表面的交线。 因截平面的截切，在物体上形成的平面。 截断面 :因截平面的截切，在物体上形成的平面。
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1.作圆柱的左视图 1.作圆柱的左视图 2.作左切面上的投影 3.作下部通槽的投影 4.判别可见性
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什么情况下投 影为圆呢? 影为圆呢? 截平面与轴线 45° 成45°夹角时
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★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
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(适合圆锥、圆球) 适合圆锥、圆球)
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㈠ 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与 圆柱轴线的相对位置
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作图步骤如下：
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（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
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例5 求左视图
截交线的空间形状是怎样的? 截交线的空间形状是怎样的? 截交线的已知投影呢？ 截交线的已知投影呢？ 截交线的侧面投影 是什么形状？ 是什么形状？
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椭圆的长、 椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的变而改变。 夹角的变而改变。
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分 析： 该立体是在圆柱筒的 上部开出一个方槽后形成 的 。构成方槽的平面为垂 直于轴线的水平P和两个 平行于轴线的侧平面Q 。 它们与圆柱体和孔的表面 都有交线，平面P与圆柱 的交线为圆弧，平面Q与 圆柱的交线为直线，平面 Ｐ和Q彼此相交于直线段。
１）空间及投影分析
确定截交 线的形状
截平面与立体的相对位置 截平面与投影面的相对位置
２）画出截交线的投影
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3. 截交线的形状
截交线的形 怎样确定截交线 的投影形状？ 状是怎样的？ 的投影形状？ 状是怎样的？
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5.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截平面 截平面 截交线
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回转体截交线的性质： 回转体截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线 共有线。 • 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是封闭的平面图形 封闭的平面图形。 • 截交线都是封闭的平面图形。 (特殊情况为平面折线 特殊情况为平面折线) 特殊情况为平面折线