灵活降次巧妙解题

( C ) P < Q ( D ) 难定
解 :显然 , 2 x - 1 = 所以 ( 2 x - 1 )
3
= 1997, 4 x
= 4 x + 1996, - 2000 x -
这时 4 x = 4 x + 1996 x = 2000 x + 1996, 原式
1997 ]
2003
= [ ( 2000 x + 1996 )
-
例 8 ( 2005 年“ 希望杯 ” 初二数学竞赛试 题 ) 已知 a 是整数 , x、 y 是方程 x - xy - ax +
ay + 1 = 0 的整数解 , 则 x - y =
2
6 ab, a - b = = 3,
2 ab,
或
1
6 ab 2 ab
解 :已知方程化为
( x - xy ) - ( ax - ay ) = - 1,
2
应选 (A ) 1 例 11 ( 2003 年武汉市初三数学竞赛试 200 300 题 ) 满足 ( x - 1 ) > 3 的 x 的最小正整数为 1 解 :已知不等式化为 2 100 3 100 [ ( x - 1) ] > (3 ) , 2 3 所以 ( x - 1 ) > 3 , 2 即有 ( x - 1 ) > 271 2 因为 x = 6 时 , ( x - 1 ) = 25 < 27, 2 x = 7 时 , ( x - 1 ) = 36 > 27, 所以 x 的最小正整数为 x = 71 (初二 、 初三 ) ・2 7 ・
数理化学习 (初中版 )
灵活降次 巧妙解题
江西省上高县学园路学校 ( 336400 ) 安义人 初中数学学习中 , 经常遇到一些次数较高 的数或式的运算有关的问题 1 考虑降次的思想 方法 , 可使解题简易 1 下面举例介绍几种常用 的降次途径 1 一、 代入降次 例 1 ( 2005 年“ 华罗庚杯 ” 初二数学竞赛 试题 ) 已知 x + x = 1, 那么 x + 2 x - x - 2 x
解之 , x = - 1 ± 31
2 当 x + y + 4 = 0时 , x + ( x + 3 x - 2 ) = 0,
解之 , x = - 2 ± 2, 所以 x1 = - 1 + 3, x2 = - 1 - 3, x3 = - 2
+ 2, x4 = - 2 -
21
被 x + 1 除时余 9, 则数对 ( a, b) = ( ) (A ) ( - 2, 3 ) (B ) ( 2, - 3 ) ( C ) ( - 3, 2 ) (D ) ( 3, - 2 ) 3 2 解 :设 x + ax + bx + 5被 x - 1 除时 , 商式 为 M , 被 x + 1 除时 , 商式为 N , 那么 3 2 x + ax + bx + 5 = ( x - 1 ) M + 7, 3 2 x + ax + bx + 5 = ( x + 1 ) N + 91 第一个等式中 , 取 x = 1; 第二个等式中 , 取 x = - 1, a + b + 6 = 7, 所以 a - b + 4 = 91 解之 , a = 3, b = - 21 所以 ( a, b) = ( 3, - 2 ) , 应选 (D ) 1 六、 开方降次 例 10 ( 2002 年全国初中数学竞赛试题 ) 已知 a < b < 0, a + b = 4 ab, 则
即有 x ( x - y ) - a ( x - y ) = - 1, 所以 ( x - y ) ( x - a ) = - 11 因为 a、 x、 y 都是整数 , 所以 x - y、 x - a 也是整数 1 从而 x - y = 1时 , x - a = - 1; x - y = - 1 时 , x - a = 1, 所以 x - y = 1 或 - 11 五、 取值降次 例 9 ( 2003 年“ 英才杯 ” 初中数学竞赛试 题 ) 多项式 x + ax + bx + 5被 x - 1除时余 7,
= y ( y + 7 ) + 10 = ( y + 2) ( y + 5) = ( x + x - 2) ( x + x + 1) = ( x - 1) ( x + 2) [ ( x + 1)
2 2 2 2 2 2 4 2 4 2
解 :由 x + x = 1, 得 x = 1 - x1
3 所以 x = x ( 1 - x ) = x - ( 1 - x ) = 2 x -
1,
x
4
= x ( 2 x - 1 ) = 2 ( 1 - x ) - x = 2 - 3 x1
- x ]
2
原式 = ( 2 - 3 x ) + 2 ( 2 x - 1 ) - ( 1 - x ) 2 x + 2005 = 20041
= ( x + 1) ( x - 1) ( x + 2) ( x + x +
3 (B )
6 ( C ) 2 (D ) 3
+ 3) - 2 ] = (1 + 3) - 2 3 - 2] =0
2000
×[ ( 4 + 2 3 ) - 2
解 :由 a < b < 0, 得 a + b < 0, a - b < 0 1 2 2 因为 a + b = 4 ab, 2 2 2 所以 ( a + b) = ( a + b ) + 2 ab = 6 ab, 2 2 2 ( a - b) = ( a + b ) - 2 ab = 2 ab1 从而 a + b = 原式 =
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2006 年第 9 期 2
解 :设 x + 3 x - 2 = y, 那么 x = y + 3 y - 21
= - 11 二、 约分降次 例 3 ( 2001年广西区初中数学竞赛试题 ) 化简
x + 2 xy + y x - 2 xy + y 1 2 2 2 2 x y + xy x y - xy
2 2 2 2
解 :设 2 = a, 那么 2003 2002 2 = 2 ×2 = 2 a, 2004 2 2002 2 =2 × 2 = 4 a1 a +1 2a + 1 因为 P = ,Q = , 2a + 1 4a + 1 a +1 2a + 1 所以 P - Q = 2a + 1 4a + 1
= a ( 2a + 1) ( 4a + 1)
2002
解 :原式 =
=
( x + y) ( x - y) xy ( x + y ) xy ( x - y ) x +y x - y xy xy
2
2
因为 a > 0, ( 2 a + 1 ) ( 4 a + 1 ) > 0, 所以 P - Q > 0, P > Q, 应选 (A ) 1 例 6 ( 2001年四川省初中数学竞赛试题 ) 2 2 2 解方程 x = ( x + 3 x - 2 ) + 3 ( x + 3 x - 2 ) -
2 1) ( x - x + 1)
例 2 ( 2003年辽宁省初中数学竞赛试题 ) 当 x =
1997 )
2003
1 +Βιβλιοθήκη 219973 时 , 求 ( 4 x - 2000 x -
的值 1
1997,
2 2 2
例 5 ( 2004年全国数学公开赛初一试题 ) 2002 2003 2 +1 2 +1 已知 P = 2003 , Q = 2004 , 则 P、 Q 的大小 2 +1 2 +1 关系是 ( ) ( A ) P > Q ( B ) P = Q
3 2
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( ) (A )
2 2
四、 分解降次 例 7 ( 2002年北京市初二数学竞赛试题 ) 计算 ( 1 + 3 )
3)
2000 2002
- 2 (1 +
3)
2001
- 2 (1 +
a +b 的值为 a - b
1
2000 2 解 : 原式 = ( 1 + 3 ) ×[ ( 1 + 3 ) - 2 ( 1
2 2 2 这时 ( x + 3 x - 2 ) - ( y + 3 y - 2 ) = y -
2
x,
所以 ( x - y ) ( x + y + 4 ) = 0, 从而 x - y = 0 或 x + y + 4 = 01
2 当 x - y = 0 时 , x - ( x + 3 x - 2 ) = 0,
+ 2005 =
2 2 4 3 2
=
2
x
1
2
三、 换元降次 例 4 ( 2000 年“ 五羊杯 ” 初三数学竞赛试 4 2 4 2 题 ) 分解因式 ( x + x - 4 ) ( x + x + 3 ) + 10 = 1 4 2 解 :设 x + x - 4 = y, 4 2 那么 x + x = y + 41 原式