广西北流、陆川、容县、博白四县市联考2018年九年级第一次教学质量检测数学试题(解析版)

广西北流、陆川、容县、博白四县市联考2018年九年级第一次
教学质量检测数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列各数中，最小的数是（）
A．﹣4B．3C．0D．﹣2
2．x＝1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是（）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
3．下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（）
A．B．
C．D．
4．近似数5.0×102精确到（）
A．十分位B．个位C．十位D．百位
5．计算的结果是（）
A．1B．C．D．
6．如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后与“静”字相对的字是（）
A．着B．沉C．应D．冷
7．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差
8．下列命题是真命题的是（）
A．如实数a，b满足a2＝b2，则a＝b
B．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0
C．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
D．三角形的三个内角中最多有一个钝角
9．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）
A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M
10．如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于（）
A．90°B．120°C．60°D．30°
11．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n ﹣1＝0的两根，则n的值为
（）
A．9B．10C．9或10D．8或10
12．如图，直角边长为的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一水平线上，等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，设穿过时间为t，两图形重合部分的面积为S，则S关于t的图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．4是 的算术平方根．
14．已知a +b ＝4，a ﹣b ＝3，则a 2﹣b 2＝ ．
15．如图，点D 是线段AB 的中点，点C 是线段AD 的中点，若CD ＝1，则AB ＝ ．
16．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝40°，则∠OAC ＝ 度．
17．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为（a ，a ），如图，若曲线y ＝（x ＞0）与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是 ．
18．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①∠EAF＝45°；②△AED≌△AEF；③△ABE∽△ACD；④BE2+DC2＝DE2．
其中正确的是．（填序号）
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：（﹣2018）0﹣4sin45°+﹣2﹣1．
20．（6分）已知：不等式≤2+x
（1）求不等式的解；
（2）若实数a满足a＞2，说明a是否是该不等式的解．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使P A＝PB（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AP，若AP平分∠CAB，求∠B的度数．
22．（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
23．（8分）如图，已知等边△ABC，AB＝4，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连结FD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
24．（8分）某水果店购进甲乙两种水果，销售过程中发现甲种水果比乙种水果销售量大，店主决定将乙种水果降价1元促销，降价后30元可购买乙种水果的斤数是原来购买乙种水果斤数的1.5倍．
（1）求降价后乙种水果的售价是多少元/斤？
（2）根据销售情况，水果店用不多于900元的资金再次购进两种水果共500斤，甲种水果进价为2元/斤，乙种水果进价为1.5元/斤，问至少购进乙种水果多
少斤？
25．（10分）如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G 在线段AD上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．
（1）求证：DF＝PG；
（2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；
（2）阅读理解：
在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2＝﹣1．
解决问题：
①若直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，则m的值是；
②抛物线上是否存在点P，使得△P AB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．
参考答案
一、选择题
1．解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣4＜﹣2＜0＜3，
∴各数中，最小的数是﹣4．
故选：A．
2．解：将x＝1代入2x﹣a＝0中，
∴2﹣a＝0，
∴a＝2
故选：B．
3．解：根据邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其它都不是．
故选：D．
4．解：近似数5.0×102精确到十位．
故选：C．
5．解：＝＝＝1，
故选：A．
6．解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“沉”与面“考”
相对，面“着”与面“静”相对，“冷”与面“应”相对．
故选：A．
7．解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；
C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；
D、原来数据的方差＝＝，
添加数字2后的方差＝＝，故方差发生了变化．故选：D．
8．解：如实数a，b满足a2＝b2，则a＝±b，A是假命题；
数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＞0，B是假命题；
若实“购买1张彩票就中奖”是随机事件，C是假命题；
三角形的三个内角中最多有一个钝角，D是真命题；
故选：D．
9．解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、、，只能F
是M或N时，其各边是6、2，2．与△ABC各边对应成比例，故选C．10．解：∵A（0，1），B（0，﹣1），
∴AB＝2，OA＝1，
∴AC＝2，
在Rt△AOC中，cos∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
故选：C．
11．解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a＝2，或b＝2，②a＝b两种情况，
①当a＝2，或b＝2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，
∴x＝2，
把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0得，22﹣6×2+n﹣1＝0，
解得：n＝9，
当n＝9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n＝9不合题意，
②当a＝b时，方程x2﹣6x+n﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4（n﹣1）＝0
解得：n＝10，
故选：B．
12．解：根据题意可得，等腰直角三角形斜边为2，斜边上的高为1，而等边三
角形的边长为3，高为，
故等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，出现等腰直角三角
形完全处于等边三角形内部的情况，
故两图形重合部分的面积先增大，然后不变，再减小，S关于t的图象的中间部分为水平的线段，故A，D选项错误；
当t＝0时，S＝0，故C选项错误，B选项正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．解：∵42＝16，
∴4是16的算术平方根．
故答案为：16．
14．解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×3＝12．
故答案是：12．
15．解：∵点C是线段AD的中点，若CD＝1，
∴AD＝1×2＝2，
∵点D是线段AB的中点，
∴AB＝2×2＝4．
故答案为4．
16．解：∵BC是直径，∠D＝40°，
∴∠B＝∠D＝40°，∠BAC＝90°．
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠B＝40°，
∴∠OAC＝∠BAC﹣∠BAO＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50
17．解：∵A点的坐标为（a，a）．
∴C（a﹣1，a﹣1），
当C在双曲线y＝时，则a﹣1＝，
解得a＝+1；
当A在双曲线y＝时，则a＝，
解得a＝，
∴a的取值范围是≤a≤+1．
故答案为：≤a≤+1．
18．解：①由旋转，可知：∠CAD＝∠BAF．
∵∠BAD＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠CAD+∠BAE＝45°，
∴∠BAF+∠BAE＝∠EAF＝45°，结论①正确；
②由旋转，可知：AD＝AF．
在△AED和△AEF中，，
∴△AED≌△AEF（SAS），结论②正确；
③在△ABE∽△ACD中，只有AB＝AC、∠ABE＝∠ACD＝45°两个条件，无法证出△ABE∽△ACD，结论③错误；
④由旋转，可知：CD＝BF，∠ACD＝∠ABF＝45°，
∴∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝90°，
∴BF2+BE2＝EF2．
∵△AED≌△AEF，
EF＝DE，
又∵CD＝BF，
∴BE2+DC2＝DE2，结论④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．解：原式＝1﹣4×+2﹣
＝1﹣2+2﹣
＝．
20．解：（1）去分母得：2﹣x≤3（2+x），
去括号得：2﹣x≤6+3x，
移项、合并同类项得：﹣4x≤4，
系数化为1得：x≥﹣1．
（2）∵a＞2，不等式的解集为x≥﹣1，而2＞﹣1，
∴a是不等式的解．
21．解：（1）如图：作线段AB的垂直平分线；
（2）∵PD是线段AB的垂直平分线，
∴P A＝PB，
∴∠B＝∠P AB，
∵AP平分∠CAB，
∴∠CAP＝∠P AB，
∴∠B＝∠P AB＝∠CAP，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠P AB+∠CAP＝90°，
∴∠B＝30°．
22．解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）．
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°＝90°．故答案为：60，90°．
（2）了解的人数有：60﹣15﹣30﹣10＝5（人），补图如下：
（3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：＝．
23．解：（1）连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠ODB＝60°
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线
（2）∵OD∥AC，点O是AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴BD＝CD＝2
在Rt△CD E中，
∠C＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE＝CD＝1
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3
在Rt△AEF中，
∠A＝60°，
∴EF＝AE•sin A＝3×sin60°＝
24．解：（1）设降价后乙种水果的售价是x元，根据题意可得：
，
解得：x＝2，经检验x＝2是原方程的解，
答：降价后乙种水果的售价是2元/斤；
（2）设至少购进乙种水果y斤，根据题意可得：
2（500﹣y）+1.5y≤900，
解得：y≥200，
答：至少购进乙种水果200斤．
25．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，
∵四边形ABPM为矩形，
∴AB＝PM，
∴AD＝PM，
∵DF⊥PG，
∴∠DHG＝90°，
∴∠GDH+∠DGH＝90°，
∵∠MGP+∠MPG＝90°，
∴∠GDH＝∠MPG，
在△ADF和△MPG中，
∴△ADF≌△MPG（ASA），
∴DF＝PG；
（2）作PM⊥DG于M，如图，
∵PD＝PG，
∴MG＝MD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴PCDM为矩形，
∴PC＝MD，
∴DG＝2PC＝2；
∵△ADF≌△MPG（ASA），
∴DF＝PG，
而PD＝PG，
∴DF＝PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，
∴PE＝PD＝DF，
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF＝PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝3，
∴PD＝＝，
∴DF＝PG＝PD＝，
∵四边形CDMP是矩形，
∴PM＝CD＝3，MD＝PC＝1，
∵PD＝PG，PM⊥AD，
∴MG＝MD＝1，DG＝2，
∵∠GDH＝∠MPG，∠DHG＝∠PMG＝90°，∴△DHG∽△PMG，
∴，
∴GH＝＝，
∴PH＝PG﹣GH＝﹣＝，
∴四边形PEFD的面积＝DF•PH＝×＝8．
26．解：（1）将A，B点坐标代入，得
，
解得，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1；
（2）①由直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，得2m＝﹣1，
即m＝﹣；
故答案为：﹣；
②AB的解析式为y＝x+，
当P A⊥AB时，P A的解析式为y＝﹣2x﹣2，
联立P A与抛物线，得，
解得（舍），，
即P（6，﹣14）；
当PB⊥A B时，PB的解析式为y＝﹣2x+3，
联立PB与抛物线，得，
解得（舍），
即P（4，﹣5），
综上所述：△P AB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；
（3）如图：
，
∵M（t，﹣t2+t+1），Q（t，t+），
∴MQ＝﹣t2+
S△MAB＝MQ|x B﹣x A|
＝（﹣t2+）×2
＝﹣t2+，
当t＝0时，S取最大值，即M（0，1）．
由勾股定理，得
AB＝＝，
设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得
h＝＝．
点M到直线AB的距离的最大值是．。