第二章 线性系统的数学模型
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自动控制理论
第二章 线性系统的数学模型
方
安徽工业大学
炜
电气信息学院
本章的主要内容
1 线性系统的输入-输出时间函数描述 2 3 4 5 6 7 线性系统的输入-输出传递函数描述 非线性数学模型的线性化 典型环节的数学模型
建立数学模型的实验方法简介
框图及其化简方法
信号流程图
安徽工业大学电气信息学院
数学模型：
安徽工业大学电气信息学院
4.将结果标准化，即含输出量的项写在等 式左边，含输入量的项写在等式右边，且都按 微分的高阶到低阶排列。其形式为：
d a0 c(t ) a1 c(t ) an1 c(t ) an c(t ) n n 1 dt dt dt dm d m 1 d b0 r (t ) b1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dtm d t m 1
JLa d 2 Ra J d Ra M L Ce ua 2 Cm dt Cm dt Cm
电动机空载时，ML=0，则：
JLa d 2 Ra J d Ce ua 2 Cm dt Cm dt
这是一个线性定常二阶微分方程。
安徽工业大学电气信息学院
相似系统中的相似量 机械系统 电气系统 液力系统 热力系统
安徽工业大学电气信息学院
2-2
线性系统的输入—输出传递函数描述
dy 阻尼器阻力为 f dt
由牛顿运动定律，有
∴该系统微分方程为：
d d2 F Ky f ym 2 y dt dt d2 d F m 2 y f y Ky dt dt
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[例5] 图为直流他励电动机，试写出以电枢电压 ua 为输入量， 电动机旋转角速度 为输出量的微分方程。
duo iC dt
②
把②代入①，并进行整理得：
d 2uo duo LC 2 RC uo ui dt dt
这是一个线性定常二阶微分方程。
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[例4]：求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。 K为弹簧的弹性系数， f为阻尼器的阻尼系数，忽略小车 与地面的摩擦，试写出以外力F为输入，以位移y为输出 的系统微分方程。 [解]：画出小车受力图。 弹簧力为 Ky
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2-1 线性系统的输入—输出时间函数描述
线性系统微分方程的编写步骤： 1.确定系统或环节的输入量和输出量，选 取必要的中间变量。 2.从输入端开始，根据决定各变量之间相 互关系的物理、化学等定律，一一写出相关变 量的微分（或代数）方程式。 3.消去中间变量，写出只含有系统输入和 输出变量的微分方程。
这是一个线性定常一阶微分方程。
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[例2]：写出二阶RC网络的微分方程。 R1 i 2 R2 i1 解：(1)确定输入输出量
ur
uc
C1
u1
输入 输出
C2
uc
(2)列写微分方程
ur
(3)消去中间变量
1 ur R1 i 1 ( i1 i 2 )dt C1 1 1 ( i i ) dt R i i 2 dt 1 2 2 2 C1 C2
Ra ua ia
La ea
M
if + - M L
解：电枢回路方程为
J
d La ia Raia ea ua dt
当外加额定励磁时，有：
反电势 ea Ce
电磁力矩 M Cm ia
其中Ce称为电动机电势常数， Cm称为电动机转矩系数。
电动机的运动方程式：
d M ML J dt
其中R1C1=T1， R2C2=T2， R1C2=T3 。
这是一个线性定常二阶微分方程。
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[例3]：写出RLC串联电路的微分方程。
L
R
解：(1)确定输入输出量
C
ui
uo
i
uo
ui
输入 输出
(2)列写微分方程 di 1 L Ri idt ui ① dt C
(3)消去中间变量
duc i2 C 2 并进行整理得： dt 22 dd uc duc d T T T u c R1 RTT C C u ( R C R C R C ) uu 1 1 12 r uc ur 2 1 12 2 232 1 2 c 2 c 2 dt dt dt dt
力F（力矩T）
速度v 阻尼系数f 弹性系数K
电压u
电流i 电阻R 电容C
水位H
流量Q 液阻R
温度θ
热流量h 热阻R 热容C
质量m（转动惯量J） 电感L
液容C (截面积 A)
安徽工业大学电气信息学院
微分方程是描述线性系统的一种基本的 数学模型，在确定的初始条件和输入信号作 用下，通过对微分方程的求解，便可得到系 统的输出响应，从而分析评价系统的性能， 研究系统参数的变化对性能的影响。 但是高阶微分方程的求解是比较困难的， 而且分析系统的结构参数对性能的影响也十分 不便。所以对系统进行分析和设计时，通常采 用另外一种数学模型——传递函数。
描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间相互关系的数学表达式。
有了数学模型，就可以应用一定的数学方 法对系统的性能进行定性分析和定量计算，乃 至对系统进行综合和校正。
对线性定常系统，微分方程是最基本的数 学模型，最常用的数学模型是在此基础上转换 来的传递函数和动态结构图。 建立数学模型的方法有机理分析法和实验 辨识法两种。
ML为电动机轴上的反向力矩（包括负载、摩擦等） J为电动机整个旋转部分的总转动惯量。
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d La i a Ra i a ea ua dt ea Ce
M C m ia
d dt 以上各式联立，消去中间变量 i a 、ea 及 M ，即可得到： M ML J
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n d
n 1 d
[例1]：写出图示一阶RC电路的微分方程。 i
R C
解：(1)确定输入输出量和中间变量
ur
uc
uc
ur
输入
(2)列写微分方程 1 u r R i id t C① ② Nhomakorabea输出
duc iC dt
(3)消去中间变量
把②代入①，并进行整理得：
duc RC uc u r dt
第二章 线性系统的数学模型
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1 线性系统的输入-输出时间函数描述 2 3 4 5 6 7 线性系统的输入-输出传递函数描述 非线性数学模型的线性化 典型环节的数学模型
建立数学模型的实验方法简介
框图及其化简方法
信号流程图
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数学模型：
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4.将结果标准化，即含输出量的项写在等 式左边，含输入量的项写在等式右边，且都按 微分的高阶到低阶排列。其形式为：
d a0 c(t ) a1 c(t ) an1 c(t ) an c(t ) n n 1 dt dt dt dm d m 1 d b0 r (t ) b1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dtm d t m 1
JLa d 2 Ra J d Ra M L Ce ua 2 Cm dt Cm dt Cm
电动机空载时，ML=0，则：
JLa d 2 Ra J d Ce ua 2 Cm dt Cm dt
这是一个线性定常二阶微分方程。
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相似系统中的相似量 机械系统 电气系统 液力系统 热力系统
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2-2
线性系统的输入—输出传递函数描述
dy 阻尼器阻力为 f dt
由牛顿运动定律，有
∴该系统微分方程为：
d d2 F Ky f ym 2 y dt dt d2 d F m 2 y f y Ky dt dt
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[例5] 图为直流他励电动机，试写出以电枢电压 ua 为输入量， 电动机旋转角速度 为输出量的微分方程。
duo iC dt
②
把②代入①，并进行整理得：
d 2uo duo LC 2 RC uo ui dt dt
这是一个线性定常二阶微分方程。
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[例4]：求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。 K为弹簧的弹性系数， f为阻尼器的阻尼系数，忽略小车 与地面的摩擦，试写出以外力F为输入，以位移y为输出 的系统微分方程。 [解]：画出小车受力图。 弹簧力为 Ky
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2-1 线性系统的输入—输出时间函数描述
线性系统微分方程的编写步骤： 1.确定系统或环节的输入量和输出量，选 取必要的中间变量。 2.从输入端开始，根据决定各变量之间相 互关系的物理、化学等定律，一一写出相关变 量的微分（或代数）方程式。 3.消去中间变量，写出只含有系统输入和 输出变量的微分方程。
这是一个线性定常一阶微分方程。
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[例2]：写出二阶RC网络的微分方程。 R1 i 2 R2 i1 解：(1)确定输入输出量
ur
uc
C1
u1
输入 输出
C2
uc
(2)列写微分方程
ur
(3)消去中间变量
1 ur R1 i 1 ( i1 i 2 )dt C1 1 1 ( i i ) dt R i i 2 dt 1 2 2 2 C1 C2
Ra ua ia
La ea
M
if + - M L
解：电枢回路方程为
J
d La ia Raia ea ua dt
当外加额定励磁时，有：
反电势 ea Ce
电磁力矩 M Cm ia
其中Ce称为电动机电势常数， Cm称为电动机转矩系数。
电动机的运动方程式：
d M ML J dt
其中R1C1=T1， R2C2=T2， R1C2=T3 。
这是一个线性定常二阶微分方程。
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[例3]：写出RLC串联电路的微分方程。
L
R
解：(1)确定输入输出量
C
ui
uo
i
uo
ui
输入 输出
(2)列写微分方程 di 1 L Ri idt ui ① dt C
(3)消去中间变量
duc i2 C 2 并进行整理得： dt 22 dd uc duc d T T T u c R1 RTT C C u ( R C R C R C ) uu 1 1 12 r uc ur 2 1 12 2 232 1 2 c 2 c 2 dt dt dt dt
力F（力矩T）
速度v 阻尼系数f 弹性系数K
电压u
电流i 电阻R 电容C
水位H
流量Q 液阻R
温度θ
热流量h 热阻R 热容C
质量m（转动惯量J） 电感L
液容C (截面积 A)
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微分方程是描述线性系统的一种基本的 数学模型，在确定的初始条件和输入信号作 用下，通过对微分方程的求解，便可得到系 统的输出响应，从而分析评价系统的性能， 研究系统参数的变化对性能的影响。 但是高阶微分方程的求解是比较困难的， 而且分析系统的结构参数对性能的影响也十分 不便。所以对系统进行分析和设计时，通常采 用另外一种数学模型——传递函数。
描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间相互关系的数学表达式。
有了数学模型，就可以应用一定的数学方 法对系统的性能进行定性分析和定量计算，乃 至对系统进行综合和校正。
对线性定常系统，微分方程是最基本的数 学模型，最常用的数学模型是在此基础上转换 来的传递函数和动态结构图。 建立数学模型的方法有机理分析法和实验 辨识法两种。
ML为电动机轴上的反向力矩（包括负载、摩擦等） J为电动机整个旋转部分的总转动惯量。
安徽工业大学电气信息学院
d La i a Ra i a ea ua dt ea Ce
M C m ia
d dt 以上各式联立，消去中间变量 i a 、ea 及 M ，即可得到： M ML J
安徽工业大学电气信息学院
n d
n 1 d
[例1]：写出图示一阶RC电路的微分方程。 i
R C
解：(1)确定输入输出量和中间变量
ur
uc
uc
ur
输入
(2)列写微分方程 1 u r R i id t C① ② Nhomakorabea输出
duc iC dt
(3)消去中间变量
把②代入①，并进行整理得：
duc RC uc u r dt