i第八章单因素方差分析幻灯片
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i第八章单因素方差 分析幻灯片
第八章 单因素方差分析
One-factor analysis of variance
本章内容
第一节 方差分析简述 第二节 固定效应模型 第三节 随机效应模型 第四节 多重比较 第五节 方差分析应具备的条件
第一节 方差分析简述
一、方差分析的一般概念
1、概念
方 差 分 析 （ analysis of variance ， ANOVA ） ： 是
同时判断多组数据平均数之 间差异显著性的统计假设检 验，是两组数据平均数差异
显著性t 检验的延伸。
ANOVA 由 英 国 统 计 学 家 R.A.Fisher 首 创 ， 用 于 推 断 多个总体均数有无差异。
单因素方差分析（一种方式分组的方差分析）： 研究对象只包含一个因素(factor)的方差分析。 单因素实验：实验只涉及一个因素，该因素 有a个水平(处理)，每个水平有n次实验重复， 这样的实验称为单因素实验。
处理平均数之间差异不显著，认为MSA与MSe差异不大， 产生的变异是由随机误差造成的；
当F>Fα时，拒绝零假设，处理平均数间差异显著，MSA 显著高于MSe，产生的变异是由处理因素造成的。
四、方差分析表
单因素固定效应模型方差分析表
变差来源 平方和
处理间
SSA
误差或处理内 SSe
总和
SST
自由度 a-1 a(n-1)
yi2
ya2
3
y13
y23
y33
yi3
ya3
…
…
…
…
…
…
j
y1j
y2j
y3j
yij
yaj
…
…
…
…
…
…
n
y1n
y2n
y3n
yin
yan
平均数
y1•
y 2•
y 3•
y i•
ya•
n
yi yij,
j1
yi
1 n
yi
i 1,2,,a
a n
1
y
yij,
i1 j1
y any
二、不同处理效应与不同模型
33.2 26.0 28.6 32.3 120.1 30.025
27.1 23.3 27.8 26.7 104.9 26.225
32.9 31.4 25.7 28.0 118.0 29.500
2、单因素方差分析的数据格式：
Y1
Y2
Y3
…
Yi
…
Ya
1
y11
y21
y31
yi1
ya1
2
y12
y22
y32
dfT=N-1=an-1
校正项(校正系数，correction)：
C
y
2
na
2. 处理间平方和(sum of squares among
treatments, SSA): 各个处理组的平均数与总平均数
离差的平方和，SSA反映了各处理组均数的变异程
度。计算公式为：
a
SA Sn
i1
yiy 21 ni a1yi2 n y2 a
SeSST SSSA dfe=dfT-dfA=an-a
误差均方(error mean square，MSe)：误差
平方和除以误差自由度。 MSe反映了随机因Байду номын сангаас所造成的 方差的大小。
MSe
SSe ana
三、检验统计量F
FM MA SeS，具dfA,def自由度 ，
做F单侧上尾检验
当F<Fα时，接受零假设H0：α1=α2=……=αa=0，各
dfA=a-1
（含有误差成分）
处理均方(treatment mean square，MSA)：
处理间平方和除以自由度。
MSA
SSA a 1
3．在同一处理组内虽然每个受试对象接受的处理相同,但
观测值仍各不相同，这是由随机因素（误差）引起的。
误差平方和(error sum of squares, SSe)或称处理内平 方和(sum of squares within treatment)：各处理内部 观测值与相应处理平均数离差的平方和,SSe反映了 各处理组内观测值的变异程度。计算公式为：
H0：α1= α2 =……= αa =0
HA：αi ≠ 0 （至少有1个i） 若接受H0，则不存在处理效应，每个观测值是由总 平均数加上随机误差构成；
若拒绝H0，则存在处理效应，每个观测值是由总平 均数、处理效应及误差三部分构成。
总变异
处理间 (组间)变异
误差或处理内 (组内)变异
1. 总变异是测量值yij与总的均数间的差异。 2. 处理间变异是由处理效应引起的变异。 3. 处理内变异是由随机误差引起的变异。
1、方差分析中每一观测值的描述 ——线性统计模型
yiji ij
i1,2, ,a j1,2, ,n
yij：在第i水平下的第j次观测值； μ：总平均数，是对所有观测值的一个参数；
αi：处理效应，是仅限于对第i次处理的一个参数； εij：随机误差成分。
2、①固定效应：由固定因素所引起的效应。 ②固定因素：所研究因素各个水平是经过
总体中随机抽出的，这样的因素称为随机因素。
随机因素的水平是不能严格人为控制的， 在水平确定之后，它的效应值并不固定。
③随机模型：处理随机因素所用的模型。
在随机模型中，方差分析所得到的结论，
可以推广到这个因素的所有水 平上，是对水平总体的推断。
第二节 固定效应模型
一、线性统计模型
yiji ij
要检验a个处理效应的相等性，就要判断各αi是否为0。
na-1
均方
MSA MSe
F
MSA/ MSe
五、方差分析的指导思想与基本原理
用离均差平方和的平均（均方、方差）反映变异的大小
二、平方和与自由度的分解
1. 总平方和(total sum of squares, SST): 每个测 量值与总平均数离差的平方和的总和，反应了一
组数据总的变异程度。计算公式为：
a
ST S
i1
n j1
a
yijy 2
i1
jn 1yi2jn y2 a
特意选择的，这样的因素称为固定因素。
固定因素的水平可以严格地人为控制，在 水平固定之后，它的效应值也是固定的。
③固定模型：处理固定因素所用的模型。
在固定模型中，方差分析所得到的结论
只适合于选定的那几个水平，不
能将结论扩展到未加考虑的其它水平上。
3、①随机效应：由随机因素所引起的效应。 ②随机因素：所研究因素各个水平是从该因素水平
水平(level)：每个因素不同的处理(treatment)。
【例】随机选取4窝动物，每窝中均有4只幼仔，
称量每只幼仔的出生重，结果如下。判断不同窝的 动物出生重是否存在显著性差异。
动物号
1 2 3 4 和 平均数
4窝动物的出生重
单位：g
窝
Ⅰ
Ⅱ
别
Ⅲ
Ⅳ
34.7 33.3 26.2 31.6 125.8 31.450
第八章 单因素方差分析
One-factor analysis of variance
本章内容
第一节 方差分析简述 第二节 固定效应模型 第三节 随机效应模型 第四节 多重比较 第五节 方差分析应具备的条件
第一节 方差分析简述
一、方差分析的一般概念
1、概念
方 差 分 析 （ analysis of variance ， ANOVA ） ： 是
同时判断多组数据平均数之 间差异显著性的统计假设检 验，是两组数据平均数差异
显著性t 检验的延伸。
ANOVA 由 英 国 统 计 学 家 R.A.Fisher 首 创 ， 用 于 推 断 多个总体均数有无差异。
单因素方差分析（一种方式分组的方差分析）： 研究对象只包含一个因素(factor)的方差分析。 单因素实验：实验只涉及一个因素，该因素 有a个水平(处理)，每个水平有n次实验重复， 这样的实验称为单因素实验。
处理平均数之间差异不显著，认为MSA与MSe差异不大， 产生的变异是由随机误差造成的；
当F>Fα时，拒绝零假设，处理平均数间差异显著，MSA 显著高于MSe，产生的变异是由处理因素造成的。
四、方差分析表
单因素固定效应模型方差分析表
变差来源 平方和
处理间
SSA
误差或处理内 SSe
总和
SST
自由度 a-1 a(n-1)
yi2
ya2
3
y13
y23
y33
yi3
ya3
…
…
…
…
…
…
j
y1j
y2j
y3j
yij
yaj
…
…
…
…
…
…
n
y1n
y2n
y3n
yin
yan
平均数
y1•
y 2•
y 3•
y i•
ya•
n
yi yij,
j1
yi
1 n
yi
i 1,2,,a
a n
1
y
yij,
i1 j1
y any
二、不同处理效应与不同模型
33.2 26.0 28.6 32.3 120.1 30.025
27.1 23.3 27.8 26.7 104.9 26.225
32.9 31.4 25.7 28.0 118.0 29.500
2、单因素方差分析的数据格式：
Y1
Y2
Y3
…
Yi
…
Ya
1
y11
y21
y31
yi1
ya1
2
y12
y22
y32
dfT=N-1=an-1
校正项(校正系数，correction)：
C
y
2
na
2. 处理间平方和(sum of squares among
treatments, SSA): 各个处理组的平均数与总平均数
离差的平方和，SSA反映了各处理组均数的变异程
度。计算公式为：
a
SA Sn
i1
yiy 21 ni a1yi2 n y2 a
SeSST SSSA dfe=dfT-dfA=an-a
误差均方(error mean square，MSe)：误差
平方和除以误差自由度。 MSe反映了随机因Байду номын сангаас所造成的 方差的大小。
MSe
SSe ana
三、检验统计量F
FM MA SeS，具dfA,def自由度 ，
做F单侧上尾检验
当F<Fα时，接受零假设H0：α1=α2=……=αa=0，各
dfA=a-1
（含有误差成分）
处理均方(treatment mean square，MSA)：
处理间平方和除以自由度。
MSA
SSA a 1
3．在同一处理组内虽然每个受试对象接受的处理相同,但
观测值仍各不相同，这是由随机因素（误差）引起的。
误差平方和(error sum of squares, SSe)或称处理内平 方和(sum of squares within treatment)：各处理内部 观测值与相应处理平均数离差的平方和,SSe反映了 各处理组内观测值的变异程度。计算公式为：
H0：α1= α2 =……= αa =0
HA：αi ≠ 0 （至少有1个i） 若接受H0，则不存在处理效应，每个观测值是由总 平均数加上随机误差构成；
若拒绝H0，则存在处理效应，每个观测值是由总平 均数、处理效应及误差三部分构成。
总变异
处理间 (组间)变异
误差或处理内 (组内)变异
1. 总变异是测量值yij与总的均数间的差异。 2. 处理间变异是由处理效应引起的变异。 3. 处理内变异是由随机误差引起的变异。
1、方差分析中每一观测值的描述 ——线性统计模型
yiji ij
i1,2, ,a j1,2, ,n
yij：在第i水平下的第j次观测值； μ：总平均数，是对所有观测值的一个参数；
αi：处理效应，是仅限于对第i次处理的一个参数； εij：随机误差成分。
2、①固定效应：由固定因素所引起的效应。 ②固定因素：所研究因素各个水平是经过
总体中随机抽出的，这样的因素称为随机因素。
随机因素的水平是不能严格人为控制的， 在水平确定之后，它的效应值并不固定。
③随机模型：处理随机因素所用的模型。
在随机模型中，方差分析所得到的结论，
可以推广到这个因素的所有水 平上，是对水平总体的推断。
第二节 固定效应模型
一、线性统计模型
yiji ij
要检验a个处理效应的相等性，就要判断各αi是否为0。
na-1
均方
MSA MSe
F
MSA/ MSe
五、方差分析的指导思想与基本原理
用离均差平方和的平均（均方、方差）反映变异的大小
二、平方和与自由度的分解
1. 总平方和(total sum of squares, SST): 每个测 量值与总平均数离差的平方和的总和，反应了一
组数据总的变异程度。计算公式为：
a
ST S
i1
n j1
a
yijy 2
i1
jn 1yi2jn y2 a
特意选择的，这样的因素称为固定因素。
固定因素的水平可以严格地人为控制，在 水平固定之后，它的效应值也是固定的。
③固定模型：处理固定因素所用的模型。
在固定模型中，方差分析所得到的结论
只适合于选定的那几个水平，不
能将结论扩展到未加考虑的其它水平上。
3、①随机效应：由随机因素所引起的效应。 ②随机因素：所研究因素各个水平是从该因素水平
水平(level)：每个因素不同的处理(treatment)。
【例】随机选取4窝动物，每窝中均有4只幼仔，
称量每只幼仔的出生重，结果如下。判断不同窝的 动物出生重是否存在显著性差异。
动物号
1 2 3 4 和 平均数
4窝动物的出生重
单位：g
窝
Ⅰ
Ⅱ
别
Ⅲ
Ⅳ
34.7 33.3 26.2 31.6 125.8 31.450