解的存在唯一性定理

函数列{ fn (x)}, ( fn ( x) f ( x, n ( x)))
在[x0, x0 h]上一致收敛于函数 f (x,(x)),
因此对(3.7)两边取极限 ,得
x
lim
n
n
(
x)

y0

lim
n
x0
f (,n1( ))d
x
y0
x0
lim
n
dy dx

f
(x, y),
(3.1)
y(x0 ) y0
其中f (x, y)在矩形区域 R : x x0 a, y y0 b, (3.2)
上连续, 并且对y满足Lipschitz条件 :
即存在L 0, 使对所有( x, y1), ( x, y2 ) R常成立
由Weierstras s判别法知,级数(3.9)在[x0, x0 h]上一致收敛 .
因而函数序列{n (x)}在[x0, x0 h]上一致收敛 .
现设
lim
n

n
(
x)


(
x),
x0 x x0 h,
则由{n (x)}在[x0, x0 h]的连续性和一致收敛性 得,
M
x, yD
证明思路：5个步骤
步骤1 证明求解微分方程的初值问题等价于求解 一个积分方程
步骤2 用逐次迭代法构造一个连续的逐步逼近序 列
步骤3 证明此逐步逼近序列一致收敛
步骤4 证明此收敛的极限函数为所求的初值问题 的解
步骤5 证明连续解的唯一性
命题1
初值问题(1.1)等价于积分方程
x
y y0
(3.8)
命题3 函数序列{n (x)}在[x0, x0 h]上一致收敛 .
记
lim
n

n
(
x)


(
x),
x [x0 , x0 h].
命题4 (x)是积分方程 (3.5)定义于[x0, x0 h]上连续解.
命题5 设 (x)是积分方程(3.5)定义于[x0, x0 h]上的 一个连续解,则(x) (x), x [x0, x0 h].

L
x x0
M (

x0 )d

ML(x 2
x0 )2
其中第二个不等式是由 Lipschitz条件得到的,
由 L ipschit z 条 件
设对于正整数 n,有不等式
n (x) n1(x)

MLn1 n!
(x

x0
)n,
则当x0 x x0 h时,由Lipschitz条件有
(u '(x) Lu(x))eLx 0,
对最后一个不等式从 x0到x积分得 u(x)eLx u(x0 )eLx0 0,
故g(x) u(x) 0, 即g(x) 0, x [x0, x0 h]. 综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明.
一 存在唯一性定理
1 定理1 考虑初值问题
2 存在唯一性定理的说明
(1) 对于给定在R上有定义的函数f (x, y),根据定义去 验证它是否关于y满足Lipschitz条件, 一般比较困难, 下面给出在实际应用中容易判断的两个充分条件.
10 如果f (x, y)在R上关于y的偏导数f y (x, y)存在且 有界,则f (x, y)在R上关于y满足Lipschitz条件.
f
(,n1( ))d
即
x
(x)
y0
f (,( ))d
x0
故(x)是积分方程 (3.5)定义于[x0, x0 h]上连续解.
命题5 设 (x)是积分方程(3.5)定义于[x0, x0 h]上的 一个连续解,则(x) (x), x [x0, x0 h].
M
故n 1时命题2成立
M Max f (x, y) ( x, y )R
设n k时, 命题2成立，即k (x)在[x0, x0 h]上连续
且 k (x) y0 b
x
当n k 1时 k1(x) y0 x0 f (,k ( ))d
由f (x, y)在D上连续性知, f (x,k (x))在[x0, x0 h]
解的存在唯一性定理 和逐步逼近法
内容提要
概念和定义
一阶方程的初值问题 利普希茨条件

定理1

命题1

定理1的证明

命题2 命题3
存在唯一性定理


命题4 命题5

逐步逼近的思想

定理2
一、概念与定义
1.一阶微分方程
dy f (x, y) dx 这里 f (x, y) 是定义在矩形域 D :| x x0 | a,| y y0 | b 上的连续函数。
上连续,从而k1(x)在[x0 , x0 h]上连续且
k1(x) y0
x
x0 f ( ,k ( ))d

x x0
f (,k ( ))d
M x x0 Mh b
即当n k 1时成立,命题2成立
综上，命题2得证
命题3 函数序列{n (x)}在[x0, x0 h]上一致收敛 .
d(x) f (x,(x))
dx
且
(x0 ) y0
x0 x0
f
(x,(x))dx

y0
即y (x)为(1.1)的连续解.
现在取0 (x) y0构造毕卡逐步逼近函数列如下
0 (x) y0


n
(x)

y0

x x0
f (,n1( ))d
(1.3)
问题：给定初值 y(x0 ) y0 ，什么条件下解存在且唯一
？？？
2.利普希茨条件 函数 f (x, y)在矩形域
D :| x x0 | a,| y y0 | b 上关于 y 满足利普希茨条件，如果存在常数 L 0 使得不等式
|f (x, y1) f (x, y2 )| L | y1 y2 | 对于所有的(x, y1),(x, y2 ) D都成立 其中L称为利普希茨常数。
在矩形R中有 f (x, y) M,
f ( x, y1) f ( x, y2 ) L y1 y2
则初值问题(3.1)在区间x x0 h上的解存在且唯一,
这里h min(a, b ),M Max f (x, y)
M
( x, y)R
命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程
x
y y0 x0 f (t, y)dt
n 1时
x
1(x) y0 x0 f ( ,y0 )d
显然1(x)在[x0, x0 h]上连续, 且
x
x
1(x) y0 x0 f ( ,y0 )d x0 f (, y0 )d
M x x0 Mh b h min( a, b )
二、存在唯一性定理
定理1
dy =f (x, y)
(1)
dx
D :| x x0 | a,| y y0 | b
如果f (x, y)在D上连续且关于y满足利普希茨条件，
则方程(1)存在唯一的连续解y (x),定义在|x x0| h
上，连续且满足初值条件
(x0 ) y0
这里h min(a, b ), M max | f (x, y) |
(3.5)
构造Picard逐步逼近函数列{n (x)}
0 (x) y0

x
n (x) y0 x0 f (,n1( ))d
x0 x x0 h
(n 1,2, )
命题2 对于所有 n和x [x0, x0 h],n (x)连续且满足
n (x) y0 b,
于是{n (x)}一致收敛性与级数 (3.9)一致收敛性等价 .
对级数(3.9)的通项进行估计
x
1(x) 0(x) x0 f (,0( ))d M x x0
x
2(x) 1(x) x0 f (,1( )) f (,0 ( ))d
x
L x0 1( ) 0( )d
x
n1(x) n (x) x0 f (,n ( )) f (,n1( ))d
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x x0
(

x0 )nd

MLn (x (n 1)!

x0 )n1,
于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有
f (t, y)dt
x0
(1.2)
dy dx

f (x,
y) , (1.1)
y(x0 ) y0
证明: 若y (x)为(1.1)的连续解,则
d ( x)

dx

f
(x,(x))
(x0 ) y0
对第一式从 x0到x取定积分得
x
(x) (x0 )
记
lim
n

n
(
x)


(
x),
x [x0 , x0 h].
证明: 考虑函数项级数

0 (x) (n (x) n1(x)), x [x0 , x0 h], (3.9) n1
它的前n项部分和为
n
Sn (x) 0 (x) (k (x) k1(x)) n (x), k 1
证明: 设g(x) (x) (x) ,
则g(x)是定义于[x0, x0 h]上非负连续函数 ,
)d (x) y0
x x0
f (, ( ))d
及f (x, y)的Lipschitz条件得
x
x
g(x) (x) (x) f (, ( ))d f (,( ))d
x0
x0
令u(x) L
x
g( )d,
x0
则u(x)是定义于[x0, x0 h]上连续可微函数 ,
且u(x0 ) 0,0 g(x) u(x), u' (x) Lg (x), 于是
u' (x) Lu(x), (u' (x) Lu(x))eLx 0,
0 g(x) u(x)
20 如果f (x, y)在R上关于y的偏导数f y (x, y)连续, 则f (x, y)在R上关于y满足Lipschitz条件.
f ( x, y1) f ( x, y2 ) f y ( x, y2 ( y1 y2 )) y1 y2
L y1 y2
(2) 定理中h min{a, b }的几何意义 M
x0 h x x0 h
(n 1,2, )
注 一般来说连续函数0 (x)可任取,但实际上为 方便, 往往取0 (x) y0的常数值.
命题2 对于所有n和x [x0 , x0 h],n (x)连续且满足
n (x) y0 b
(1.4)
证明:(用数学归纳法，只在正半区证明，另半区类似)
x0
x0
x
( f (, ( )) f (,( )))d x0
x
g(x) ( f ( , ( )) f ( , ( )))d x0
x
f (, ( )) f (,())d x0
x
x
L ( ) ( )d L g( )d
n (x) n1(x)

MLn1 n!
(x

x0 )n ,
x0 x x0 h,
(3.11)
从而当x0 x x0 h时,
n (x) n1(x)

MLn1 n!
(x

x0 )n
MLn1 hn , n!
由于正项级数 MLn1 hn收敛,
n1 n!
(x)在[x0, x0 h]上连续,且
(x) y0 b
命题4 (x)是积分方程 (3.5)定义于[x0, x0 h]上连续解.
证明: 由Lipschitz条件有
f (x,n (x)) f (x,(x)) Ln(x) (x)
以及{n (x)}在[x0, x0 h]的一致收敛性得 ,
f (x,(x))dx
x0
即(x) y0
x
f (x,(x))dx
x0
故y (x)为(1.2)的连续解。
反之 若y (x)为(1.2)的连续解,则有
x
(x) y0
f (t,(t))dt
x0
由于f (x, y)在D上连续, 从而f (t,(t))连续,
故对上式两边求导,得