单纯形法案例
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7
– 从引例可以总结出求解过程:
(1)确定初始基及其基可行解; (2)判断是否为最优解,是停止,否则 转下一步;
(3)转换可行基,并求出相应的基可行 解,使目标函数值有所改进,转(2)。
8
确定初始的基本可行解
确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基,一旦初
始的可行基确定了,那么对应的初始基本可行解也就唯一确定.
2
• 一、引例
用单纯形方法求解下列线性规划: min z=-6x1-4x2 2x1 + 3x2≤100
4x1 + 2x2≤120
x1、x2≥0 解:化为标准型
min z=-6x1-4x2+0x3+0x4
2x1 + 3x2 + x3 4x1 + 2x2 =100 +x4 =120
x1、x2,x3,x4 ≥0
xi bi
j m 1
aij x j
n
i 1, m
从上述约束方程中可以得到对应于基B的基可行解 X=(b1,b2,…,bm,0,…,0)T
10
– 用非基变量表示目标函数有:
z c j x j ci xi
j 1
m
nБайду номын сангаас
m
i 1
j m 1
c j x j
+x4 =120-4x1-2x2
要使为X(2)基可行解,x3,x4中必有一个为零,而另一个大于等于零。 只要取 x1=min{100/2,120/4}=30 就有 x3=40,x4=0 这样 因为 而 此时 X(2)=(30,0,40,0)T P1,P3线性无关,因此,B2=(P1,P3)为一个基 X(2)为对应于B2的基可行解 XB=(x1,x3)T,XN=(x2,x4)T
用XN表示Z和XB有: min z=-180-x2+(3/2)x4 x1 = 30-(1/2)x2-(1/4)x4 x3 = 40- 2 x2 +(1/2)x4
问: X(2)是否最优呢?——否 因为: x2在目标函数中的系数为负,当x2↑,z 。
6
(3)寻找可行基B3,使其对应的基可行解X(3)能使目标函数值增加。 min z=-180-x2+(3/2)x4 选: x2>0 = 30-(1/2)x2-(1/4)x4 则有: X(3)=(x1,x2,x3,0)T x1 x3 = 40- 2 x2 +(1/2)x4
x2 E 2x1+3x2 =100 A B 4x1 + 2x2 =120 D O C
4x1 + 2x2
+x4 =120
x1、x2,x3,x4 ≥0
B C D E A O
可行否 目标值 对应图中的点 √ 200 √ 180 × —— × —— √ 400/3 √ 0
x1
4
(1)找初始可行基: B1=(P3,P4)现成的初始可行基; 此时, XB=(x3,x4)T,XN=(x1,x2)T
3
min z=-6x1-4x2
2x1 + 3x2 + x3
=100
• 基本解如下表
基 基本解 B1=(P1,P2) X1=(20,20,0,0)T B2=(P1,P3) X2=(30,0,40,0)T B3=(P1,P4) X3=(50,0,0,-80)T B4=(P2,P3) X4=(0,60,-80,0)T B5=(P2,P4) X5=(0,100/3,0,160/3)T B6=(P3,P4) X6=(0,0,100,120)T
要使为X(3)基可行解,x1,x3中必有一个为零,而另一个大等于零。 只要取 x2=min{30/(1/2),40/2}=20 就有 x1=20,x3=0 这样 X(3)=(20,20,0,0)T 因为 P1,P2线性无关,因此,B3=(P1,P2)为一个基 而 X(3)为对应于B3的基可行解 此时 XB=(x1,x2)T,XN=(x3,x4)T 用XN表示Z和XB有: min z=-200+ (1/2)x3+(5/4)x4 x1 =20 +(1/4)x3 -(3/8)x4 x2 =20 - (1/2)x3 +(1/4)x4 问: X(3)是否最优呢?——是,
§3
单纯形法
单纯形法的一般原理 表格单纯形法 借助人工变量求初始的基本可行解
1
1947年,Dantzig提出的单纯形法把寻优的目标集 中在所有基本可行解(即可行域顶点)中。 单纯形法的一般步骤如下: (1)寻找一个初始的基本可行解。 (2)检查现行的基本可行解是否最优,如果为最优, 则停止迭代,已找到最优解,否则转一步。 (3)移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解, 然后转回到步骤(2)。
因为: x1和x2在目标函数中的系数为负,当x1↑,z ;x2↑,z 。
称非基变量在目标函数中的系数为——检验数。
5
(2)寻找可行基B2,使其对应的基可行解X(2)能使目标函数值增加。 min z=-6x1-4x2 选: x1>0 x3 =100-2x1-3x2 则有: X(2)=(x1,0,x3,x4)T
在线性规划标准型中设法得到一个 m 阶单位矩阵 I 作为初 始可行基B。 若在化标准形式前,m个约束方程都是“≤”的形式, 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个 松弛变量xn+i (i=12…m)。
9
判断现行的基本可行解是否最优
– 设有标准形式的线性规划问题:min z=cX;AX=b,X≥0; – 现假定 A中存在一可行基B,且B为单位阵 – 这样 AX=b可以描述成如下形式,也就是用非基变量表示 基变量 x1 + a1,m+1xm+1 + … + a1nxn=b1 x2 + a2,m+1xm+1 + … + a2nxn=b2 ………………………………… xm + am,m+1xm+1 + … + amnxn=bm 即
用XN表示Z和XB有: min z=-6x1-4x2 x3 =100-2x1-3x2 +x4 =120-4x1-2x2 令 有 则有: 问:
min z=-6x1-4x2 2x1 + 3x2 + x3 =100
4x1 + 2x2
+x4 =120
x1、x2,x3,x4 ≥0
XN=(0,0)T XB=(100,120)T X(1)=(0,0,100,120)T为对应于基B1的基可行解。 X(1)是否最优呢?——否
n j m 1
– 从引例可以总结出求解过程:
(1)确定初始基及其基可行解; (2)判断是否为最优解,是停止,否则 转下一步;
(3)转换可行基,并求出相应的基可行 解,使目标函数值有所改进,转(2)。
8
确定初始的基本可行解
确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基,一旦初
始的可行基确定了,那么对应的初始基本可行解也就唯一确定.
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• 一、引例
用单纯形方法求解下列线性规划: min z=-6x1-4x2 2x1 + 3x2≤100
4x1 + 2x2≤120
x1、x2≥0 解:化为标准型
min z=-6x1-4x2+0x3+0x4
2x1 + 3x2 + x3 4x1 + 2x2 =100 +x4 =120
x1、x2,x3,x4 ≥0
xi bi
j m 1
aij x j
n
i 1, m
从上述约束方程中可以得到对应于基B的基可行解 X=(b1,b2,…,bm,0,…,0)T
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– 用非基变量表示目标函数有:
z c j x j ci xi
j 1
m
nБайду номын сангаас
m
i 1
j m 1
c j x j
+x4 =120-4x1-2x2
要使为X(2)基可行解,x3,x4中必有一个为零,而另一个大于等于零。 只要取 x1=min{100/2,120/4}=30 就有 x3=40,x4=0 这样 因为 而 此时 X(2)=(30,0,40,0)T P1,P3线性无关,因此,B2=(P1,P3)为一个基 X(2)为对应于B2的基可行解 XB=(x1,x3)T,XN=(x2,x4)T
用XN表示Z和XB有: min z=-180-x2+(3/2)x4 x1 = 30-(1/2)x2-(1/4)x4 x3 = 40- 2 x2 +(1/2)x4
问: X(2)是否最优呢?——否 因为: x2在目标函数中的系数为负,当x2↑,z 。
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(3)寻找可行基B3,使其对应的基可行解X(3)能使目标函数值增加。 min z=-180-x2+(3/2)x4 选: x2>0 = 30-(1/2)x2-(1/4)x4 则有: X(3)=(x1,x2,x3,0)T x1 x3 = 40- 2 x2 +(1/2)x4
x2 E 2x1+3x2 =100 A B 4x1 + 2x2 =120 D O C
4x1 + 2x2
+x4 =120
x1、x2,x3,x4 ≥0
B C D E A O
可行否 目标值 对应图中的点 √ 200 √ 180 × —— × —— √ 400/3 √ 0
x1
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(1)找初始可行基: B1=(P3,P4)现成的初始可行基; 此时, XB=(x3,x4)T,XN=(x1,x2)T
3
min z=-6x1-4x2
2x1 + 3x2 + x3
=100
• 基本解如下表
基 基本解 B1=(P1,P2) X1=(20,20,0,0)T B2=(P1,P3) X2=(30,0,40,0)T B3=(P1,P4) X3=(50,0,0,-80)T B4=(P2,P3) X4=(0,60,-80,0)T B5=(P2,P4) X5=(0,100/3,0,160/3)T B6=(P3,P4) X6=(0,0,100,120)T
要使为X(3)基可行解,x1,x3中必有一个为零,而另一个大等于零。 只要取 x2=min{30/(1/2),40/2}=20 就有 x1=20,x3=0 这样 X(3)=(20,20,0,0)T 因为 P1,P2线性无关,因此,B3=(P1,P2)为一个基 而 X(3)为对应于B3的基可行解 此时 XB=(x1,x2)T,XN=(x3,x4)T 用XN表示Z和XB有: min z=-200+ (1/2)x3+(5/4)x4 x1 =20 +(1/4)x3 -(3/8)x4 x2 =20 - (1/2)x3 +(1/4)x4 问: X(3)是否最优呢?——是,
§3
单纯形法
单纯形法的一般原理 表格单纯形法 借助人工变量求初始的基本可行解
1
1947年,Dantzig提出的单纯形法把寻优的目标集 中在所有基本可行解(即可行域顶点)中。 单纯形法的一般步骤如下: (1)寻找一个初始的基本可行解。 (2)检查现行的基本可行解是否最优,如果为最优, 则停止迭代,已找到最优解,否则转一步。 (3)移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解, 然后转回到步骤(2)。
因为: x1和x2在目标函数中的系数为负,当x1↑,z ;x2↑,z 。
称非基变量在目标函数中的系数为——检验数。
5
(2)寻找可行基B2,使其对应的基可行解X(2)能使目标函数值增加。 min z=-6x1-4x2 选: x1>0 x3 =100-2x1-3x2 则有: X(2)=(x1,0,x3,x4)T
在线性规划标准型中设法得到一个 m 阶单位矩阵 I 作为初 始可行基B。 若在化标准形式前,m个约束方程都是“≤”的形式, 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个 松弛变量xn+i (i=12…m)。
9
判断现行的基本可行解是否最优
– 设有标准形式的线性规划问题:min z=cX;AX=b,X≥0; – 现假定 A中存在一可行基B,且B为单位阵 – 这样 AX=b可以描述成如下形式,也就是用非基变量表示 基变量 x1 + a1,m+1xm+1 + … + a1nxn=b1 x2 + a2,m+1xm+1 + … + a2nxn=b2 ………………………………… xm + am,m+1xm+1 + … + amnxn=bm 即
用XN表示Z和XB有: min z=-6x1-4x2 x3 =100-2x1-3x2 +x4 =120-4x1-2x2 令 有 则有: 问:
min z=-6x1-4x2 2x1 + 3x2 + x3 =100
4x1 + 2x2
+x4 =120
x1、x2,x3,x4 ≥0
XN=(0,0)T XB=(100,120)T X(1)=(0,0,100,120)T为对应于基B1的基可行解。 X(1)是否最优呢?——否
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