[学习]复变函数与积分变换课件3.4解析函数的高阶导数

2πi (ez )99
99!
z0
2πi 99!
.
4
§3.4 解析函数的高阶导数
第
三
例
计算 I
|z|2
ez
(z2 1)2 dz .
章 复
解
(1) 令
f (z)
ez
(z2 1)2
ez
(z i)2(z i)2
.
变
C1 i
C
C2
2
i
函 数
如图，作 C1, C2两个小圆，
的 积
则 I f (z)dz f (z)dz (复合闭路定理)
分
取 Δz 适当小，使其满足 |Δz | d , 则
2
| z z0 Δz| | z z0 | |Δz|
d 2
,
即得
|I|
|z| 2π
2 d
1 d2
ML
0, (z 0),
19
§3.4 解析函数的高阶导数
第 附：高阶导数定理的证明
三 章
证明
(2) 对于 n 2的情形
由于前面已经证明了解析函数的导数仍是解析函数， 复
则 f (z) 为一常数。
8
§3.4 解析函数的高阶导数
第 例 (代数基本定理) 设函数 f (z) anzn an1zn1 a1z a0 ,
三 章
其中，an 0 , n 为正整数，证明方程 f (z) 0 在全平面上
复
至少有一个根。
变 函
证
(反证法) 假设 f (z) 0 在全平面上无根，即 f (z) 0 (z),
| z |2
1 (2 | z |)
ds
1 2πr , 2πr
|
f (0)|
1 2πr2(2 r)
2πr 1,
11
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复
变
证 (1) | f (0)| 1 2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds ,
函
数 的
(2)
| f (0)|
1 2πr2(2 r)
变
因此将 f (z) 作为新的函数，用同样的方法求极限：
函
数
lim f (z0 Δz) f (z0 ) ,
的
Δz0
Δz
积
分
即可得
f
( z0
)
2! 2πi
C
(
z
f (z) z0 )3
d
z
.
(3) 依此类推，则可以证明
f (n)(z0 )
n! 2πi
C
f (z) (z z0 )n1
dz ,
函
则函数 f (z) 在 | z | r 内解析， 由高阶导数公式有
数
的wk.baidu.com积 分
f (0) 1
2πi
|z| r
f (z) z2
dz
,
| f (0)|
1 2πi
|z| r
f (z) z z z2
dz
,
| f (0)| 1
2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds,
10
§3.4 解析函数的高阶导数
推出一些理论结果。
3
§3.4 解析函数的高阶导数
第
P73 例3.12 部分
三
章
解 复
| zi | 1
cos z (z i)3
dz
2πi cos z
2!
zi
变 函
πi cos i πi (e e1 ) .
2
数
的
积 分
例 计算
ez
| z| 1 z100 dz .
解
ez
| z| 1 z100 dz
C1
C2
分
C1
ez
(z i)2
dz (z i)2
C2
ez
(z i)2
dz (z i)2
记为
I1 I2.
5
§3.4 解析函数的高阶导数
第
三
例
计算 I
|z|2
ez
(z2 1)2 dz .
章
复
解
(2)
I1
C1
ez
(z i)2
dz (z i)2
变
函 数 的
(高阶导数公式)
2πi 1!
的 积
证明
由函数 f (z)在 D D C 上连续，有
分
| f (z)| 在 D D C 上有界，即 | f (z)| M .
设边界 C 的长度为 L。
(1) 先证
n 1 的情形，即证
f (z0 )
1 2πi
C
f (z) (z z0 )2
dz .
16
§3.4 解析函数的高阶导数
第 附：高阶导数定理的证明
P74 定理3.11
复 变
证明 设 z0 为平面上任意一点，
函 数
R 0 , 函数 f (z) 在 | z z0 | R 上解析，且 | f (z)| M ,
的 积 分
根据柯西不等式有
| f (z0 )|
M, R
令 R , 即得 f (z0 ) 0 ,
由 z0 的任意性，知在全平面上有 f (z) 0 ,
休息一下 ……
15
§3.4 解析函数的高阶导数
第 附：高阶导数定理的证明
三 章
定理 如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，在 D D C 上连续，
复
则 f (z)的各阶导数均在 D上解析，且
变 函 数
f (n)(z0 )
n! 2πi
C
f (z) (z z0 )n1
dz ,
(z0 D).
| f (n)(z0 )|
n! 2π
| z z0 | R1
| f (z)| | z z0 |n1
ds
n! M R1n
,
令 R1 R ,
即得
| f (n)(z0 )|
n! M Rn ,
(n 1, 2, ).
7
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三、刘维尔定理
三 章
定理 设函数 f (z) 在全平面上解析且有界，则 f (z) 为一常数。
第 附：高阶导数定理的证明
三
章
证明
(1) 先证
n 1 的情形，即证
f (z0 )
1 2πi
f (z) C (z z0 )2 dz .
复 变 函
I z 2πi
C
(z z0
f (z) z)(z z0 )2
dz .
D
数 的
如图，设 d 为 z0 到 C 的最短距离， C
z0 d
积
即 | z z0 | d,
复
P71 定理
则 f (z)的各阶导数均在 D上解析，且
变 3.9 函
f (n)(z) n!
2πi
C
f ( ) ( z)n1
d ,
(z D).
数
的 证明 (略)
(进入证明?)
积
分 意义 解析函数的导数仍解析。
应用
反过来计算积分
C
f (z) (z z0 )n1
dz
2πi n!
f (n)(z0 ).
f (z)
dz ,
z 2πi C (z z0 z)(z z0 )
数 的 积
f 1
z 2πi
f (z) C (z z0 )2 dz
分
z 2πi
f (z) C (z z0 z)(z z0 )2 dz
记为 I .
下面需要证明：当 z 0 时，I 0.
18
§3.4 解析函数的高阶导数
f (z) z0
积 分
2 f (0) ;
f (0)
(4) 由 | f (z) 2| | z|, | f (0) 2| 0, f (0) 2;
即得 1
(z f (z) ) dz f (0).
πi |z| 1
f (z) z
14
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复 变 函 数 的 积 分
[
ez
(z i)2
]
zi
积 分
π (1 i)ei .
2
同样可求得
I2
π 2
(1
i)ei
.
(3)
I
I1 I2
π 2
[(1 i)ei
(1 i)ei ]
C1 i
C
C2
2
i
2πi sin(1 π ) . 4
6
§3.4 解析函数的高阶导数
第 二、柯西不等式
三 章
定理 设函数 f (z) 在 | z z0 | R内解析，且 | f (z)| M , 则
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三
§3.4
解析函数的高阶导数
章 一、高阶导数定理
复 变
二、柯西不等式
函 数
三、刘维尔定理
的
积
分
1
§3.4 解析函数的高阶导数
第 一、高阶导数定理
三 章
分析 如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，在 D D C 上连续，
复 变
则由柯西积分公式有
f (z)
1 2πi
C
f ( ) d , z
(z D).
函
数 的 积
又 d [( z)1] ( z)2 ,
dz
d2 dz2
[(
z)1]
2 (
z)3 ,
分
……
dn dzn
(
1 ) n!(
z
z)(n1)
(
n! z)n1
,
2
§3.4 解析函数的高阶导数
第 一、高阶导数定理
三 章
定理 如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，在 D D C 上连续，
三
章
证明
(1) 先证
n 1 的情形，即证
f (z0 )
1 2πi
f (z) C (z z0 )2 dz .
复 变 函
根据柯西积分公式有
f (z0 )
1 2πi
f (z) dz ,
C z z0
数 的
f f (z0 z) f (z0 )
积
z
z
分
1
f (z)( 1 1 )dz
2πiz C
第 三 章
复
变
证 (1) | f (0)| 1 2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds ,
函
数 的
(2) 由 | f (z) z |
1, |2 z|
有
积 分
| f (0)| 1
2π
|z| r
| z |2
1 |2 z|
ds
1 2π
1 ds
|z| r |z|
1
2π
|z| r
P73
复 定理 变 3.10
| f (n)(z0 )|
n! M Rn ,
(n 1, 2, ).
(柯西不等式)
函 数
证明
R1 : 0 R1 R , 函数 f (z) 在 | z z0 | R1 上解析，
的 积 分
f (n)(z0 )
n! 2πi
f (z) |zz0 | R1 (z z0 )n1 dz , (n 1, 2 , ) .
分
在 | z | 2内，f (z) 0 ，
z f (z) 在 | z | 2 内解析； f (z)
13
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复
变 证 (3) 根据柯西积分公式有
函 数 的
1
(z f (z) ) dz 2πi 1 (z f (z) )
πi |z| 1
f (z) z
πi
(z0 D).
(返回)
20
数 的
则函数 (z) 1 在全平面上解析，
f (z)
积
分
又
lim
z
(z)
lim
z
anzn
1 an1zn1
a1z
a0
0,
故 (z) 在全平面上有界，根据刘维尔定理有
(z) C (常数)， f (z) C1(常数)， 与题设矛盾。
9
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复 变
证
(1) 任取正数 r 2 , (注意 f (z)在 | z | 2上的性态不知道)
2πr 1
1 r(2 r)
1,
积
分
(3) 令 r 1得 | f (0)| 2 .
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§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复
变 证 (1) 由于 f (z) 在 | z | 2内解析，根据高阶导数定理可得
函
数
在 | z | 2 内，f (z) 也解析；
的
积
(2) 由 | f (z) 2| | z| 可得
z z0 z z z0
f 1
f (z)
dz ,
z 2πi C (z z0 z)(z z0 )
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§3.4 解析函数的高阶导数
第 附：高阶导数定理的证明
三
章
证明
(1) 先证
n 1 的情形，即证
f (z0 )
1 2πi
f (z) C (z z0 )2 dz .
复 变 函
f 1