微分中值定理与导数的应用 - 45 渐近线、函数曲线

2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
例3. 描绘
的图形.
解: 1) 定义域为
无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2,
y
令 y 0,
令 y 0,
x x
x

k

lim
x
f
(x) x
(或 x )
b lim [ f (x) k x] x
(或 x )
例2. 求曲线
的渐近线.
y
解:
y

(x

x3 3)(x
1)
,
lim y ,
x 3
(或 x 1)
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
2(x 3) 4 y 4y 4xy 0
①

y

x3 2(x
2y 1)
①两边对 x 求导得 2 4 y 8y 4xy 0

y

1 4y 2(x 1)
令 y 0得 x 1, 3 ;
3) 判别曲线形态
x (,1) 1 (1,1)
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2, )
y
0
0
y
0

y
2
4 3
2 3
x 1 3 (极大)
4)
y2 3
2
(拐点)
(极小)
例4. 描绘方程
的图形.
解: 1)
y

(x 3)2 4(x 1)
,
定义域为
2) 求关键点. 原方程两边对 x 求导得

1 4
,
即
k

1 4
b lim( y 1 x)
x
4

lim[
x
(x 4(
3)2 x 1)

1 4
x]

lim
x
5x 9 4(x 1)


5 4

y

1 4
x

5 4
为斜渐近线
5) 求特殊点 x 0 2
y

9 4
1 4
y (x 3)2 4(x 1)
y

(
第四章 微分中值定理与导数的应用
4.6函数曲线
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
y
0
y

y
2
(极大)
1 (1,3) 3 (3, )
无 0
定

义
0
(极小)
4) 求渐近线 lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
y (x 3)2 , 4(x 1)
y

(
x 4(
3)( x
x 1)2
1)
,
y

(
x
2 1)3
又因
lim y x x
x 4(
3)(x x 1)2
1)
y

(
x
2 1)3
6）绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y

1 4
x

5 4
特殊点
x0
2
y

9 4
1 4
1 (1,3) 3 (3, )
无 定 义
0 (极小)
y
y
(x 3)2 4(x 1)
2 1
e e
x2 x2
1;
lim
x0
1 1

e e
x2 x2

2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
( 1 , 1 ) 22
,
凸区间是
( ,
1 ) 2
及
(
1 , )
2
,
拐点为
(
1
,1
1
e2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示: y 2ex2 (1 2 x2 )
lim(
x1
x
1
1

2)

,

x
1为铅直渐近线.
2. 斜渐近线
若
(kx b)
(或 x )
(kx b)
lim x [ f (x) k b ] 0
x
x
x
lim [
x
f
(x) x

k

b x
]

0
斜渐近线 y k x b.
k lim [ f (x) b ]
例如, 双曲线
L PN
有渐近线
x a

y b

0
Oy
x
但抛物线
无渐近线 .
Ox
1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或 x )
若
则曲线
有铅直渐近线 x x0 .
(或 x x0 )
例1. 求曲线
的渐近线 .
解:
lim(
x
x
1
1

2)

2
y
2 x
O1
y 2 为水平渐近线;
1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线 ; 垂直渐近线; 斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
思考与练习
D 1.
曲线
y

1 1
e x2 e x2
(
)
(A) 没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线；
(C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示:
lim
x
1 1

y
1
1
( 1 ,1 e 2 ) 2 O
(
1
1
,1 e 2 )
2
x
y 0

y
0

y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
x 0 (0, 1)
y 0
y

y
1 2π
(极大)
1
0
1 2πe
(拐点)
(1, )

4) 求渐近线 lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
A
y0 O
y
e 1
x2
2
2π
B
1
x
内容小结
O12 3 5 x
y

1 4
x

5 4
x 1
例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y 1
x e
x2 2
,
2π
y 1
e
x2 2
(1
x2)
2π
令 y 0得 x 0; 令 y 0得 x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
又因
k lim f (x) x x

lim
x
x2
x2 2x

3
3 O1 x
y x2
b lim[ f (x) x] x

lim
x
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2x x2
2 2x
3x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
二、函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数 期性 ;
的定义域 , 并考察其对称性及周