《机器人导论》机器人逆运动学

1 1 0 1 0 2 3 4 5 1 1 再两边同时乘 2 T ，有： 2T 1T 6T 3T 4T 5T 6T
由此求解 2 。
依次类推，便可以求解各个关节角度，但通常不需要全部递推过程
便可利用等式两边对应项求解。
r11 r21 0 0 1 2 3 4 5 T 1 T (1 ) 2T (2 ) 3T (3 ) 4T ( 4 ) 5T (5 ) 6T (6 ) 6 r 31 0 r12 r22 r32 0 r13 r23 r33 0 px py pz 1
x x2 y 2 y x2 y 2 0 0
x y 0 1
第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性
2. 多重解
一个具有3个旋转关节的平面操作臂，由于从任何方位均可到达工作
空间内的任何位置，因此在平面中有较大的灵巧工作空间（给定适当的 连杆长度和大的关节运动范围）.
研究的是平面操作臂,通过确定三个量 x, y , 就可以容易确定目标点 的位置 : .
c B s T W 0 0
s c 0 0
x 0 y 1 0 0 1 0
所有可达目标点均位于上式描述的子空间内.
c123 s123 B 0 T WT 3 0 0
第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法
1. 代数解法
该操作臂的运动方程为:
c123 s123 B 0 T WT 3 0 0
s123 c123 0 0
0 0 1 0
l1c1 l 2c12 l1s1 l 2s12 0 1
第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法
第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性 当一个操作臂少于6自由度时，它在三维空间内不能达到
全部位姿. ---操作臂的工作空间是一个子空间.
---更简单的操作臂的工作空间是这个子空间的子集.
对于少于6个自由度的操作臂来说，给定一个确定的一般 目标坐标系，什么是最近的可达目标坐标系？ 一般来说，工具坐标系的变换与操作臂的正逆运动学无 关，所以一般常去研究腕部坐标系{W}的工作空间。对于一个 给定的末端执行器，定义工具坐标系{T}，给定目标坐标系 {G}，去计算相应的腕部坐标系{W}。
应用反正切公式:
应用余弦定理:
A tan 2( y, x)
2 x 2 y 2 l12 l2
cos
2l1 x 2 y 2
Here, the arccosine must be solved so that 0 1800 , in order that the geometry which lead to the equation will be preserved. Then we have:
cos(180 2 ) cos(2 )
2 2 x 2 y 2 l1 l2 c2 2l1l 2
第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法
为了使该三角形成立，到目标点的距离
x2 y 2
必须满足小于等于两个连杆长度之和 l1 l2
,
第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法
得到四个非线性方程:
c c123 s s123 x l1c1 l 2c12 y l1s1 l 2s12

2 2 x 2 y 2 l1 l2 2l1l 2c2 2 2 x 2 y 2 l1 l2 c2 2l1l 2
c12 c1c2 s1s2 , s12 c1s2 s1c2
s123 c123 0 0
0 0 1 0
l1c1 l2 c12 c l1s1 l2 s12 s 0 0 1 0
s c 0 0
x 0 y 1 0 0 1 0
第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法
s123 c123 0 0
l1c1 l 2c12 0 l1s1 l 2s12 1 0 0 1 0
这里 x, y 和 是满足约束的任意变量,因此，子空间就 建立了.连杆长度和关节的限位决定了操作臂的工作空间.
第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性
0 例: 试描述下图两自由度操作臂 2T 的子空间.
1
平面内的角度是可以相加的，因此三个连杆的角度之和即为最后一个连杆 的姿态:
1 2 3
This equation is solved for to complete our solution. 3
第四章: 操作臂逆运动学 4.1 概述
求解运动方程时，可以从 0 T 开始求解。 6 根据式：
0 6 1 2 3 4 5 T 0 T T 3T 4T 5T 6T 1 2
两边同时乘 01T 1 ，
有： 0 T 1 0 T 1 T2 T 3T 4 T 5T 1 6 2 3 4 5 6
由此求解 1 ；
第四章: 操作臂逆运动学 4.1 概述 逆运动学: 已知工具坐标系相对于工作台坐标系的期望位置
和姿态，计算一系列满足期望要求的关节角
为求出要求的关节角以放置相对于工作台坐标系{S}的工
具坐标系{T}，可将这个问题分为两部分: • 首先，进行坐标变换求出相对于基坐标系{B}的腕部坐标 系 {W}. • 应用逆运动学求关节角.
一般不用数值解来求解运动学问题，对运动方程的数值迭 代本身已形成一个完整的研究领域.
第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性
关于运动学逆解的几个结论: – 所有包含转动关节和移动关节的串联型6自由度操作臂都
是可解的，但这种解一般是数值解.
– 对于6自由度操作臂来说，只有在特殊情况下才有解析解。 这种存在解析解（封闭解）的操作臂具有如下特性：存在
几个正交关节轴或者有多个 i 为0或 900 .
– 具有6个旋转关节的操作臂存在封闭解的充分条件 （sufficient condition）是相邻的三个关节轴线相交于一
点.
第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法
为了介绍运动学方程的求解方法，这里用两种不 同方法对一个简单的平面三连杆操作臂进行求解.
这8个解中的某些解是不能实现的.
第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性
通常，连杆的非零参数越多，达到某一特定目标的方式也越多. 以一个具有6个旋转关节的操作臂为例，解的最大数目与等于零的连 杆长度参数的数目相关。非零参数越多，解的最大数目就越大.
第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性
3. 解法
总之，用代数解法求解运动学方程是求解操作臂的基本方法之一，在求解方程时， 解的形式已经确定。可以看出，对于许多常见的几何问题，经常会出现几种形式 的超越方程。
注：超越方程：等号两边至少有一个含有未知数的初等超越函数式的方程。如指
数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等。具有未知量的对数函数、指数函 数、三角函数、反三角函数等的方程。超越方程一般没有解析解，而只有数值解 或近似解，只有特殊的超越方程才可以求出解析解来。
第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性
1. 解的存在性 解是否存在的问题完全取决于操作臂的工作空间.
灵巧工作空间: 机器人的末端执行器能够从各个方向到达
的空间区域. 可达工作区间:机器人至少从一个方向上有一个方位可以达 到的空间.
第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性
例: 考虑一个两连杆操作臂. 独的一点，即原点。如果 l1 l 2 ，则不存在灵巧工作空间，而可达工作空 间为一外径为 l1 l 2，内径为 l1 l2的圆环。在可达工作空间内部，末端执 行器有两种可能的方位，在工作空间的边界上只能一种可能的方位。 如果 l1 l2 , 则可达工作空间是半径为 2l1 的圆，而灵巧工作空间仅是单
第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法
2. 几何解法
为求出操作臂的解，将操作臂的空间几何参数分解成为平面几何参数， 然后应用平面几何方法求出关节角度。对于例子中的3自由度操作臂，有 于操作臂是平面的，因此利用平面几何关系直接求解。
We have:
2 2 x 2 y 2 l1 l2 2l1l2 cos(180 2 )
系统最终只能选择一个解，比较合理的选择应当是取“最短行程”解.
第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性
最短行程的确定： – 计算最短行程需要加权，使得选择侧重于移动小连杆而不 是移动大连杆. – 在存在障碍的情况下，最短行程发生干涉，这时选择较长 行程。
第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性
解的个数取决于操作臂的关节数量，它也是连杆参数和关节运动范
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已知:
0
P2ORG
x y 0
0 ˆ 这里 x, y 可以取任意值. 它的方位是确定的，因为 Z2 的方向取决于 x, y ˆ 0Y ˆ 0Z ˆ 的方向是叉乘求得。 ˆ 总是向下，而 0 X 它的姿态受限，0Y 2
2 2 2
y 0 2 2 x y x 0 0 T 2 2 2 x y 1 0 0 0
第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法
为便于计算引入新的变量: 式中:
x l1c1 l 2c12 y l1s1 l 2s12
令 那么 于是有

x k1c1 k2s1 y k1s1 k2c1
k1 l1 l 2c2 k2 l 2s2
为了求解这种形式的方程，进行变量代换:
第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法
得到
1 A tan2( , ) A tan2( y , x )
最后，我们解出 :
y x r r
1 A tan2( y , x ) A tan2( k 2, k1 )
1 2 3 A tan2(s ,c ) 3 1 2
第四章: 操作臂逆运动学 4.2 可解性
B 例: 试着描述三连杆操作臂 W T 的子空间. 利用连杆参数求得操作臂的运动学方程为:
c s B WT 0 0
s c 0 0
x c123 0 y s123 0 1 0 0 1 0 0
上式有解的条件是 c2 的值必须在-1和+1之间。在这个 解法中，可用这个约束来检查解是否存在。如果约束条件不
满足 ,则操作臂离目标点太远.
第四章: 操作臂逆运动学 4.3 代数解法和几何解法
假设目标点在工作空间内，则:
2 s2 1 c2
, 2 A tan2(s2 , c2 )
上式是多解的，可以选择正或者负.
与线性方程组不同，非线性方程组没有通用的求解方法，
我们把操作臂的全部求解方法分成两大类： 封闭解: 封闭解是指基于解析形式的算法，或者指对于不
高于四次的多项式不用迭代便可完全求解。可将封闭解的
求解方法分为两类：代数解法和几何解法. 数值解法: 数值解具有迭代性质，所以比封闭解法的求解
速度慢得多。通常，数值解的计算也依赖于解的解析形式，
2 2 r k1 k2
, A tan2(k2 , k1 )
k1 r cos
, k2 r sin
x cos cos 1 sin sin1 r y cos sin1 sin cos 1 r

x cos( 1 ) r y sin( 1 ) r
围的函数.
例子: PUMA 到达一个确定目标有8个不同的解. 图中给出了其中的4个 解.它们对于末端手部运动来说具有相同的位姿。对于图中所示的每一个
解存在另外一种解，
其中最后三个关节变为另外一种位形：
4 1800 4 5 5 6 1800 6
由于关节运动的限制，