第二章 线性系统的数学模型

duc i2 C 2 并进行整理得： dt 22 dd uc duc d T T T u c R1 RTT C C u ( R C R C R C ) uu 1 1 12 r uc ur 2 1 12 2 232 1 2 c 2 c 2 dt dt dt dt
这是一个线性定常一阶微分方程。
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[例2]：写出二阶RC网络的微分方程。 R1 i 2 R2 i1 解：(1)确定输入输出量
ur
uc
C1
u1
输入 输出
C2
uc
(2)列写微分方程
ur
(3)消去中间变量
1 ur R1 i 1 ( i1 i 2 )dt C1 1 1 ( i i ) dt R i i 2 dt 1 2 2 2 C1 C2
其中R1C1=T1， R2C2=T2， R1C2=T3 。
这是一个线性定常二阶微分方程。
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[例3]：写出RLC串联电路的微分方程。
L
R
解：(1)确定输入输出量
C
ui
uo
i
uo
ui
输入 输出
(2)列写微分方程 di 1 L Ri idt ui ① dt C
(3)消去中间变量
ML为电动机轴上的反向力矩Βιβλιοθήκη Baidu包括负载、摩擦等） J为电动机整个旋转部分的总转动惯量。
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d La i a Ra i a ea ua dt ea Ce
M C m ia
d dt 以上各式联立，消去中间变量 i a 、ea 及 M ，即可得到： M ML J
duo iC dt
②
把②代入①，并进行整理得：
d 2uo duo LC 2 RC uo ui dt dt
这是一个线性定常二阶微分方程。
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[例4]：求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。 K为弹簧的弹性系数， f为阻尼器的阻尼系数，忽略小车 与地面的摩擦，试写出以外力F为输入，以位移y为输出 的系统微分方程。 [解]：画出小车受力图。 弹簧力为 Ky
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4.将结果标准化，即含输出量的项写在等 式左边，含输入量的项写在等式右边，且都按 微分的高阶到低阶排列。其形式为：
d a0 c(t ) a1 c(t ) an1 c(t ) an c(t ) n n 1 dt dt dt dm d m 1 d b0 r (t ) b1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dtm d t m 1
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2-1 线性系统的输入—输出时间函数描述
线性系统微分方程的编写步骤： 1.确定系统或环节的输入量和输出量，选 取必要的中间变量。 2.从输入端开始，根据决定各变量之间相 互关系的物理、化学等定律，一一写出相关变 量的微分（或代数）方程式。 3.消去中间变量，写出只含有系统输入和 输出变量的微分方程。
dy 阻尼器阻力为 f dt
由牛顿运动定律，有
∴该系统微分方程为：
d d2 F Ky f ym 2 y dt dt d2 d F m 2 y f y Ky dt dt
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[例5] 图为直流他励电动机，试写出以电枢电压 ua 为输入量， 电动机旋转角速度 为输出量的微分方程。
Ra ua ia
La ea
M
if + - M L
解：电枢回路方程为

J
d La ia Raia ea ua dt
当外加额定励磁时，有：
反电势 ea Ce
电磁力矩 M Cm ia
其中Ce称为电动机电势常数， Cm称为电动机转矩系数。
电动机的运动方程式：
d M ML J dt
力F（力矩T）
速度v 阻尼系数f 弹性系数K
电压u
电流i 电阻R 电容C
水位H
流量Q 液阻R
温度θ
热流量h 热阻R 热容C
质量m（转动惯量J） 电感L
液容C (截面积 A)
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微分方程是描述线性系统的一种基本的 数学模型，在确定的初始条件和输入信号作 用下，通过对微分方程的求解，便可得到系 统的输出响应，从而分析评价系统的性能， 研究系统参数的变化对性能的影响。 但是高阶微分方程的求解是比较困难的， 而且分析系统的结构参数对性能的影响也十分 不便。所以对系统进行分析和设计时，通常采 用另外一种数学模型——传递函数。
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n d
n 1 d
[例1]：写出图示一阶RC电路的微分方程。 i
R C
解：(1)确定输入输出量和中间变量
ur
uc
uc
ur
输入
(2)列写微分方程 1 u r R i id t C
① ②
输出
duc iC dt
(3)消去中间变量
把②代入①，并进行整理得：
duc RC uc u r dt
JLa d 2 Ra J d Ra M L Ce ua 2 Cm dt Cm dt Cm
电动机空载时，ML=0，则：
JLa d 2 Ra J d Ce ua 2 Cm dt Cm dt
这是一个线性定常二阶微分方程。
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相似系统中的相似量 机械系统 电气系统 液力系统 热力系统
自动控制理论
第二章 线性系统的数学模型
方
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炜
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本章的主要内容
1 线性系统的输入-输出时间函数描述 2 3 4 5 6 7 线性系统的输入-输出传递函数描述 非线性数学模型的线性化 典型环节的数学模型
建立数学模型的实验方法简介
框图及其化简方法
信号流程图
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数学模型：
描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间相互关系的数学表达式。
有了数学模型，就可以应用一定的数学方 法对系统的性能进行定性分析和定量计算，乃 至对系统进行综合和校正。
对线性定常系统，微分方程是最基本的数 学模型，最常用的数学模型是在此基础上转换 来的传递函数和动态结构图。 建立数学模型的方法有机理分析法和实验 辨识法两种。
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2-2
线性系统的输入—输出传递函数描述