数形结合思想

第一节数形结合思想
数与形是数学中最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

数形结合的结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。

以数思形，以形想数，做好数形转化。

运用数形结合思想遵循原则：（1）等价性原则（2）双方性原则（3）简单性原则
数形结合思想常解决以下问：（1）构建函数模型结合图像研究参数的取值范围，方程根的范围，量与量之间的大小关系，函数的最值问题和证明不等式等（2）构建立体几何模型研究代数问题（3）构建解析几何中的斜率，截距，距离等模型研究最值问题（4）构建方程模型，求根的个数等.
【例1】.设函数，若无最大值，则实数的取值范围是________.
【解析】：如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，
，，由，知1-=x 是函数的极大值点，
①当时，，因此的最大值是；
②由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，∴所求的范围是，故填：．
【点评】：分段函数含字母参数求最值问题，通过把“数”化为“形”来解决，直观形象.
【例2】.（2017浙江，21节选）如图，已知抛物线2
x y =，点A 11()24-，，39()24
B ，，
抛物线上的点)2
3
21)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线Q ．
求||||PQ PA ⋅的最大值．
【解析】：联立直线AP 与BQ 的方程
33,()2,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩
()f x a 3
()3g x x x =-2y x =-(1,2)A -(0,0)O (1,2)B -2'()33g x x =-()g x 0a =33,0
()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩
()f x (1)2f -=1a ≥-()f x (1)2f -=1a <-3
32a a a -<-()f x a (,1)-∞-(,1)-∞
-
解得点Q 的横坐标是)
1(2342
2+++-=k k k x Q ，因为|PA
1)2x +=)1(12++k k |PQ |=
1
)1)(1()(122
2
++--
=-+k k k x x k Q ，所以|PA ||PQ |=3)1)(1(+--k k
令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f (k )在区间)2
1
,1(-上单
调递增，)1,21(上单调递减，因此当k =
12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716
． 【点评】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过把“形”化为“数”，利用函数3)1)(1()(+--=k k k f 求出||||PQ PA ⋅的最大值．
【例3】.（2017课标II ，理12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1- 【解析】：以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标系，则
)3,0(A ,)0,1(-B ,)0,1(C ，设),(y x P ，所以)3,(y x --=,),1(y x ---=,
),1(y x --=，),2,2(y x --=+
当)2
3
,0(P 时，所求的最小值为23-
恒等式来解决.
【课后练习】
1.已知函数f （x ）=2(4,0,
log (1)13,03)a
x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x
的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）
A （0，
23] B[23，34
] C[13，23]
{
34
} D[13，2
3）
{
3
4
} 2.（2017课标II ，理1）已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 为FN
的中点，则FN =______
3.（2017课标，理12）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（） A ．3
B ．
C
D ．2
【课后练习答案】
1.C
【解析】:由）（x f 在R 上递减可知,43
3
110,13043≤≤⇒⎩⎨
⎧<<≥≥-a a a a 由方程x
x f -=2)(恰好有两个不相等的实数解，可知,3231,211,
23≤≤≤-≤a a a 又4
3
=a 时，抛物线a x a x y 3)34(2+-+=与直线x y -=2相切，也符合题意，∴实数a 的取值范围是
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡4332,31
2. 6
【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，做M
B l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为,2-=x 则,
4,2'
==FF AN 在直角梯形'
ANFF 中，中位线,32
'
=+=
FF AN BM 由抛物线的定义有：,3==MB MF 结合题意有,3==MF MN 线段FN 的长度+=NM FM FN 3. 3
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系
),(),12()02()00()10(y x P D C B A ，，，，，，，设积公式可得圆的半径,5
2=
r 即圆的方程,5
4
)2(22=
+-y x ),1,(-=y x )
1,0(-=，
),
0,2(=AD 若满足
O M N A B
F
,
AD AB AP μλ+=即
,12⎩⎨
⎧-=-=λ
μy x ,12+-=+∴y x
μλ设
,12
+-=
y x
z 即
,012=-+-z y x 点),(y x P 在圆5
4
)2(22=+-y x 上，所以圆心到直线的距离,r d ≤即,5
214
1
2≤
+-z 解得,31≤≤z 所以z 的最大值为3.。