高中数学《抛物线的几何性质》公开课优秀课件
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2
注:抛物线只有一个顶点，这与椭圆 有四个顶点,双曲线有两个顶点不同
4、开口方向
抛物线y2 =2px（p>0）的开
口方向向右
y 2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y 2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
y
P(x,y)
2. 3.2抛物线的简单 几何性质
图形
y
l
OF x
yl
FO x
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
方程
y2 = 2px （p>0）
y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0）
x2 = -2py （p>0）
焦点
F ( p ,0) 2
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
足y2 = 2px ，故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称.
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
３、顶点
定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线
的顶点
由y2 = 2px （p>0）当 y=0时,x=0, 因此抛 物线的顶点就是坐 标原点（0，0）
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
y2= 2 x
2
4
ห้องสมุดไป่ตู้
6
8
10
-1
3.抛物线只有--23一个顶点、
-4
o F ( p ,0)
x
2
一个焦点、一-5 条准线P越; 大,开口越大 4.抛物线的离心率是确定的,为1;
思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义） y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P( x0 , y0 )
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
焦点
准线
开口方向
y2 6x
F
(
3 2
,0)
x
3 2
开口向右
y2 4x F(1,0) x 1 开口向左
x2 4y F (0,1) y 1
2x2 7y 0
F
(0,
7 8
)
y
7 8
开口向上 开口向下
一、抛物线的几何性质
求适合下列条件的抛物线方程：
(1) 顶点在原点，关于x 轴对称，并且经 过 点M(5,-4) ; y2 16 x
5
(2) 顶点在原点，焦点是F(0,5) ; x2 20 y
(3) 顶点在原点，准线是 x=4; y2 16x
(4) 焦点是F(0,-8)，准线是 y=8. x2 32 y
例4 斜率为1的直线Ｌ经过抛物线y2=4x的焦点, 且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
o F ( p ,0) x
2
5、离心率
抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离 之比，叫做抛物线 的离心率，由抛物线的 定义，可知e=1
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径
通径的长度：2P
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做 抛物线的焦半径
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
P69 思考
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称 轴是坐标轴并且经过点M（２，2 2 ）， 求它的标准方程
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无
限延伸,但它没有渐近线;
y2=4x
4
y2=2x
2.抛物线只有32一条对称轴,没有 y2=x1
y
P(x,y)
1
对称中心-;2
法1 利用两点间距离公式
x+１=0
AB (x1x2)2 (y1 y2)2
Ａ ‘
y Ａ
法2 AB 1 k 2 x1 x2
o F(１,0)
x
1 k 2
(x1 x2)2 4x1x2
Ｂ ‘
Ｂ
x 法3 |AB|=x1+ 2+P
变式：经过焦点且斜率为1的直线被抛物线
y2 2 px( p 0)所截得的弦长为8，求抛物
(A) 5 2
(B)2
(C)3
(D) 11
4
2.点 A 的坐标为(3，1)，若 P 是抛物线 y2 4x 上
的一动点，F 是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小
值为( B )
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
线方程
y
Ａ
Ａ
‘
oF
x
Ｂ
Ｂ
‘
例5. 经过抛物线的焦点F一条直线和这抛物 线相交于两点A, B ，通过点A和抛物线顶点 的直线交准线于点D，
求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
y
A
OF
x
D
B
课堂练习2：
1.AB 是抛物线 x=y2 的一条焦点弦，且｜AB｜=4，
D 则 AB 的中点到直线 x+1=0 的距离为( )
y
P(x,y)
1、范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
而 2 px y2 0
o F ( p ,0) x
2
p0
x 0
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限
延伸。
2、对称性
(x, y) 关于x轴 (x, y) 对称 由于点(x, y) 也满
注:抛物线只有一个顶点，这与椭圆 有四个顶点,双曲线有两个顶点不同
4、开口方向
抛物线y2 =2px（p>0）的开
口方向向右
y 2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y 2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
y
P(x,y)
2. 3.2抛物线的简单 几何性质
图形
y
l
OF x
yl
FO x
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
方程
y2 = 2px （p>0）
y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0）
x2 = -2py （p>0）
焦点
F ( p ,0) 2
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
足y2 = 2px ，故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称.
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
３、顶点
定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线
的顶点
由y2 = 2px （p>0）当 y=0时,x=0, 因此抛 物线的顶点就是坐 标原点（0，0）
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
y2= 2 x
2
4
ห้องสมุดไป่ตู้
6
8
10
-1
3.抛物线只有--23一个顶点、
-4
o F ( p ,0)
x
2
一个焦点、一-5 条准线P越; 大,开口越大 4.抛物线的离心率是确定的,为1;
思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义） y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P( x0 , y0 )
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
焦点
准线
开口方向
y2 6x
F
(
3 2
,0)
x
3 2
开口向右
y2 4x F(1,0) x 1 开口向左
x2 4y F (0,1) y 1
2x2 7y 0
F
(0,
7 8
)
y
7 8
开口向上 开口向下
一、抛物线的几何性质
求适合下列条件的抛物线方程：
(1) 顶点在原点，关于x 轴对称，并且经 过 点M(5,-4) ; y2 16 x
5
(2) 顶点在原点，焦点是F(0,5) ; x2 20 y
(3) 顶点在原点，准线是 x=4; y2 16x
(4) 焦点是F(0,-8)，准线是 y=8. x2 32 y
例4 斜率为1的直线Ｌ经过抛物线y2=4x的焦点, 且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
o F ( p ,0) x
2
5、离心率
抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离 之比，叫做抛物线 的离心率，由抛物线的 定义，可知e=1
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径
通径的长度：2P
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做 抛物线的焦半径
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
P69 思考
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称 轴是坐标轴并且经过点M（２，2 2 ）， 求它的标准方程
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无
限延伸,但它没有渐近线;
y2=4x
4
y2=2x
2.抛物线只有32一条对称轴,没有 y2=x1
y
P(x,y)
1
对称中心-;2
法1 利用两点间距离公式
x+１=0
AB (x1x2)2 (y1 y2)2
Ａ ‘
y Ａ
法2 AB 1 k 2 x1 x2
o F(１,0)
x
1 k 2
(x1 x2)2 4x1x2
Ｂ ‘
Ｂ
x 法3 |AB|=x1+ 2+P
变式：经过焦点且斜率为1的直线被抛物线
y2 2 px( p 0)所截得的弦长为8，求抛物
(A) 5 2
(B)2
(C)3
(D) 11
4
2.点 A 的坐标为(3，1)，若 P 是抛物线 y2 4x 上
的一动点，F 是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小
值为( B )
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
线方程
y
Ａ
Ａ
‘
oF
x
Ｂ
Ｂ
‘
例5. 经过抛物线的焦点F一条直线和这抛物 线相交于两点A, B ，通过点A和抛物线顶点 的直线交准线于点D，
求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
y
A
OF
x
D
B
课堂练习2：
1.AB 是抛物线 x=y2 的一条焦点弦，且｜AB｜=4，
D 则 AB 的中点到直线 x+1=0 的距离为( )
y
P(x,y)
1、范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
而 2 px y2 0
o F ( p ,0) x
2
p0
x 0
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限
延伸。
2、对称性
(x, y) 关于x轴 (x, y) 对称 由于点(x, y) 也满