第6章 混凝土在复杂应力下的本构关系
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（1）以弹性模型为基础的线弹性和非弹性的本构关系； （2）以经典塑性理论为基础的理想弹塑性和弹塑性硬化本构模型； （3）采用断裂理论和塑性理论组合的塑性断裂理论，并考虑用应变空间建立 的本构模型； （4）基于不可逆热力学的混凝土本构模型，包括以粘性材料的本构关系发展 起来的内时理论描述的混凝土本构模型和采用用损伤理论和用弹塑性损伤断 裂混合建立的本构模型等。
对照应力空间的加载函数，我们假定加载函数 F 具有下列形式：
( ) F
ε
ij
,
ε
p ij
,
Λ
=0
式中εij
为当前应变张量；ε
p ij
为塑性应变张量；Λ为表示加载历史的参数，它
可以是塑性功 Wp 或累积塑性应变εp。只有当应变状态位于该面上时才可能有
应力松弛，并伴随着塑性变形的发生，用已知的加载函数 F，可给出如下的
dσ ij
>0
卸载 加载
( ) f σ ij
=0
且
∂f ∂σ ij
dσ ij
=0
中性加载
( ) f σ ij
=0
且
∂f ∂σ ij
dσ ij
<
0
式中∂ƒ/∂σij=nijf 为梯度矢量。
卸载
(a) 单轴情况
(b) 多轴情况
理想弹塑性材料的加卸载准则
(a) 单轴情况
(b) 多轴情况
弹塑性强化材料的加卸载准则
对于金属来说，其屈服应力可以通过试验来确定。但是对于混凝土材料， 其屈服应力是一个假定值，只用于数学形式的本构关系。因此，为简化起见， 一些早期的塑性模型假定初始屈服面与破坏面有相似的形状，但尺寸较小。 如图所示。
3
(a) 子午线平面和范围
(b) 偏平面
Chen-Chen 模型的破坏面与初始屈服面（均匀强化）
破坏曲线和初始开裂曲线（Launy et al.）
非均匀强化的屈服面的构造
非均匀强化模型
但是这种简化存在两个问题，一是在静水压力下塑性体积的变化不能通 过屈服面得到，因为它沿静水压力方向是张开的；二是由这样定义的屈服面 和破坏面之间的强化区不能模拟混凝土的特性。
目前，关于混凝土初始屈服面的文献很少，如图所示。图中的弹性极限 曲线被认为是混凝土初始屈服曲线的定性描述，它是闭合的，在高应力下， 塑性可能更大，逐渐从闭合转向张开，似乎符合混凝土材料的特性。
该模型忽略了由于变形引起的各向异性的影响，所以该模型只有在变形不 大时以及应力偏量之间的相互比例改变不大时，才能使用。它不包括包兴格 效应。
(a) 等向强化
(b) 随动强化 强化准则
(c) 混合强化
（2）随动强化 随动强化准则假设在塑性变形的发展过程中，加载面在应力空间作刚体移
动而没有转动，初始屈服面的大小、形状和方向仍然保持不变。 随动强化材料的屈服面一般表示为：
二、强化准则、加载卸载准则、流动法则、Drucker 公设和 Il’yushin 公设 1。强化准则
在加载过程中，屈服面不断改变（扩大或缩小）它的形状以使应力点总 是位于它上面，这里涉及到加载面如何发展的问题，这个控制加载面发展的 规则被称为强化准则。
根据后继屈服面与初始屈服面在超空间的相对变化位置以及屈服面大小 变化，强化准则可大体划分为三种简单形式： （1）均匀强化（或等向强化和各向同性强化）
钢筋混凝土结构非线性分析
讲义
哈尔滨工业大学土木工程学院
何 政
2003 年 10 月 24 日
2003-10-29 BD201 周三：3-4 节 10:00-11:45 a.m. 2003-11-05 BD201 周三：3-4 节 10:00-11:45 a.m.
第六章 混凝土在复杂应力下的本构关系
§6.1 概述
一、混凝土本构关系的重要性和复杂性 混凝土的本构是指混凝土在各种应力状态下的应力应变关系，是钢筋混凝
土结构构件的非线性有限元分析的重要基础，也是核心。在混凝土结构的数 值分析中，必须考虑混凝土结构组成材料的力学性能。其中，混凝土本构关 系的模型对钢筋混凝土结构的非线性分析有重要影响。
即便在简单受力状态，混凝土的单轴本构关系仍因材性的复杂和离散而有 较大的变化。显然，混凝土在多轴应力状态下的应力应变关系更为复杂，在 3 个方向的主应力共同作用下，混凝土各方向的正应变和横向效应互相约束和 牵制；多轴抗压强度的成倍增长和多轴拉、压强度的大幅度降低，扩大了应 力值的范围，改变了混凝土各部分变形成分的比例和作用；内部微裂缝的形 状、方向和数量，以及它们的形成和发展都与三个方向主应力密切相关。
根据材料是初始各向同性的假定，屈服条件应与坐标轴方向的选取无关， 因此屈服曲面的函数又可写成应力偏量不变量的函数。
Han & Chen 提出的非均匀强化塑性模型
2。初始屈服面、后继屈服面以及与破坏曲面之间的关系 对于强化（或软化）材料，在一定的应力状态下，首先进入初始状态的屈
服面，即初始屈服面；随着塑性变形的增加，进入相应强化阶段（或软化） 的屈服面，即后继屈服面，又称加载面，最后达到破坏，如图所示。
根据材料本身的不同力学特性，加卸载可区分为如下三大类：
（1）理想弹塑性材料
( ) f σ ij < 0
弹性状态
( ) f σ ij
=0
且
dF
=
∂f ∂σ ij
dσ ij
=
0
加载或中性变载
( ) f σ ij
=0
且
dF
=
∂f ∂σ ij
dσ ij
<
0
（2）弹塑性强化材料
( ) f σ ij
=0
且
∂f ∂σ ij
等向强化模型假定后继屈服面的形态与中心初始屈服面相同，后继屈服 面的大小则随着强化程度的增加而作均匀的扩大，没有畸变和移动，如图所 示。
4
均匀强化材料的屈服面数学表达式可写为如下形式：
( ) ( ) f σ ij ,κ = f0 σ ij − k (κ ) = 0
式中 k(κ)是一个强化函数，用来确定屈服面的大小，κ为一个强化参数，它的 数值表征了材料的塑性加载历史。
该强化模型计算复杂；混凝土初始强化几乎完全各向同性膨胀，但随着塑 性应变的增加，强化性质更趋近于随动强化。
2。加卸载准则 材料达到屈服状态后，继续加载和卸载的应力应变关系不同。在复杂状态
5
下，6 个应力分量(对于主应力为 3 个)可增可减，而又不同时增减，如何判断 是加载还是卸载，必须建立一定的判别公式，此公式即称为加卸载准则。
因此，混凝土的多轴压、拉应变值差别更大，应力－应变曲线的形状变化 和离散也更大。使得建立一个准确、合理的混凝土多轴本构关系具有较大的 难度。
二、目前混凝土本构的种类 为了在结构设计计算和有限元分析中引入混凝土的本构关系，各国学者经
过多年试验和理论研究，提出了多种多样的本构模型，不同类别的混凝土本 构的理论基础。观点和方法迥异，表达形式和繁简程度相差很大，计算结果 和适用范围各有区别。根据力学理论基础的不同，目前，混凝土的本构模型 大致可分为如下几类：
3。屈服曲面的特点及与破坏面之间的关系 一般来说，屈服曲面不等于破坏曲面。在工程上，有时将屈服面也称为破
坏面，这是由于工程上不允许存在很大的塑性变形，因而将屈服曲面定义为 破坏曲面；有些材料，如岩石、混凝土等没有明显的屈服点，但破坏点却很 明显。此外，在高静水压力下 ，许多脆性材料会发生相当的塑性变形 ，也会 发生屈服。因而在应力空间，屈服面在静水压力方向应该是闭合的，而破坏 面往往是开口的。理论分析和实验结果表明：屈服面具有连续、光滑、封闭 和外凸的特征。对于各向同性材料，则在π 平面上的投影应该是对应力主轴的 三对称。
性位势等势面 g 存在。于是，把流动准则规定如下：
7
dε
p ij
=
dλ
∂g ∂σ ij
式中 dλ为整个塑性加载历史的非负标量函数，梯度矢量∂g/∂σ规定了塑性应变
增量矢量
Leabharlann Baidu
dε
p ij
的方向，即势能面
g=0
在当前应力点的法线方向，表示塑性变
形方向与塑性等势面正交，故流动准则又称正交条件。dε
p ij
（3）混合强化 如果将随动强化和等向强化准则结合起来，就得到一个更能揭示材料塑性
强化一般规律的强化准则，被称为混合强化准则。在这种情况下，加载曲面 既有均匀膨胀又有平移，但形状保持不变。该强化准则可按下式描述：
( ) ( ) f σ ij,α ij ,κ = f0 σ ij ,αij − k(κ ) = 0
一、屈服条件、屈服函数和屈服曲面 1。定义
在复杂应力状态下的初始弹性状态的界限称为屈服条件。一般来说它可以 是应力、应变、时间和温度等的函数，即屈服函数，它可以写成φ(σij, εij, t, T)=0。 如不考虑时间效应及温度的影响，时间 t 及温度 T 对塑性状态没有什么影响， 在φ中将不包含 t 和 T。
Drucker 公设中的应力循环
Il’yushin 设中的应变循环
8
∫ ( ) t2
A=
σ ij
−
σ
0 ij
ε&ipj dt
≥
0
t1
据此推导出加载曲面形状必须外凸的结论和塑性应变增量与屈服函数的
当材料在初始屈服之前是处于弹性状态的，应力和应变之间有一一对应关 系，可将φ中的应变用应力来表述。这样屈服条件就仅仅是应力分量的函数了， 即 F(σij)=0。如果我们以应力的六个分量作坐标轴，则在六维空间中，方程 F(σij)=0 表示一个包围原点的超曲面，称为屈服曲面。当应力点位于此面内时 (F(σij)<0)，材料处于弹性状态。当 F(σij)=0 时，则材料开始屈服。
的大小或长度由
dλ确定。
若塑性势能面 g 与屈服面取相同的函数，即 g=f，则称流动准则与屈服条
件相关联（又称相关流动准则），上式则变为：
dε
p ij
=
dλ
∂f ∂σ ij
此时，塑性应变
dε
p ij
沿当前加载面的法线方向发生。
若 g≠f，则流动准则与屈服条件不相关联（又称非相关流动准则）。
对于混凝土、岩石这一类材料来说，应适用于非关联流动法则。但定义塑
在这些类本构模型中，有些是以成熟的力学体系，如弹性力学或塑性理论 等的观点和方法为基础，移植于混凝土；有些则是借鉴新兴的力学分支，如 粘弹－塑性理论、内时理论、断裂力学、损伤力学等概念，结合混凝土材料 的特点推演而得；还有些是以混凝土多轴试验的结论和数据为依据，进行概 括和回归后得到。
2
§6.2 预备知识
须定义出塑性应变增量矢量
dε
p ij
的方向和大小，即确定各分量的比率和各自
相应于应力增量 dσij 的大小。
引入流动准则概念的目的就是为了定义
dε
p ij
的各分量比率或应变增量矢
量的方向，矢量的大小由一致性条件来确定。
Mises 在类比了弹性应变增量可以用弹性位势函数对应力微分的表达式，
提出了塑性位势函数 g 的概念，它他认为经过应力空间任何一点 M，必有塑
6
（3）软化材料
对于软化材料，在材料处于软化塑性状态时，加载后屈服面会收缩，应力
增量也指向屈服面内侧，和卸载很难区别。所以应该用应变空间描述其示屈
服条件。采用应变空间描述时，需要定义应变空间中的加载面（即松弛面），
使得瞬时应变状态总是位于面的内部或面上，并且只有当应变位于该面上而
应变增量指向加载面外时才会发生应力松弛，这个面将产生平移或转动。
( ) ( ) f σ ij,α ij = f 0 σij − α ij − k = 0
式中 k 为一个常数，αij 为屈服中心移动张量，它给出加载面中心的坐标，它 是变化的，它与塑性变形和加载有关。
该准则能够较好地描述钢筋的 Bauschinger 效应，即在经受塑性变形的方 向上，屈服面有所增大，而在塑性变形的反方向，屈服面则降低了。这对于 材料处于反复加载或循环加载的情况下，可能出现的方向屈服的问题 ，还是 比较符合实际的。
性势能函数 g 不是一件容易的事，且大大增大计算的复杂程度，所以相关联
的流动法则还是广泛应用于实际的结构分析中。
4。Drucker 公设和 Il’yushin 公设 （1）Drucker 稳定性公设
设在外力作用下处于平衡状态的材料单元体上，施加某种附加外力，使单 元体的应力加载，然后移去附加外力，使单元体的应力卸载到原来的应力状 态。于是，在施加应力增量(加载)的过程中，以及在施加和卸去应力增量的循 环过程中，附加外力所作的功不为负，如下图所示。
加卸载准则：
F =0
且
∂F ∂ε ij
dε ij
>
0
加载，dσijp≠0
F =0
且
∂F ∂ε ij
dε ij
=
0
中性变载，dσijp=0
F =0
且
∂F ∂ε ij
dε ij
<0
卸载，dσijp=0
(a) 应力空间描述
(b) 应变空间描述
定义在应力空间和应变空间的加载面
3。流动准则
在加载过程中会产生塑性应变，为描述弹塑性变形的应力－应变关系，必
对照应力空间的加载函数，我们假定加载函数 F 具有下列形式：
( ) F
ε
ij
,
ε
p ij
,
Λ
=0
式中εij
为当前应变张量；ε
p ij
为塑性应变张量；Λ为表示加载历史的参数，它
可以是塑性功 Wp 或累积塑性应变εp。只有当应变状态位于该面上时才可能有
应力松弛，并伴随着塑性变形的发生，用已知的加载函数 F，可给出如下的
dσ ij
>0
卸载 加载
( ) f σ ij
=0
且
∂f ∂σ ij
dσ ij
=0
中性加载
( ) f σ ij
=0
且
∂f ∂σ ij
dσ ij
<
0
式中∂ƒ/∂σij=nijf 为梯度矢量。
卸载
(a) 单轴情况
(b) 多轴情况
理想弹塑性材料的加卸载准则
(a) 单轴情况
(b) 多轴情况
弹塑性强化材料的加卸载准则
对于金属来说，其屈服应力可以通过试验来确定。但是对于混凝土材料， 其屈服应力是一个假定值，只用于数学形式的本构关系。因此，为简化起见， 一些早期的塑性模型假定初始屈服面与破坏面有相似的形状，但尺寸较小。 如图所示。
3
(a) 子午线平面和范围
(b) 偏平面
Chen-Chen 模型的破坏面与初始屈服面（均匀强化）
破坏曲线和初始开裂曲线（Launy et al.）
非均匀强化的屈服面的构造
非均匀强化模型
但是这种简化存在两个问题，一是在静水压力下塑性体积的变化不能通 过屈服面得到，因为它沿静水压力方向是张开的；二是由这样定义的屈服面 和破坏面之间的强化区不能模拟混凝土的特性。
目前，关于混凝土初始屈服面的文献很少，如图所示。图中的弹性极限 曲线被认为是混凝土初始屈服曲线的定性描述，它是闭合的，在高应力下， 塑性可能更大，逐渐从闭合转向张开，似乎符合混凝土材料的特性。
该模型忽略了由于变形引起的各向异性的影响，所以该模型只有在变形不 大时以及应力偏量之间的相互比例改变不大时，才能使用。它不包括包兴格 效应。
(a) 等向强化
(b) 随动强化 强化准则
(c) 混合强化
（2）随动强化 随动强化准则假设在塑性变形的发展过程中，加载面在应力空间作刚体移
动而没有转动，初始屈服面的大小、形状和方向仍然保持不变。 随动强化材料的屈服面一般表示为：
二、强化准则、加载卸载准则、流动法则、Drucker 公设和 Il’yushin 公设 1。强化准则
在加载过程中，屈服面不断改变（扩大或缩小）它的形状以使应力点总 是位于它上面，这里涉及到加载面如何发展的问题，这个控制加载面发展的 规则被称为强化准则。
根据后继屈服面与初始屈服面在超空间的相对变化位置以及屈服面大小 变化，强化准则可大体划分为三种简单形式： （1）均匀强化（或等向强化和各向同性强化）
钢筋混凝土结构非线性分析
讲义
哈尔滨工业大学土木工程学院
何 政
2003 年 10 月 24 日
2003-10-29 BD201 周三：3-4 节 10:00-11:45 a.m. 2003-11-05 BD201 周三：3-4 节 10:00-11:45 a.m.
第六章 混凝土在复杂应力下的本构关系
§6.1 概述
一、混凝土本构关系的重要性和复杂性 混凝土的本构是指混凝土在各种应力状态下的应力应变关系，是钢筋混凝
土结构构件的非线性有限元分析的重要基础，也是核心。在混凝土结构的数 值分析中，必须考虑混凝土结构组成材料的力学性能。其中，混凝土本构关 系的模型对钢筋混凝土结构的非线性分析有重要影响。
即便在简单受力状态，混凝土的单轴本构关系仍因材性的复杂和离散而有 较大的变化。显然，混凝土在多轴应力状态下的应力应变关系更为复杂，在 3 个方向的主应力共同作用下，混凝土各方向的正应变和横向效应互相约束和 牵制；多轴抗压强度的成倍增长和多轴拉、压强度的大幅度降低，扩大了应 力值的范围，改变了混凝土各部分变形成分的比例和作用；内部微裂缝的形 状、方向和数量，以及它们的形成和发展都与三个方向主应力密切相关。
根据材料是初始各向同性的假定，屈服条件应与坐标轴方向的选取无关， 因此屈服曲面的函数又可写成应力偏量不变量的函数。
Han & Chen 提出的非均匀强化塑性模型
2。初始屈服面、后继屈服面以及与破坏曲面之间的关系 对于强化（或软化）材料，在一定的应力状态下，首先进入初始状态的屈
服面，即初始屈服面；随着塑性变形的增加，进入相应强化阶段（或软化） 的屈服面，即后继屈服面，又称加载面，最后达到破坏，如图所示。
根据材料本身的不同力学特性，加卸载可区分为如下三大类：
（1）理想弹塑性材料
( ) f σ ij < 0
弹性状态
( ) f σ ij
=0
且
dF
=
∂f ∂σ ij
dσ ij
=
0
加载或中性变载
( ) f σ ij
=0
且
dF
=
∂f ∂σ ij
dσ ij
<
0
（2）弹塑性强化材料
( ) f σ ij
=0
且
∂f ∂σ ij
等向强化模型假定后继屈服面的形态与中心初始屈服面相同，后继屈服 面的大小则随着强化程度的增加而作均匀的扩大，没有畸变和移动，如图所 示。
4
均匀强化材料的屈服面数学表达式可写为如下形式：
( ) ( ) f σ ij ,κ = f0 σ ij − k (κ ) = 0
式中 k(κ)是一个强化函数，用来确定屈服面的大小，κ为一个强化参数，它的 数值表征了材料的塑性加载历史。
该强化模型计算复杂；混凝土初始强化几乎完全各向同性膨胀，但随着塑 性应变的增加，强化性质更趋近于随动强化。
2。加卸载准则 材料达到屈服状态后，继续加载和卸载的应力应变关系不同。在复杂状态
5
下，6 个应力分量(对于主应力为 3 个)可增可减，而又不同时增减，如何判断 是加载还是卸载，必须建立一定的判别公式，此公式即称为加卸载准则。
因此，混凝土的多轴压、拉应变值差别更大，应力－应变曲线的形状变化 和离散也更大。使得建立一个准确、合理的混凝土多轴本构关系具有较大的 难度。
二、目前混凝土本构的种类 为了在结构设计计算和有限元分析中引入混凝土的本构关系，各国学者经
过多年试验和理论研究，提出了多种多样的本构模型，不同类别的混凝土本 构的理论基础。观点和方法迥异，表达形式和繁简程度相差很大，计算结果 和适用范围各有区别。根据力学理论基础的不同，目前，混凝土的本构模型 大致可分为如下几类：
3。屈服曲面的特点及与破坏面之间的关系 一般来说，屈服曲面不等于破坏曲面。在工程上，有时将屈服面也称为破
坏面，这是由于工程上不允许存在很大的塑性变形，因而将屈服曲面定义为 破坏曲面；有些材料，如岩石、混凝土等没有明显的屈服点，但破坏点却很 明显。此外，在高静水压力下 ，许多脆性材料会发生相当的塑性变形 ，也会 发生屈服。因而在应力空间，屈服面在静水压力方向应该是闭合的，而破坏 面往往是开口的。理论分析和实验结果表明：屈服面具有连续、光滑、封闭 和外凸的特征。对于各向同性材料，则在π 平面上的投影应该是对应力主轴的 三对称。
性位势等势面 g 存在。于是，把流动准则规定如下：
7
dε
p ij
=
dλ
∂g ∂σ ij
式中 dλ为整个塑性加载历史的非负标量函数，梯度矢量∂g/∂σ规定了塑性应变
增量矢量
Leabharlann Baidu
dε
p ij
的方向，即势能面
g=0
在当前应力点的法线方向，表示塑性变
形方向与塑性等势面正交，故流动准则又称正交条件。dε
p ij
（3）混合强化 如果将随动强化和等向强化准则结合起来，就得到一个更能揭示材料塑性
强化一般规律的强化准则，被称为混合强化准则。在这种情况下，加载曲面 既有均匀膨胀又有平移，但形状保持不变。该强化准则可按下式描述：
( ) ( ) f σ ij,α ij ,κ = f0 σ ij ,αij − k(κ ) = 0
一、屈服条件、屈服函数和屈服曲面 1。定义
在复杂应力状态下的初始弹性状态的界限称为屈服条件。一般来说它可以 是应力、应变、时间和温度等的函数，即屈服函数，它可以写成φ(σij, εij, t, T)=0。 如不考虑时间效应及温度的影响，时间 t 及温度 T 对塑性状态没有什么影响， 在φ中将不包含 t 和 T。
Drucker 公设中的应力循环
Il’yushin 设中的应变循环
8
∫ ( ) t2
A=
σ ij
−
σ
0 ij
ε&ipj dt
≥
0
t1
据此推导出加载曲面形状必须外凸的结论和塑性应变增量与屈服函数的
当材料在初始屈服之前是处于弹性状态的，应力和应变之间有一一对应关 系，可将φ中的应变用应力来表述。这样屈服条件就仅仅是应力分量的函数了， 即 F(σij)=0。如果我们以应力的六个分量作坐标轴，则在六维空间中，方程 F(σij)=0 表示一个包围原点的超曲面，称为屈服曲面。当应力点位于此面内时 (F(σij)<0)，材料处于弹性状态。当 F(σij)=0 时，则材料开始屈服。
的大小或长度由
dλ确定。
若塑性势能面 g 与屈服面取相同的函数，即 g=f，则称流动准则与屈服条
件相关联（又称相关流动准则），上式则变为：
dε
p ij
=
dλ
∂f ∂σ ij
此时，塑性应变
dε
p ij
沿当前加载面的法线方向发生。
若 g≠f，则流动准则与屈服条件不相关联（又称非相关流动准则）。
对于混凝土、岩石这一类材料来说，应适用于非关联流动法则。但定义塑
在这些类本构模型中，有些是以成熟的力学体系，如弹性力学或塑性理论 等的观点和方法为基础，移植于混凝土；有些则是借鉴新兴的力学分支，如 粘弹－塑性理论、内时理论、断裂力学、损伤力学等概念，结合混凝土材料 的特点推演而得；还有些是以混凝土多轴试验的结论和数据为依据，进行概 括和回归后得到。
2
§6.2 预备知识
须定义出塑性应变增量矢量
dε
p ij
的方向和大小，即确定各分量的比率和各自
相应于应力增量 dσij 的大小。
引入流动准则概念的目的就是为了定义
dε
p ij
的各分量比率或应变增量矢
量的方向，矢量的大小由一致性条件来确定。
Mises 在类比了弹性应变增量可以用弹性位势函数对应力微分的表达式，
提出了塑性位势函数 g 的概念，它他认为经过应力空间任何一点 M，必有塑
6
（3）软化材料
对于软化材料，在材料处于软化塑性状态时，加载后屈服面会收缩，应力
增量也指向屈服面内侧，和卸载很难区别。所以应该用应变空间描述其示屈
服条件。采用应变空间描述时，需要定义应变空间中的加载面（即松弛面），
使得瞬时应变状态总是位于面的内部或面上，并且只有当应变位于该面上而
应变增量指向加载面外时才会发生应力松弛，这个面将产生平移或转动。
( ) ( ) f σ ij,α ij = f 0 σij − α ij − k = 0
式中 k 为一个常数，αij 为屈服中心移动张量，它给出加载面中心的坐标，它 是变化的，它与塑性变形和加载有关。
该准则能够较好地描述钢筋的 Bauschinger 效应，即在经受塑性变形的方 向上，屈服面有所增大，而在塑性变形的反方向，屈服面则降低了。这对于 材料处于反复加载或循环加载的情况下，可能出现的方向屈服的问题 ，还是 比较符合实际的。
性势能函数 g 不是一件容易的事，且大大增大计算的复杂程度，所以相关联
的流动法则还是广泛应用于实际的结构分析中。
4。Drucker 公设和 Il’yushin 公设 （1）Drucker 稳定性公设
设在外力作用下处于平衡状态的材料单元体上，施加某种附加外力，使单 元体的应力加载，然后移去附加外力，使单元体的应力卸载到原来的应力状 态。于是，在施加应力增量(加载)的过程中，以及在施加和卸去应力增量的循 环过程中，附加外力所作的功不为负，如下图所示。
加卸载准则：
F =0
且
∂F ∂ε ij
dε ij
>
0
加载，dσijp≠0
F =0
且
∂F ∂ε ij
dε ij
=
0
中性变载，dσijp=0
F =0
且
∂F ∂ε ij
dε ij
<0
卸载，dσijp=0
(a) 应力空间描述
(b) 应变空间描述
定义在应力空间和应变空间的加载面
3。流动准则
在加载过程中会产生塑性应变，为描述弹塑性变形的应力－应变关系，必