几种简单几何图形及其推理(一)

说明：⑴互余、互补是指两个角的关系；
⑵互补或互余的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关；
⑶同一个角的余角与补角相差90°。
想一想：1.如图OC⊥AB，∠1=∠2，图中共有多少对互为余角的角？
答：∠2与∠COE，∠AOD与∠1，∠1与∠COE，∠AOD与∠2
动手实践并回答问题
举例说明
思考回答问题
演示课件
培养学生初步的几何推理过程
渗透方程思想解决几何问题
2.如图，O是直线AB上一点，∠1=∠2，图中共有多少对互为补角的角？
答：∠1与∠COB，∠2与∠AOD，∠1与∠AOD，∠2与∠COB
二、余角补角性质
想一想：完成下面证明过程（练习册P74第2题）
∵∠1+∠2=90°（已知）
∠1+∠3=90°（已知）
两侧
Z
同旁内角
内部
同侧
C
⑵辨别图形中的三种角，关键是找出哪两条直线被哪条直线所截，两个角中必有一公共边——即是第三条截线，而另外两边即是被截的两条直线，可用彩色笔将其恢复画出，再根据上表三种角的特征加以识别即可。
⑶注意“三线八角”的前提，必须是两条直线被第三条直线所截，所形成的特殊角的关系。
三、例题
例1如图，找出图中所有的同位角、内错角、同旁内角。
解：图1中∠1和∠3，∠2和∠4是同位角，∠2和∠3是同旁内角，没有内错角。
例2填空：图2中∠3与∠C是直线DE和BC被直线AC所截而成的内错角；
∠B与∠2是内错角，是直线DE和BC被直线AB所截而成的角；
∠C与∠DAC是直线BC和DE被直线AC所截成的同旁内角。
三、例题
例如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠AOD-80°，求∠AOE的度数。
解：∵直线AB、CD相交于点O（已知）
∴∠AOC+∠AOD=180°（平角定义）
又∵∠AOC=∠AOD-80°（已知）
∴∠AOD=130°，∠AOC=50°
又∵直线AB、CD相交于点O（已知）
学科
数学
课题
§8.7几种简单几何图形及其推理（一）
授课人
蔡建宁
班级
初一（1，2）
时间
4月24日
课型
新课
教
学
目
标
知识与技能：
1.了解余角、补角的概念；
2.知道余角、补角的性质，并会简单的应用；
过程与方法：教师讲解引导，学生动手实践，观察思考探究
情感态度与价值观：初步培养学生的推理能力
教学重点
余角补角的概念及性质
例如，∠1与∠2，∠3与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8是同位角。
2.内错角：夹在直线AB和CD的内部，又分别在第三条直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角。
例如，∠1与∠6，∠3与∠8是内错角。
3.同旁内角：夹在直线AB和CD的内部，又分别在第三条直线EF的同侧，像这样的一对角叫做同旁内角。
例如，∠1与∠8，∠3与∠6是同旁内角。
小结所学
演示课件
板书
设计
§8.7几种简单几何图形及其推理（三）
一、三线八角二、例题
1.同位角（略）
2.内错角
3.同旁内角
教学
后记
学科
数学
课题
§8.7几种简单几何图形及其推理（四）
授课人
蔡建宁
班级
初一（1，2）
时间
5月11日
课型
新课
教
学
目
标
知识与技能：
1.理解平行线的判定公理（同位角）；
2.通过合作交流，探索平行线的判定定理；
利用动态演示引导学生理解概念发现规律
[引入]
想一想：用一副三角板或一块三角板和直尺如何画出两条平行线？
步骤：“一落二靠三移四画”
⑴用三角板的一条边贴住AB；
⑵用直尺（或另一块三角板）紧靠三角板的另一条边；
⑶沿直尺（或另一块三角板）下移三角板；
⑷沿三角板的边画出CD。
于是得到AB∥CD
问：以上画图的依据是什么？请你猜想是否与图中∠1=∠2有关。
教学重点
对顶角的概念及性质
教学点
利用对顶角的性质进行有关计算和推理
教学方法
启发式教学，学生主体发现讨论探究
教学用具
多媒体计算机、课件、三角尺、量角器
教学过程
设计意图
教师活动
学生活动
媒体使用
引导学生动手画图实践引出新课
理解概念
利用动态演示引导学生发现规律
[引入]
问：画两条相交直线，图中有几个小于平角的角？用量角器量量看，这些角中都有怎样的数量关系。
一、对顶角二、例题
1.定义（略）
2.性质
教
学
后
记
学科
数学
课题
§8.7几种简单几何图形及其推理（三）
授课人
蔡建宁
班级
初一（1，2）
时间
5月10日
课型
新课
教
学
目
标
知识与技能：
1.知道同位角、内错角、同旁内角的概念；
2.会在图形中找出两条直线被第三条直线所截而成的同位角、内错角、同旁内角；
过程与方法：教师讲解引导，学生动手实践，观察思考探究
∴∠2=∠3（同角余角相等）
由此你可以得出什么结论？
余角的性质：同角（或等角）的余角相等。
补角的性质：同角（或等角）的补角相等。
三、例题
例一个角的补角比它的余角的2倍多8°，求这个角的余角及这个角的补角。
解：设这个角为x°，则它的余角为(90-x)°，补角为(180-x)°，根据题意，得
180-x=2(90-x)+8
情感态度与价值观：培养学生的读图能力和分析问题解决问题的能力
教学重点
三线八角的概念及识别
教学难点
在图形中辨别同位角、内错角、同旁内角
教学方法
启发式教学，学生主体发现讨论探究
教学用具
多媒体计算机、课件、三角尺
教学过程
设计意图
教师活动
学生活动
媒体使用
通过学生画图回答问题，复习旧知识，引出新课
利用动态演示引导学生理解概念发现规律
⑵∵∠2=∠3
∴AB∥CD
⑶∵∠2+∠4=180°
∴AB∥CD
想一想：你能用学过的推理证明方式由平行线判定公理推导出后两个定理吗？
已知：如上图，直线AB、CD被EF所截，∠2=∠3
求证：AB∥CD
证明：∵∠1=∠3（对顶角相等）
且∠2=∠3（已知）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
[引入]
问：如图：直线AB、CD相交于O，图中有哪些角具有特殊位置关系？这些角数量上有什么关系？如果两条直线AB、CD都与第三条直线EF相交，则图中构成几个小于平角的角？
[新课学习]
一、三线八角
直线AB、CD被直线EF所截，得到8个角。简称“三线八角”
1.同位角：在直线AB、CD的同一方，又在第三条直线EF的同一侧，像这样的一对角叫做同位角。
[新课学习]
一、对顶角
定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
如图，直线AB、CD相交于O点，我们称∠1与∠2为对顶角，∠3与∠4也是对顶角。
注意：
⑴对顶角是成对出现的；
⑵对顶角的本质特征：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线。
二、对顶角的性质
演示课件：引导学生观察随着改变图中∠1及其它各角的大小，各对对顶角之间的大小关系是否有所改变？你可以得出什么结论？如何证明你的结论？
∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）
又∵OE平分∠BOD
∴∠DOE= ∠BOD= ∠AOC=25°
从而∠AOE=∠AOD+∠DOE=130°+25°=155°
[课堂小结]：
对顶角的定义及性质
[作业]：白皮练习册8.7（二）内容
读题，思考如何求解
学生练习书P132练习题
小结所学
演示课件
板书
设计
§8.7几种简单几何图形及其推理（二）
[新课学习]
一、余角与补角
定义：如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角。
如果两个角的和等于180°，那么称这两个角互为补角。
如图，∠1+∠2=90°，∠1与∠2互余，其中∠1叫做∠2的余角，∠2叫做∠1的余角。
∠3+∠4=180°，∠3与∠4互补，其中∠3叫做∠4的补角，∠4叫做∠3的补角。
对顶角的性质：对顶角相等。
已知：如图，直线AB与直线CD交于O
求证：∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC
证明：∵AB是直线（已知）
∠AOC+∠BOC=180°（平角定义）
动手实践并回答问题
观察思考回答问题
练习写已知求证，画图并分析
演示课件
用几何画板演示课件
培养学生初步的几何推理过程
培养学生分析问题解决问题的能力
[新课学习]
一、平行线判定公理
用几何画板课件演示三线八角中各角随直线AB的旋转而变化，引导学生观察当这八个角的测量值具有哪些关系时，AB与CD平行？
猜想结果：
⑴平行线判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（简记为：同位角相等，两直线平行）
⑵平行线判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（简记为：内错角相等，两直线平行）
二、课堂练习
书P135练习第1、2题
[课堂小结]：
1.平行线画法
2.目前所学平行线判定的方法：
⑴同位角相等，两直线平行
⑵内错角相等，两直线平行
⑶同旁内角互补，两直线平行
[作业]：白皮练习册8.7（四）内容
小组探究推理过程
思考回答问题
学生练习
小结所学
演示课件
板书
设计
§8.7几种简单几何图形及其推理（四）
小结：
⑴同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，而不
动手实践并回答问题
演示课件
用几何画板演示课件
加强学生对三线八角的概念理解
培养学生读图能力和分析问题解决问题的能力
是大小关系，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。
角的关系
在两条被截线
在第三条截线
抽象字母符号
同位角
同方
同侧
F
内错角
内部
∴∠AOC=180°-∠BOC
∵CD是直线（已知）
∠BOD+∠BOC=180°（平角定义）
∴∠BOD=180°-∠BOC
∴∠AOC=∠BOC（等量代换）
同理：∠AOD=∠BOC
注意：
如果两个角是对顶角，则它们一定相等；反之，如果两个角相等，则它们不一定是对顶角，对顶角是具有特殊位置关系的两个相等的角。
教学难点
理解余角补角只与两个角的度数有关与位置无关
教学方法
启发式教学，学生主体发现讨论探究
教学用具
多媒体计算机、课件、三角尺、量角器
教学过程
设计意图
教师活动
学生活动
媒体使用
引出新课
理解概念
[引入]
问：每副三角板的锐角度数各是多少？它们之间有什么联系？任何一个直角三角形中两个锐角的度数大小也存在这样的关系吗？画一个直角三角形，用量角器量量看。
过程与方法：教师讲解引导，学生动手实践，观察思考探究
情感态度与价值观：培养学生的读图能力和分析问题解决问题的能力
教学重点
平行线判定公理和定理的理解
教学难点
运用平行线判定解决几何问题
教学方法
启发式教学，学生主体发现讨论探究
教学用具
多媒体计算机、课件、三角尺
教学过程
设计意图
教师活动
学生活动
媒体使用
通过学生画图回答问题，复习旧知识，引出新课
⑶平行线判定定理2：两条直线被第三条线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（简记为：同旁内角互补，两直线平行）
动手实践并回答问题
观察课件演示猜想结论
演示课件
用几何画板演示课件
使学生理解几何语言和数学式子的表达方式
培养学生读图能力和分析问题解决问题的能力
用数学式子表示为：
⑴∵∠1=∠2
∴AB∥CD
一、平行线画法二、平行线判定
公理（略）
定理1
定理2
教学
后记
[课堂小结]：
由“三线八角”图形判断同位角、内错角、同旁内角或由同位角、内错角、同旁内角找出构成它们的“三线”，都要有一个步骤：
一看角的顶点；二看角的边；三看角的方位；
这三看又离不开主线——截线的确定。
[作业]：白皮练习册8.7（三）内容
通过观察小结三种角的特征
思考回答问题
学生练习书P133第1、2题
x=8
∴90-x=82,180-x=172
答：这个角的余角是82°，补角是172°。
[课堂小结]：
余角、补角的定义及性质
[作业]：白皮练习册8.7（一）内容
思考回答问题
根据推理结果小结结论，试用语言表述
读题，思考如何求解
小结所学
演示课件
板书
设计
§8.7几种简单几何图形及其推理（一）
一、 余角、补角二、例题
1.定义（略）
2.性质
教
学
后
记
学科
数学
课题
§8.7几种简单几何图形及其推理（二）
授课人
蔡建宁
班级
初一（1，2）
时间
5月9日
课型
新课
教
学
目
标
知识与技能：
1.知道对顶角的概念；
2.掌握对顶角的性质，并会简单的应用；
过程与方法：教师讲解引导，学生动手实践，观察思考探究
情感态度与价值观：初步培养学生的推理能力和分析问题解决问题的能力