概率论与数理统计(事件的独立性)

P( AB) = P( A)P(B) 二者之间没 有必然联系 AB = ∅
1.6.1 事件的独立性
相互独立， 【 例 1.19】 证明若事件 与 B相互独立 ， 则下列各 】 证明若事件A与 相互独立 对事件也相互独立： 对事件也相互独立： A与 B，B与 A ， 与 B 与 与 A 证：因为 A = A( B ∪ B ) = AB ∪ A B 所以 P ( A) = P ( AB ∪ AB ) = P ( AB ) + P ( AB )
1.6.1 事件的独立性
请思考: 请思考: 两事件相互独立 两事件互不相容 请看例子
P( AB) = P( A)P(B) 二者之间 的关系？ 的关系？ AB = ∅
B
1 1 若 P ( A) = , P ( B ) = , 2 2
AB
A
则 P ( AB ) = P ( A) P ( B ).
但 AB ≠ φ ,
1.6.1 事件的独立性
2．多个事件的独立性 定义1.8 设A,B,C 为三个事件，如果等式 为三个事件， 定义 P(AB ) = P( A )P( B ) P(BC ) = P( B )P(C ) P(AC ) = P(A)P(C ) P(ABC ) = P(A )P(B )P(C ) 都成立，则称事件 ， ， 相互独立 都成立，则称事件A，B，C相互独立 注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立 另外,仅由 既不能保证A、 、 另外 仅由P(ABC)=P(A)P(B)P(C),既不能保证 、B、 仅由 既不能保证 C两两相互独立 更不能保证三事件相互独立． 两两相互独立,更不能保证三事件相互独立 两两相互独立 更不能保证三事件相互独立．
1.6.1 事件的独立性
在实际应用中， 在实际应用中，事件的独立性常常根据事件 的实际意义去判断． 的实际意义去判断． 一般情况下， 一般情况下，若各事件之间没有关联或关联 很弱，就可以认为它们是相互独立的． 很弱，就可以认为它们是相互独立的．
1.6.1 事件的独立性
【例1.22】设某地区某时间每人的血清中含有肝炎 】 病毒的概率为0.4%，混合 个人的血清， 病毒的概率为 ，混合100个人的血清，求血清 个人的血清 中含有肝炎病毒的概率． 中含有肝炎病毒的概率． 人的血清中含有肝炎病毒” 解：设Ai =“第i人的血清中含有肝炎病毒”，i = 第 人的血清中含有肝炎病毒 1, 2, …, 100， ， 可以认为诸A 是相互独立的， 可以认为诸 i是相互独立的，从而诸 Ai 也是相互独 立的， 立的，且 P ( Ai ) = 1 − 0.004 = 0.996, 则要求的概率为 P ( ∪ Ai ) = 1 − P ( ∩ Ai )
1.6.1 事件的独立性
故有
1 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) = , 4 1 P ( BC ) = P ( B ) P (C ) = , 4 P ( AC ) = P ( A) P (C ) = 1 , 4
两两独立. 则三事件 A, B, C 两两独立
1.6.1 事件的独立性
显然, P ( A) = 2 , P ( B ) = 1 , P (C ) = 1 , P ( AB) = 1 , 显然
25 2 4 100 1 1 P ( BC ) = , P ( AC ) = , P ( ABC ) = 1 , 4 100 100
故P(ABC) = P(A)P(B)P(C)． ． 显然又有 P(AB) ≠ P(A)P(B) P(AC) ≠ P(A)P(C) P(BC) ≠ P(B)P(C) 不是两两相互独立的． 即 A、 B、 C不是两两相互独立的 ． 更不是相互独 、 、 不是两两相互独立的 立的. 立的
1.6.1 事件的独立性
两个结论
(1 ) 若事件 A1 , A2 , ⋯ , An ( n ≥ 2) 相互独立 , 则 其中任意 k ( 2 ≤ k ≤ n)个事件也是相互独立 .
(2 ) 若 n 个事件 A1 , A2 , ⋯ , An ( n ≥ 2)相互独立 , 则将 A1 , A2 , ⋯ , An 中任意多个事件换成它 们的对 立事件 , 所得的 n 个事件仍相互独立 .
1.6.1 事件的独立性
伯恩斯坦反例 20】一个均匀的正四面体， 【 例 1.20】 一个均匀的正四面体 ， 其第一面染成 红色，第二面染成黄色 ， 第三面染成蓝色，而第 第二面染成黄 第三面染成蓝 四面同时染上红 三种颜色. 四面同时染上红、黄、蓝三种颜色.现以 A ，B，C 分别记投一次四面体出现红 出现红、 分别记投一次四面体出现红、黄、蓝颜色朝下的事 是否相互独立? 件， 问 A，B，C是否相互独立 ， ， 是否相互独立 解 由于在四面体中红、黄、蓝分别出现两面， 由于在四面体中红、 蓝分别出现两面， 1 因此P ( A) = P ( B ) = P (C ) = , 2 1 又由题意知 P ( AB ) = P ( BC ) = P ( AC ) = , 4
1.6.1 事件的独立性
一般地，有下面定义： 一般地，有下面定义： 定义1.7 设 A， B是两个事件 ， 如果 是两个事件， 定义 ， 是两个事件 如果P(AB)= P(A)P(B)，则称 与B相互独立． 相互独立． ，则称A与 相互独立 显然， 显然 ， 当 P(A)>0时 ， A与 B相互独立当且仅当 时 与 相互独立当且仅当 P(B|A) = P(B)． P(B)． 显然， 显然 ， 当 P(B)>0时 ， A与 B相互独立当且仅当 时 与 相互独立当且仅当 P(A|B) = P(A)． ．
地取两次 .记 A = 第一次抽取 , 取到绿球” 取到绿球” , “
则有 P ( B A) = P ( B ), 它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小 .
由P ( B A ) = P ( B )
B = 第二次抽取 , 取到绿球” 取到绿球” , “
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
可见两事件相互独立，但两事件不是互不相容的！ 可见两事件相互独立，但两事件不是互不相容的！ 两事件相互独立 不是互不相容的
1.6.1 事件的独立性
再看例子
1 1 若 P ( A) = , P ( B ) = , 2 2
AB = φ ,
1 则 P ( AB ) = 0, P ( A) P ( B ) = , 4 故 P ( AB ) ≠ P ( A) P ( B ) .
= P ( A) P ( B ) + P ( AB ) P ( AB ) = P ( A)[1 − P ( B )] = P ( A) P ( B )
即A与 B 相互独立． 与 相互独立． 相互独立， 由此可推出 A 与 B 相互独立， 再由 B = B又推出B与 A 相互独立． 又推出 与 相互独立．
= 1 − P ( A1 ) − P ( A2 ) + P ( A1 A2 ) 3 3 考虑到三次取数相互独立 P ( A1 ) = 8 , P ( A2 ) = 5 , 9 9
1.6.1 事件的独立性
所以
4 P ( A1 A2 ) = 9
3
A = (A1∪A2∪A3) (B1∪B2∪B3)， ，
由于 所以
A = ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) ∪ ( B1 ∪ B2 ∪ B3 )
= ( A1 A2 A3 ) ∪ ( B1 B2 B3 )
P ( A ) = P ( A1 A2 A3 ) + P ( B1 B2 B3 ) − P ( A1 A2 A3 B1 B2 B3 )
可见两事件互不相容但不独立 可见两事件互不相容但不独立. 两事件互不相容
B
A
所以，相互独立和互不相容是两个不同的 所以，相互独立和互不相容是两个不同的 概念，不要把它们相容相混淆． 概念，不要把它们相容相混淆．
1.6.1 事件的独立性
事实上： 事实上： 当P(A)P(B) > 0时， 时 A与B独立等价于 与 独立等价于P(B|A)=P(B)且P(Ａ|Ｂ)= P(Ａ)， 独立等价于 且 ， 是否发生互相没有影响， 说明 Ａ ,B是否发生互相没有影响 ， 因此 与 B独立 是否发生互相没有影响 因此A与 独立 一定不是互不相容的，反之A与 互不相容一定不 一定不是互不相容的 ， 反之 与 B互不相容一定不 独立． 独立． 之一为Ф时 当A，B之一为 时， ， 之一为 P(AB) = P(A)P(B)与Ａ∩B ＝ Ф同时成立，即独立 同时成立， 与 同时成立 与互不相容并存． 与互不相容并存． 两事件相互独立 两事件互不相容
P ( A) = 1 − P ( A1 ) − P ( A2 ) + P ( A1 A2 )
8 5 4 = 1 − − + = 0.214 9 9 9
3 3 3
1.6.1 事件的独立性
解法二： 解法二： 设Ak表示“第k次取得数字 ，Bk表示“第k次 表示“ 次取得数字5”， 表示“ 次 次取得数字 取得偶数” 取得偶数”，k = 1，2，3，则 ， ， ，
第1章 概率论基础 章
1.6 独立性
1.6.1 事件的独立性
1．两个事件的独立性 ．
我们知道条件概率P(B|A)与无条件概率 与无条件概率P(B)不一 我们知道条件概率 与无条件概率 不一 但是在一些特殊情况下它们相等． 但是在一些特殊情况下它们相等． 定相等， 定相等， 例如 盒中有 5个球 ( 3绿 2红 ), 每次取出一个 , 有放回
1.6.1 事件的独立性
定义推广：如果事件 定义推广：如果事件A1,A2,…,An（n ≥ 2）中任 ） 意k（2 ≤k ≤ n）个事件积事件的概率都等于各个 （ ） 事件的概率之积，则称 相互独立； 事件的概率之积，则称A1,A2,…,An相互独立； 如果A 中任意两个 事件相互独立， 两个事件相互独立 如果 1,A2,…,An 中任意 两个 事件相互独立 ， 则称A1,A2,…,An两两独立． 两两独立． 则称 n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立 个事件两两相互独立
1 1 由于P ( ABC ) = ≠ = P ( A) P ( B ) wk.baidu.com (C ), 4 8
因此 A，B，C 不相互独立 ， ， 不相互独立.
1.6.1 事件的独立性
另一个反例(略 另一个反例 略) 个球， 【 例 1.21】 设一口袋中有 】 设一口袋中有100个球 ， 其中有 个是 个球 其中有7个是 红的， 个是黄的 个是黄的， 个是黄蓝两色的 个是黄蓝两色的， 个是红 红的，25个是黄的，24个是黄蓝两色的，1个是红 黄蓝三色的，其余43个是无色的 个是无色的． 黄蓝三色的 ， 其余 个是无色的 ． 现从中任取一 个球， 分别表示取得的球有红色的、 个球 ， 以 A、B、C分别表示取得的球有红色的、 、 、 分别表示取得的球有红色的 有黄色的、有蓝色的事件． 有黄色的、有蓝色的事件．
1.6.1 事件的独立性
由于是有放回的取数， 由于是有放回的取数 ， 所以各次抽取结果相互独 立，并且
i =1
i =1
100
100
= 1 − ∏ P ( Ai ) = 1 − 0.996100 ≈ 0.33
i =1
100
1.6.1 事件的独立性
个数字中， 【例1.23】从1至9这9个数字中，有放回地取 个数 】 至 这 个数字中 有放回地取3个数 每次任取1个 求所取的3个数之积能被 个数之积能被10整 字 ， 每次任取 个 ， 求所取的 个数之积能被 整 除的概率． 除的概率． 解法一： 所取的3个数之积能被 整除” 解法一：设A =“所取的 个数之积能被 整除”， 所取的 个数之积能被10整除 A1 =“所取的 个数中含有数字 ，A2 =“所取的 个 所取的3个数中含有数字 所取的3个 所取的 个数中含有数字5”， 所取的 数中含有偶数” 数中含有偶数”， 则A = A1A2， 所以 P ( A) = P ( A1 A2 ) = 1 − P ( A1 A2 ) = 1 − P ( A1 ∪ A2 )