《高等代数选讲》作业参考答案

《高等代数选讲》作业参考答案

一．判断题

1．× 2．× 3．× 4．√ 5．√ 6．× 7．√ 8．√ 9．√ 10．×11．√12．× 二．填空题

1．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0001002000110011 2．3 3．0, 1, 2,…, n-1 4 ．(3, -2, 6) 5．(-3, -1) 6．n ,,2,1 7．)0,2,1,3(- 8．125,1λλ==- 9．n

2,,2,22

10．)1,27,29(-- 11．66arccos 12．⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-360683036

三．计算与证明

1．解：⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛--+=3213213210101

11

1),,(),,(x x x x x x x x x f λλλ

由此矩阵的顺序主子式0>得

011<<->λλ或。

2．令

11,()0

s s i k k βααβα=+

+=有

则有

),(),(),(1

1

===∑∑==s

i i s

i i i k αβαβββ，由此可得0=β

3．解：A 的特征多项式为：

()()

2

1

33

3

5

3246

6

4

E A λλλλλλ---=-=-==--- 当

T

1=-2(2E-A)X=0=(1,1,0)λη时，的基础解系为：

T

2=(-1,0,1)η

当

T

311=4(E-A)X=0=(,,1)22

λλη时，的基础解系为：

故令12311-121P=()=102011ηηη⎛

⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，， ， 则有

-1-2P AP=-24⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

4．证明：只要证明321,,ααα组成的矩阵行列式

12-1

0-130

1-10≠，同理可证

3

321,,R 为βββ 的基，过渡矩阵

A 为：

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4/52/54/14/52/14/9472147

A 5．解：基础解系为

6．证明（1）

τσττσστστσ+=+++=+2

22)( 故τσσττσστσστστστσστ=⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒=+有00

02

2

从而0=στ

（2）

))(()(2

σττσσττσσττσ-+-+=-+经整理有 =σττσ-+ 7．解：

2

4

432324322214321483)22()(),,,(x x x x x x x x x x x x x f ---++++=

=2

4

2444323224316)91638(3)42322()21(x x x x x x x x x x x -+++-++++ =

24243243222134)34(3)22()(x x x x x x x x ++

-++++ 令

4

44334322211,3

4

,

22,x y x x y x x x y x x y =+

=++=+=

得

2

42

322214321343),,,(y y y y x x x x f +

-+=

８．证：对S 做归纳

（1）S=1时，因为特征向量非零，所以1α线性无关。 （2）假设k s =时，k ααα,,,21 线性无关，当0,11111=++++=++k k k k l l l k s ααα 设时①，对①两端同

乘以

1+k λ得

12(1,0,3,2,0)'

(0,0,3,2,1)'

ηη=-=-

1111212111=++++++++++k k k k k k k k l l l l αλαλαλαλ ②

对①两端同施行σ

有

111222111=++++++k k k l l l αλαλαλ ③

②－③得

)()()(121221111=-++-+-+++k k k k k k l l l l αλλαλλαλ

由归纳假设k ααα,,,21 线性无关，又k i l k i ,,2,1,01 =≠-+λ

于是),,2,1(0k i l i ==这时①式变为

,0111≠=+++k k k l αα又

所以

1=+k l 。于是

121,,+k ααα 线性无关。