统计案例线性回归方程讲解

x x
y
2
＝621－6.65－×51×.8×1.872.4＝－11.5，
^
^
a＝ y －b x ＝7.4＋11.5×1.8＝28.1.
故 y 对 x 的回归方程为y^＝28.1－11.5x. (3)y^ ＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．
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残差分析
和b的_最__好__估__计_，
^b＝x1y1＋x21＋x2yx222＋＋……＋＋xxn2ny－n－n nx－x2 ·－y ，
^a＝
y
－
^ b
x
.
例如：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重 数据如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确 到0.01 t)
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解析：(1)散点图如右图所示：
(2)因为 x ＝15×9＝1.8，
y ＝15×37＝7.4，∑ i＝51xiyi＝
5
62，∑ i＝1
x2i ＝16.6，所以
5
b^ ＝∑ i＝∑ i1＝5x1iyxi2i－－55
i＝1
i＝1
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n

yi－ ^yi2
i＝1
R2＝1－
n
相关指数 ： _______i_＝_1 __y_i－___y__2___，R2的 值越大 ， 说明
_残__差__平__方__和___越小，模型的拟合效果__越__好____．
例如：在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了甲、
所以解释变量小麦基本苗数对总效应约贡献了 83.2%.残
差变量贡献了约 1－83.2%＝16.8%.
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跟踪练习
2．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花 费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
零件数x/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
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跟踪练习
1．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和 需求量y(t)之间的一组数据为：
1
2
3
4
5
价格x
1.4 1.6 1.8 2 2.2
需求量y
12
10
7
5
3
已知∑ i＝51xiyi＝62，∑ i＝51x2i ＝16.6.
(1)画出散点图；
(2)求出y对x的回归方程；
4．总偏差平方和、残差平方和、回归平方和、相关指数： 名称 总偏差平方和 残差平方和 回归平方和
所有单个样本 说明 值与样本均值
差的平方和
回归值与样 本值差的平 方和
总偏差平方和－残差平 方和
公式
n
(yi－ y )2
i＝1
n
i＝1
(yi－
^yi)2
n

n
(yi－ y )2－
(yi－ ^yi)2
____0____．
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3.(2011年长沙一中月考)在对两个变量x、y进行线性回归 分析时一般有下列步骤：
①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i ＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据 所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够判定变 量x，y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是( D )
A．34.6万元
B．35.6万元
C．36.6万元
D．37.6万元
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解析： x ＝－416＝－4， y ＝1400＝25，由题意知， y^ ＝－2.4x＋^a过(－4,25)，25＝－2.4×(－4)＋^a，得 ^a＝25－9.6＝15.4.所以y^＝－2.4x＋15.4.当 x＝－8 时， y＝19.2＋15.4＝34.6，故选 A. 答案：A
序号 x
y
x2
xy
1 1.40 1.70 1.96 2.380
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2 1.50 1.79 3 1.60 1.88 4 1.70 1.95 5 1.80 2.03 6 1.90 2.10 7 2.00 2.16 8 2.10 2.21 ∑ 14.00 15.82
于是， x ＝18×14.00＝1.75， y ＝18×15.82＝1.977 5.
5
∑ i＝1xiyi＝6 746.76.
5
由b^ ＝∑ i＝1x∑ i＝5iy1xi－2i －55x x 2 y ≈0.29，a^ ＝ y －b^ x ≈34.67，
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^
故所求的回归直线方程为y＝34.67＋0.29x.
当 x＝56.7 时，y^＝34.67＋0.29×56.7＝51.113.
(2)预测水深为1.95 m时水的流速是多少？
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分析：从散点图可以直观地 看出变量x与y之间有无线性相关 关系，为此把这8对数据描绘在平 面直角坐标系中，得到平面上8个 点，如下图所示．
由图容易看出，x与y之间有线性相关关系．故可用线性 回归模型解决．
解析：数据列表如下：
加工时间y/ 分
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
(1)求回归方程；
(2)判断(1)中所得回归模型拟合效果如何．
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解析：(1)根据表中数据作出散点图，从而可以判断出用 线性回归模型来拟合数据．
计算得加工时间对零件数的线性回归方程为^y＝0.668x＋ 54.93.
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解析：(1)散点图如下： (2)由图看出，样本点呈条状分布， 有比较好的线性相关关系，因此可以用 线性回归方程刻画它们之间的关系．
设回归方程为y^ ＝b^ x＋a^ ， x ＝30Leabharlann Baidu36， y ＝43.5， ∑ i＝51x2i ＝5 101.56，∑ i＝51yi2＝9 511.43. x ·y ＝1 320.66， y 2＝1 892.25， x 2＝921.729 6，
残差数据如下表：
编号
1
2
3
4
5
残差e^ 0.39 －0.29 0.03 －0.65 0.67
编号
6
7
8
9
10
残差e^ －0.01 0.31 －0.37 －0.05 0.27
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(2)以零件数为横坐标， 残差为纵坐标作出残差图 如图所示：
由图可知，残差点分 布较均匀，即用上述回归 模型拟合数据效果很好． 但需注意，由残差图也可以看出，第4个样本点和第5个样本 点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是 否有人为的错误．
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非线性回归分析
表：
某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下
身高x/cm 60 70 80 90 100 110
体重y/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身高x/cm 120 130 140 150 160 170
体重y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
试建立y与x之间的回归方程．
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解析：根据上表中的数据 画出散点图如右图所示：
A．①②⑤③④
B．③②④⑤①
C．②④③①⑤
D．②⑤④③①
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4.(2012年江门一模)有人收集了春节期间平均气温x与某取 暖商品销售额y的有关数据如下表：
平均气温/℃ －2 －3 －5 －6 销售额/万元 20 23 27 30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均 气温x之间线性回归方程y＝ bˆ x＋ aˆ 的系数 bˆ ＝－2.4.则预测平 均气温为－8 ℃时该商品销售额为( )
n
xi－ x yi－ y
i＝1
3．相关系数：r＝
.
n
－n
xi－x2 yi－ y 2
i＝1
i＝1
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当r＞0时，两个变量___正_____相关；当r＜0时，两个变 量___负_____相关；相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的 线性相关关系___越__强___，它们的散点图越接近_一__条__直__线_，这 时用线性回归模型拟合这组数据就__越__好____．此时建立的线 性回归模型是有意义的．
假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关 关系，今测得5组数据如下：
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 (1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图； (2)求y与x之间的回归方程，并对于基本苗数56.7预报有 效穗； (3)计算各组残差，并计算残差平方和； (4)求相关指数R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百 分之几．
2.25 2.56 2.89 3.24 3.61 4.00 4.41 24.92
2.685 3.008 3.315 3.654 3.990 4.320 4.641 27.993
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^b＝27.99234－.982×－18.×751×.715.2977 5＝1115≈0.733. ^a＝1.977 5－1115×1.75≈0.694. y对x的回归直线方程为y^＝0.694＋0.733x. 回归系数^b＝0.733的含义是，在此灌溉渠道中，水深每 增加0.1 m，水的流速平均增加0.733 m/s， a^＝0.694可以解释 为水的流速中不受水深影响的部分． (2)由(1)中求出的回归直线方程，把x＝1.95代入，易得 y^＝0.694＋0.733×1.95≈2.12(m/s)． 计算结果表明，当水深为1.95 m时可以预测渠水的流速 约为2.12 m/s.
A．残差
B．回归
C．二维条形图
D．独立检验
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2．从散点图看，若样本点集中在某一条直线附近，则可
用下面的线性回归模型来表示：__y_＝__b_x＋__a_＋__e_____.其中a和b 为模型的未知参数，e称为_随__机__误__差_．把a^和^b称为未知参数a
估计成熟期有效穗为 51.113.
^
^
^
(3)由于 y＝bx＋a＋e，可以算出ei＝yi－yi，分别为e1＝
^
^
^
^
0.38，e2＝0.748，e3＝－0.47，e4＝－2.184，e5＝1.654.
残差平方和：∑i＝51e^ 2i ≈8.43.
5
(4)∑i＝1
(yi－ y )2＝50.18，
∴R2＝1－580.4.138≈0.832.
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由此建立的身高与体重的回归模型为y＝0.849x－85.712， 用这个模型预报一名身高为172 cm的女大学生的体重，则正 确的叙述是( ) C
A．体重一定是60.316 kg
B．体重在60.316 kg以上
C．体重在60.316 kg左右
D．体重在60.316 kg以下
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统计案例
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 3．1.1 线性回归方程
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基础梳理
1．回归分析是对具有_相__关__关__系_的两个变量进行统计分析 的一种常用方法．
例如：身高与体重有关系可以用______分析的方法来研 究．( B )
乙两个不同的模型，它们的相关指数R2如下：
n

yi－ ^yi2
n

yi－ ^yi2
i＝1
i＝1
R
2
甲
＝
1
－
＝
0.845
，
R
2
乙
＝
1
－
＝
n
yi－ y 2
n
yi－ y 2
i＝1
i＝1
0.82，则____甲____模型拟合的效果更好．
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自测自评 1．下列变量是相关关系的是( D ) A．人的身高与视力 B．角的大小与所对的圆弧长 C．收入水平与消费水平 D．人的年龄与身高 2．若线性回归方程中的回归系数 ^b ＝0，则相关系数为
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线性回归分析
研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之 间的关系， 测得一组数据如下：
水深x/m 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10
流速y/ (m·s－1)
1.70
1.79
1.88
1.95
2.03
2.10
2.16
2.21
(1)求y对x的回归直线方程；