超晶格材料superlattices_(graduate)

dPz dt
Fz
(1).
U
这里 Pz kz 为电子的动量， 电场强度 U , D是总的厚度。
D
.
2 3 4 U (V )
GaAs
AlGaAs GaAs AlGaAs GaAs
I
z
y
x
dkz e
(2).
dt
得到
kz
e
t
（3）
注意到
dkz dt
dkz dE
dE dt
dkz dE
Fz v z
h
空带
n
Pn
h
满带
p
半导体中电子和空穴的复合从而释放出光子来. 电源可以将电子从p型半导体经电源拉到n 型半导体, 增大了电子空穴复合的机会,也. 就增大了发射出的光子数.
h
Pn
单位时间内发射的光子数 与单位时间内注入的电子空穴对数 n
成正比,与电子空穴复合所需要的
时间 成反比,即
Vn I
1 dE
Fz v z
与（1）式比较，得到：
dkz
vz
1
dE dkz
(4)
对电子能量表达式
求导，得到：
E
J0
2 2m
(k
2 x
k
2 y
)
J
cos(kzd )
vz
Jd sin(kzd )
J d sin eUtd D.
(5) .
于是电流密度为
j
vz
Jd
sin etdU D
电流强度为
I
.
四. 主要应用 （1）场效应管, (2) 激光器工作物质，（3）传感器 （4）光波导, （5）自旋电子器件.
由于这种材料作成的器件主要靠电子工作，量子效应 起主要作用。所以下面的内容，先简单介绍一下量子 力学知识，然后介绍超晶格的伏安特性和量子Hall 效应
.
第一节 量子力学简介
量子力学用来描述微观粒子在小尺度(〈0.1m)内运动， 已经成为材料科学和高技术的基础理论。半导体器件、
激光器的工作原理都源于量子力学。超晶格材料的物性
也需要用量子力学知识来解释。
一. 量子力学方程-薛定谔方程
建立薛定谔方程的步骤：
(1).写出能量表达式
E 1 2m
Px2 Py2 Pz2
U
（2).两边乘以波函数Ψ .
E
1 2m
Px2 Py2 Pz2
U
（3）.将能量和动量算符化
下面将 evB c e 中的物理量用实验上可测的物理量
表示。 两边同时乘以电子浓度n,同时乘以ab
abnevB eabn
B
c IB
c
于是有：
U
eUH bn
H
IB ebnc
RH
I
b GaAs
I
这里
RH
B ebnc
AlGaAs a
称为霍耳电阻。 注意到 ns nb 为面电子浓度。
RH
B
霍RH耳电en阻sc与磁感应强度成线性关系。 .
E i t
Px
i x
Py
i y
Pz
i z
（4）.于是得到
i t
( x, t )
2 2m
(
2 x2
2 y 2
2 z 2
)(
x,
t)
U (x,t)
(x,
t)
此为薛定谔方程。
.
i t
( x, t )
2 2m
(
2 x2
2 y 2
2 z 2
)(
x,
t
)
U (x,t)
(x,
t)
或写成
i (r, t) [ 2 2 U(r, t)] (r,Leabharlann t)ypz2
Lz nz
nx ny
0,
1,
2,
3...
nz
动量取离散值
.
含时间的波函数为
Aei (
px
x
p
y
y
pz
z
)
i Et
Aei
2nx
Lx
x 2ny
Ly
y 2nz
Lz
z
2mi
2nx
Lx
2
2n y
Ly
2
2nz
Lz
2
t
nx ,ny ,nz
nx,
ny ,
t
2m
这里
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
令
Hˆ 2
2 U(r,t)
称为粒子的哈密顿量
2m
于是 i (r, t) Hˆ (r, t) t
.
dV
(r,t) 表示粒子所处的状态，属微观量
(r, t) 2 *(r, t)(r, t) 表示 t 时刻
在空间 r 处单位体积内发现电子的概率.
在体元 内发现电子的概率为:
这里 V 是结的体积.
与材料性质有关.
.
四. 半导体超晶格激光器 1.半导体激光的工作原理
空带
空带
h
h
2h
满带
受激吸收过程
满带
受激辐射过程
.
2. 超晶格激光器
AlGaGAasAAs lGaGAasAAs lGaGAasAsAlGaAs GaAs
光子沿平行界面层的方向发射出来。GaA层s 又起到 光波导的作用。
粒子的状态可以用三种描述：波函数
以粒子作自由运动为例
量子数 z
电子运动的定态薛定锷方程为：
2 2m
2 x2
2 y2
2 z2
E
Lz
.
x
Ly
y
Lx
2 2m
2 x2
2 y2
2 z2
E
此方程的解可设为：
Aei (
px
x
p
y
y
pz
z
)
利用周期性边界条件：
z
(x, y, z) (x Lx, y, z)
dpx dkx , dpy dky , dpz dkz
所以
dN
dnx dny dnz
Lx Ly Lz
2 3
dkx dk y dkz
.
dN
Lx Ly Lz
2 3
dkx dk y dkz
波矢空间单位体积内拥有的微观态数为 Lx Ly Lz
2 3
若电子在二维平面上作准自由运动，
波矢空间单位面积内拥有的微观态
3
0,0
B
低温下霍耳电阻与磁感应强度的关系可以用量子 力学
知识予以解释。
B
磁关感系应为强B度 B与 A矢势A之间的
或用分量式表示：
b GaAs
I
Bx
Az y
Ay z
By
Ax z
Az x
AlGaAs a
z
y
x
Bz
Ay x
Ax y
若
B
沿z轴方向，相对应的矢势可表示为
A Ay j Bxj
.
GaAs层中电子在磁场作用下的运动方程为
dV (r, t) 2 dV
若粒子在运动过程中能量守恒，波函数可以写成
(x, y, z,t) (x, y, z ) T (t)
于是含时间薛定谔方程可以写成
.
[ 2 2 U (x, y, z)](x, y, z) E(x, y, z) 2m
称为定态薛定谔方程
二. 粒子微观态的三种等价描述 力学量
E
1
P
e
A2
2m c
P2 2m
e 2mc
P A
e 2mc
A P
e2 2mc2
A2
将
P
i
库仑规范
带入上式，并应用
A
0
，于是得到：
B
E
2 2 2m
i
e 2mc
A
e2 2mc2
A2
b GaAs
I
AlGaAs a
电子在平行于界面的方向作准自由
运动，故该方向的波应有平面波的
z
dpxdpydpz
2
Lx
2
Ly
2
Lz
dnx
dn
y
dnz
.
dnxdnydnz
Lx Ly Lz
23
dpxdpydpz
这是动量区间
px px dpx py py dpy pz pz dpz
内粒子具有的微观态数
dN
dnxdnydnz
Lx Ly Lz
23
dpxdpydpz
由于 px kx , py ky , pz kz
电子在前侧面聚集，在前侧面积累负电荷，于是在后
侧面出现正电荷，在前后两侧面间建立起电场，此时
GaAs层中的电子所受力除洛伦兹力，还有电场力。电场
力的方向和磁场力的方向相反。
B
当两力达到平衡时 evB c e
电子运动达到动态平衡。这时
前后两个表面间产生电势差， 又称为霍耳电动势。
.
b GaAs
I
AlGaAs a
(x, y, z) (x, y Ly, z)
y
Lz
Lz
(x, y, z) (x, y Lz, z)
Lx
Lx
可得到：
x
Ly
Ly
.
Ae Ae i (
px
x
p
y
y
pz
z
)
i
px ( xLx ) py y pz z )
1 ei
px
Lx
得到：px Lx
2nx
px
2
Lx nx
同理：
py
2
Ly
n
y
特点。
x
.
设方程的特解为 (x, y, z) eiky yT (x)F (z) 带入方程，得到
ET ( x)F ( z)
2 2m
2 x2
2 z 2
2
k
2 y
2m
eBky mc
x
e2B2 mc
x2 T (x)F (z)
方程两边同时除以 T (x)F(z) ，可得到两个方程：
Ez F (z)
t
Svz
S J
d
sin
etdU D
应理解成电子的迟豫时间。当
这里S是界面面积，
etdU 时，
D 2
电流开始变小。这就解释了为什么当电压超过某一值后
出现负阻的原因。用这种方法，我们还能确定电子迟豫
时间值。 负阻的出现是电子在垂直于界面的方向电子 运动受到超晶格周期场的调制所致。
.
三.发光二极管 LED (Light-emitting diode)
.
第三节 量子霍耳（Hall）效应
一. 经典霍耳效应 用一个周期来分析
1879年霍耳（A.H.Hall） 发现：在匀强磁场中通电
的金属导体板或半导体板
b
的两个侧面出现横向电势
差，这一现象称为霍耳效应
实验发现：
IB UH b
.
B
I
GaAs
AlGaAs a
GfmaAs层 ce中v的电B子所受的洛伦兹力为：
n z
nx ,ny ,nz
量子数每取定一组值，就对应一种形式的波函数
也就对应粒子的一个微观态。
.
nx,
ny ,
n z
nx ,ny ,nz
量子数的取值花样个数等于粒子所具有的总的微观态数。
px
2
Lx
nx
py
2
Ly
n
y
pz
2
Lz
nz
对d动p量x 的2L三x个d分nx 量d表py达式2L两y边dn微y 分，d然pz 后 乘2L到z一dn起z
.
AlGaAs GaAs
AlGaAs GaAs AlGaAs
AlGaAs层中导带中的电子流入 GaAs 层，该层中的
电子浓度加大，导电性增强。
.
通过求解薛定谔方程，可解得超晶格材料的电子能带。
其中导带能级表达式为
E
J0
2 2m
(k
2 x
k
2 y
)
J
cos (k z d
)
这里 kx , k y , kz 是三个坐标轴方向
2 2m
2F(z) z 2
(1)
E
2
k
2 y
2m
Ez
T (x)
2 2m
2 x2
e2B2 mc
x
ck y eB
2
T (x)
(2)
解这两个方程，我们可以解得
Ez
2 2m
nz
b
这里 nz 1,2,3,...
.
三. 超晶格材料性质
以GaAs/AlGaAs超晶格为例 （1）在垂直于界面方向电子运动受限。 （2）GaAs层中电子浓度较高，电子
在平行界面方向迁移率较大
GaAs
AlGaAs GaAs AlGaAs GaAs
v E
v电子速度, E电场强度， 电子迁移率。
（3）界面效应比较明显。
（4）低温时出现量子Hall效应，电子气体出现复杂的相， 如条纹相等。
的波矢量分量。它们同动量的关系为
P k
J0 , J 是两个常数，与原子间电子
GaAs
AlGaAs GaAs AlGaAs GaAs
z
云的交叠程度有关。 d 为超晶格的
y
周期。
x
.
二. 超晶格材料的伏安特性 GaAs/AlGaAs超晶格材料
测量电压和电流间的关系。 U
d 70A0 发现大于2V后
出现负微分电阻。
I (mA)
100
50
0,0 1
2
3
4 U (V )
.
GaAs
AlGaAs GaAs AlGaAs GaAs
I
下面解释一下为什么这样？ I(mA)
按照电流密度的表达式： 100
j vz
为电荷密度，vz 为电子在
50
在z轴方向的 运动速度。
0,0
1
电子运动速度与导带的结构有关。
电子沿 z 轴方向的运动方程为
Ly
数为
Lx Ly
2 2
Lx
.
第二节 超晶格材料的伏安特性
一.超晶格材料的能带结构特点 描述电子微观运动的方程-薛定谔方程
[ 2 2 U(x, y, z)](x, y, z) E(x, y, z) 2m
单独GaAs或AlGaAs的能级结构 呈带状。
GaAs
AlGaAs GaAs AlGaAs GaAs
超晶格材料
参考文献： 夏建白：超晶格物理，（科学出版社，1995）。 李铭复：半导体物理学， （科学出版社，1991）。
主讲人：
.
超晶格材料 冯澎
引言
一.超晶格概念 超晶格（superlattices) 概念是1969年由Esaki和Tsu 提出的
L.Esaki and R. Tsu, IBM J. Res. Develop., 14, 61(1970) 两种或两种以上的物质交替周期性地生长而成的层状材料
称为超晶格材料。如GaAs/AlGaAs
超晶格材料。不仅半导体能
形成超晶格材料，金属也能